Resíduo

Question 1

res(f,z0)

Answer 1

z0: singularidade de f
série de Laurent de f em A(z0,0,ρ)
= bm

Question 2

Como calculamos integrais com res?

Answer 2

𝛄 com circunferência |z-z0|=r (0<r<ρ)
-> 𝛄 ∫ f(z) * dz = 2𝝅i res(f,z0)

Question 3

Teorema resíduo

Answer 3

f holomorfa
𝛄 curva fechada, simples, regular por pedaços, contida no Dom(f) e com exceção de um número finito de singularidades (z1,…,zn) o aberto delimitado por 𝛄 está contido em Dom(f)
-> 𝛄 ∫ f(z) * dz = 2𝝅i (res(f,z1)+…+res(f,zn))

Question 4

Teorema resíduo se não houver singularidades

Answer 4

𝛄 ∫ f(z) * dz = 0

Question 5

Fórmula para o cálculo de resíduos
z0 é um pólo de ordem 1

Answer 5

res(f,zo) = lim (z->z0) (z-z0) * f(z)

Question 6

Fórmula para o cálculo de resíduos
f(z) = p(z) / q(z) e q(z) tem um zero simples em z0

Answer 6

res(f,z0) = p(z0) / q’(z0)

Question 7

Fórmula para o cálculo de resíduos
z0 é um pólo de ordem k≥2

Answer 7

res(f,z0) = derivada (k-1) [ (z-z0)^k f(z) ] / (k-1)!

Question 8

-oo,oo ∫ f(x) * dx (real)

Answer 8

f(z) holomorfa, definida em Im(z)≥0 (tirando um número finito de singularidades z1, …, zn)
𝛄={z∈C: Im(z) ≥ 0 e |z|=r}
-> lim (r->oo) 𝛄 ∫ g(z) * dz = 0 -> -oo,oo ∫ f(x) * dx = 2𝝅i * ∑res(f,zi)

Question 9

-oo,oo ∫ f(x) * dx (real) e |zn|<r

Answer 9

-r,r ∫ f(x) * dx + 𝛄 ∫ f(z) * dz = 2𝝅i * ∑res(f,zi)

Question 10

0,2𝝅 ∫ F(cos(x),sin(x)) * dx

Answer 10

𝛄(t) = e^it, 0 ≤ t ≤ 2𝝅
f(z) = F( (z+1/z) / 2, (z-1/z) / 2 ) * 1/iz

Question 11

zero de multiplicidade m

Answer 11

f: U -> C holomorfa, não constante
z0: zero de f
∑an * (z-z0)^k: série de Taylor
-> a0=a1=…=am-1=0 e am≠0
sse f(z0)=…=f^(m-1)(z0)=0 e f^(m)(z0)≠0

Question 12

Teorema de Rouché

Answer 12

U aberto
f,g: U -> C holomorfas
𝛄⊆U fechado, simples, regular por pedaços e a região delimitada por 𝛄 ⊆ U
Se |g(z)-f(z)|<|f(z)| ao longo de 𝛄, então f e g têm o mesmo número de zeros no aberto delimitado por 𝛄