8. Congruences dans Z

Question 1

Plan

Answer 1

0Introduction
a. Le vocabulaire des congruences (calendrier, ou horloge) (cf. Hyperbole)
b. Le théorème de la division euclidienne
=> Un premier exercice : prouver que n(n2+5) est divisible par 3

I) Congruences dans Z
1. Définition
2. Propriétés
a. Relation d’équivalence
b. Propriété fondamentale : caractérisation de la relation d’équivalence
c. Opérations sur les congruences

3. Inversibles modulo n
    Résolution d’équation avec les congurences dans Z et cryptage affine (cf. Hyperbole)

II) Applications
1. Règles de divisibilité (3,7,9,11…) ( en faire une en exemple au tableau)
2. Triplet pythagoricien divisibles par 60
3. Le petit théorème de Fermat
 Codage avec Fermat (cf. Hyperbole)
4. Théorème des restes chinois (cf. Hyperbole)

Question 2

Théorème de la divisieu Euclidienne dans Z

Answer 2

le démontrer dans N puis disjonction suivant les cas a<0…. considerer r1= b-r quand a est négatif

Question 3

n(n^2+5) est divisible par 3

Answer 3

Raisonner avec les restes de la division euclidienne par 3

Question 4

Caracterisation de la relation de congruence

Answer 4

grace au théorème de la division euclidienne

Question 5

Opérations sur les congruences

Answer 5

Repasser à la caracterisation

Question 6

Regle de divisibilité par 11

Answer 6

Somme alternée des chiffres ( en partant de 10 puissance 0 ) est divisible par 11 repasser à l’écriture en base 10 et raisonner modulo 11

Question 7

Petit téhorème de Fermat?

Answer 7

par recurrence sur a en prouvant tout d’avord (a+1)^p congru à a^p+1 (modulo p)

Question 8

Théorème des restes chinois

Answer 8

coefficient de bezout et inversibles modulo n