Função exponencial comlpexa Flashcards
(22 cards)
e^z
e^x + e^iy = e^x + (cos(y) + i * sin(y))
exp(z+w)
= exp(z) * exp(w)
exp(-z)
= 1 / exp(z)
exp(mz)
= (exp(z))^m
exp(z+2𝝅i)
= exp(z)
exp(z) = exp(w)
z-w ∈ 2𝝅iℤ
exp(0)
= 1
exp’(z)
= exp(z)
Teorema de função inversa
f: U -> C holomorfa de classe C1
Se f’(z0) ≠ 0, então f é localmente invertível (com inversa holomorfa) numa vizinhança de z0
Condições suficientes para f-1 ser holomorfa
f holomorfa, C1, injetiva
f’(z) ≠ 0 ∀z
Ramo do logaritmo
inversa holomorfa e bijetiva da função exp|U(aberto) injetiva
Ramo principal do logaritmo
Inversa da exp|U0 = {z0 ∈ C : -𝝅 ≤ Im(z) ≤ 𝝅}
Em C\R0-
log’(z)
= 1/z
log(z)
= {w ∈ C : e^w = z} = log|z| + i Arg(z)
Arg(z)
ângulos polares
Arg(z)
conjunto de ângulos polares de z
argumento principal
arg0, é o argumento entre -𝝅 e 𝝅
logaritmo em R
restrição de log(z) = log|z| + i arg0(z) a R
logaritmo principal
log|z| + i arg0(z)
z^w
= e^(w * log(z))
tem muitos resultados
Quando é que z^w toma um só valor?
Quando w∈Z
valor principal
z^w com arg0
