Séries

Question 1

termo geral

Answer 1

zn

Question 2

sucessão das somas parciais

Answer 2

sn = z0 + z1 + … + zn

Question 3

convergência de séries (∑ e sn)

Answer 3

∑(1 ∞) zn converge
sse
(sn)n converge

Question 4

soma da séria w

Answer 4

= ∑(1 ∞) zn

Question 5

Como é que o termo geral tem de ser para a séria convergir

Answer 5

termo geral tem limite 0

Question 6

Convergência sse

Answer 6

∑zn converge sse a sucessão (sn)n de Cauchy

Question 7

Absolutamente convergente

Answer 7

∑|zn| converge
converge abs -> converge

Question 8

Critério de Comparação

Answer 8

|zn|≤ bn e ∑bn converge
-> ∑sn é absolutamente convergente

Question 9

Critério da raiz

Answer 9

(suficiente, não necessária)
lim (n->∞) (|zn|)^1/n < 1

Question 10

Critério do quociente

Answer 10

(suficiente, não necessária)
lim (n->∞) |zn+1 / zn| < 1

Question 11

r1: raio do convergência de ∑an * (z - z0)^n)
r2: raio de convergência de ∑an * z^n

Answer 11

r1 = r2 = r
e
disco de convergência da primeira série: D(z0,r)

Question 12

r=0

Answer 12

só converge no ponto em que está centrada, ou seja não existe dicso de convergência

Question 13

r=∞

Answer 13

converge no plano todo

Question 14

Como é que calculamos o raio de convergência de ∑an (z-z0)^n?

Answer 14

r =
= lim (n->∞) 1 / (|an|)^1/n =
= lim (n->∞) |an/an+1|

Question 15

proposição sobre a derivabilidade de f = ∑fn

Answer 15

(fn)n sucessões de funções holomorfas, C1, de U (aberto) -> C e quando n->∞ f’n converge uniformemente para y em U
-> f holomorfa e f’ = y

Question 16

Proposição sobre convergência de ∑an * z^n = f(z) e da sua derivada

Answer 16

Se ∑an * z^n = f(z) e raio de convergência é r>0, então g(z) = n * an * z^n-1 com raio de conv. r.
E ambas convergem uniformemente em D(0,r)

Question 17

Série de Taylor de f em z0

Answer 17

Representação de f num disco aberto de centro z0 por uma séria de potências.
∑ (f^(n)(z0) / n!) * (z-z0)^n

Question 18

Quando é que ∑u + i v converge?

Answer 18

Quando u e v convergem