Funções complexas 2 Flashcards
f: A -> C (A⊆C) (29 cards)
Em que pontos é que f: A-> C é contínua?
pontos isolados
pontos de acumulação, onde lim z->z0 f(z) = f(z0)
lim z->z0 f(z) = f(z0) definição
∀ε>0 ∃𝛄>0:
|z-z0| < 𝛄 e z∈A
-> |f(z)-f(z0)| < ε
Quando é que dizemos que f é contínua?
Quando f é contínua em todos os pontos do seu domínio.
Se f e g contínuas, então … tmb são
f+g, fg, 𝛌f, 1/f, gof, conjugado de f(z), |f(z)|
Exemplos de funções contínuas
todas as funções racionais
f tem derivada em todos os pontos
f é holomorfa
f tem derivada em z0 definição
lim z -> z0 [f(z0) - f(z)] / [z - z0] = f’(z0) existe e é finito
(a)’
=0
(z)’
1
(z^2)’
2z
Relação entre f ter derivada e f ser contínua.
Se f tem derivada, então f é contínua
(f + g) ‘ (x)
= f’(x) + g’ (x)
(𝛌f) ‘ (x)
= 𝛌 (f) ‘ (x)
(f * g) ‘ (z)
= f ‘ (x) * g(x) + f(x) * g ‘ (x)
(1 / f) ‘ (x)
= - f’(x) / (f(x)^2)
(f/g) ‘ (x)
= f ‘ (x) * g(x) - f(x) * g’(x) / g(x)^2
(f o g) ‘ (x)
= f ‘ (g(x)) * g ‘ (x)
f(z) = x^n
f ‘ (z)
n * z^(n-1)
Exemplos de funções holomorfas
Todas as funções racionais
f(z) = f(x+iy)
= u(x,y) + i * v(x,y)
Se f tem derivada complexa, então
tem derivadas parciais (Cauchy-Riemann)
Se f tem derivadas parciais (C.R.) e é de classe C1 em z0
f tem derivada complexa em z0
Cauchy-Riemann
du/dx |(x,y) = dv/dy |(x,y)
du/dy |(x,y) = - dv/dx |(x,y)
(f-1) ‘ (x)
1/ [f ‘ (f-1(z))
