6. Multiples et diviseurs dans N, Nombres premiers Flashcards

1
Q

Plan

A

I. Multiples et diviseurs dans N
1. Définition
2. Règles de divisibilité ( 3,5,7,9,11)
3. Division euclidienne dans N, théorème
4. PGCD
a. Définition
b. Lemme d’Euclide D(a;b)=D(b;r)
c. Algorithme d’Euclide
d. Les diviseurs communs de a et b sont les diviseurs de PGCD(a;b)

II. Conséquence du PGCD
1. Identité de Bezout
2. Nombres premiers entre eux
3. Théorème de Gauss

III. Nombre premiers entre eux
1. Définition
2. Théorème de Bezout
3. Théorème de Gauss

IV. Nombres Premiers
1. Definition
2. Plus petit diviseur premier,Crible d’Eratosthene
3. Infinité de nombres premiers
4. Théorème fondamental de l’arithmétique
a. Tout entier naturel est premier ou produit de nombres premiers
b. Unicité de la décomposition
c. Expression du pgcd et du ppcm

V. Petit théorème de Fermat et applications
1. Enoncé du théorème
2. Nombres de Carmichael
3. Coder à l’aide du théorème de Fermat
4. Enigmes et nombres premiers

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2
Q

Démonstration des règles de divisibilité

A

revenir à l’écriture en base 10 et/ou utiliser les congruences

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3
Q

Démonstration du théorème de la division euclidienne dans N

A

existence :Considérer l’ensemble E des entiers naturels tels que nb<=a , possède un plus petit élément q…
unicité: r-r’ divise b |r-r’|<b

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4
Q

Algo d’Euclide

A
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5
Q

les diviseurs de deux nombres entiers sont les diviseurs du PGCD

A

par l’algo d’Euclide

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6
Q

Théorème de Gauss : demo

A

Avec bezout auc+bcv=c

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7
Q

Tout nombre >=2 possède au moins un diviseur premier + crible d’eratostene

A

considérer l’ensemble des k tel que k divise n et montrer que son plus petit élement est p en raisonnant par l’absurde

n=pq , 2<=p<=q => p<= sqrt(n)

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8
Q

Infinité de nombre premiers

A

N!+1

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9
Q

Théorème fondamental de l’arithmétique

A

par reccurence forte sur n , n=pq…

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10
Q

Décompo unique en produits de facteurs premiers

A

décomposer en en produits de pi^ai et pi^bi si ai≠bi on suppose ai>bi et on divise n par pi^ai et onntien en facteur pi qui divise un produit de nombres premier

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11
Q

Petit théorème de Fermat

A

par reccurence sur a et (a+1)^p congru à a^p+1 (modulo p)

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12
Q
A
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