Anneaux, Corps, Algebres Flashcards
(98 cards)
1
Q
La distributivite de la multiplicatio revient a dire que :
A
Pour tout a de A, les applications x-) ax et x-) xa sont des endomorphismes du groupe (A,+)
2
Q
Propriétés calculatoires dans un anneau
a,b,c de A. m de N
A
- 0a=a0=0 (0A est absorbant)
- (-a)b=a(-b)=-(ab)
- (-a)(-b)=ab
- (a-c)b=ab-cb
- b(a-c)=ba-bc
- a(mb)=(ma)b=m(ba)
3
Q
Anneau nul
A
Si 1A=0A l’anneau est nul
4
Q
Exemples basiques d’anneaux commutatifs
A
Z, R, C, Q pour + et X
5
Q
Si (A,+,X) est un anneau et X un ensemble non vite
A
Alors A^X = F(X,A) muni des lois induites de A est un anneau, d’element nulle l’application nulle, d’element unité l’application constante egale a 1.
6
Q
Si A et B sont des anneaux ?
A
On peut definir un anneau produit (en particulier (R^n ,+,X) est un anneau )
7
Q
Etat donné un groupe (G,+) que dite de End(G) les endomorphismes de G
A
(End(G),+,o) est un anneau
8
Q
Si E est un KeV, que dire de L(E)
A
L(E) est un anneau
9
Q
L’ensemble des Matrices
A
(Mn(K),+,X) est un anneau non commutatif
10
Q
Distributivité du produit par rapport au symbole sommatoire
A
Lorsque b (sigma ai) = sigma (ba)
Idem a droite
(a et b dans A)
11
Q
Formule de Bernouilli
A
Soit a et b de A. ON SUPPOSE que a et b commutent.
a^n-b^n= (a-b) som(0,n-1) a^n-1-k b^k = som(0,n-1) a^n-1-k b^k (a-b)
12
Q
Definition d’un Anneaux
A
On appelle anneau un ensemble A mumi de deux lois de composition internes + et X telles que:
- (A,+) est un groupe abélien. L’element neutre pour + est noté 0 et appelé elt nul
- X est associative
- A admet neutre pour X appelé element unité noté 1
- X est distributive par rapport a +
13
Q
Elements inversibles d’un anneau
A
Soit A un anneau non nul, on note A^x ou (A*) l’ensemble des elts inversibles de A
14
Q
Les inversibles forment un groupe
A
Soit A anneau non nul, l’ensemble A^x est un groupe pour X
15
Q
Les elements inversibles de C, R, Q, Z, K[X]
A
C*= C\{0}
Q*=Q\{0}
R*=R\{0}
Z*={-1,1}
K[X]*= P tq deg P =0
16
Q
Que dire de End(G)
A
(End(G),+,o) est un anneau et End(G) est l’ensemble des endomorphismes de G
Rq: Aut(G) est un groupe pour X
17
Q
Exemple de groupe multiplicatif chez les matrices
A
Gln(R)
18
Q
Equivalence a propos des diviseurs de 0 dans un anneau
A
Un element non nul a de A est un diviseur de 0 ssi il est non simplifiable
19
Q
Exemple de diviseur de 0
A
Dans A² si A different de 0
20
Q
Definition Anneau integre
A
Un anneau est integre si il est commutatif et si il n’a pas de diviseurs de 0
21
Q
Exemple anneau integre
A
R, C, Q, Z mais pas A²
Mn(k) est integre ssi n=1
22
Q
Definition Sous-Anneau
A
On dit que B est un sous anneau de A si :
- 0A et 1A appartiennent a B
- B est stable pour +
- B est stable pour X
- Muni des lois induites, (B,+,X) possede une structure d’anneau
(On peut enlever 0A car elle se deduit des autres)
23
Q
Exemple de partie non vide de A(non nul) verifiant les conditions de la structure de sous anneau sauf la condition sur 1A
A
La matrice M=
0 0
0 a
avec a dans z
24
Q
Caracterisation des sous-anneaux
A
B est un sous anneau de A ssi
- 1A appartient a B
- pt a,b de B, a-b appartient a B
- pt a,b de B, ab appartient a B
25
Que dire de la relation "etre un sous anneau de"
C'est une relation d'ordre
26
Intersection de sous anneaux ?
Une intersection de sous anneaux en est un
27
Morphisme d'anneau definition
Soit f de A dans B. On dit que f est un morphisme d'anneau si :
- f(0A)=0B et f(1A)=1B
- pt a,b de A: f(a+b)=f(a)+f(b)
- pt a,b de A: f(ab)=f(a)f(b)
f(0A)=0B se deduit des autres
28
A propos des morphismes d'anneau
Si a inversible, f(a) l'est
f(a^n)=f(a)^n
L'image direct ou reciproque d'un sous anneau en est un
Un morphisme d'anneau est en particulier un morphisme de groupe(additif) en particulier f injectif ssi kerf={OA}
29
Definition Corps
Soir K un ensemble muni de deux lois + et X. On dit que (K,+,X) est est corps si (K,+,X) est un anneau commutatif non nul, dans lequel tout element non nul est inversible
30
Corps:
Un corps n'est rien d'autre qu'un anneau commutatif dont les elements non nuls forment un groupe multiplicatif
Tout corps est un anneau integre (recip fausse: Z)
31
Exemple de corps
- R, C, Q
- pour tout p premier, Z/pZ est un corps
- le produit cartesien de 2 corps n'est pas un corps
32
Definition sous corps
Une partie L d'un corps (K,+,X) est appelé sous corps de K si L est un sous anneau de K qui, muni des lois induites, est un corps. On dit que K est un surcorps de L
33
Caracterisation des sous-corps
L est un sous-corps de (K,+,X) ssi
- 1K appartient a L
- pt x,y de L, x-y appartient a L
- pt x,y de (L\{0K}), xy^-1 appartient a L
34
Definition morphisme de corps
Soient (K,+,x) et (L,+,x) deux corps. Soit f de K dans L. F est un morphisme du corps K vers le corps L si f est un morphisme de l'anneau K vers l'anneau L
(Si f non nul, Pt a,b de K, f(a+b)=f(a) +f(b) et f(ab)=f(a)f(b) ) pas bsn de 1K
35
Definition Ideal d'un anneau commutatif
On dit qu'une partie I de A est un ideal si :
- I est un sous groupe de (A,+)
- pt a,x de AxI, ax appartient a I
36
Quel est le seul ideal de A possedant 1A
A car si I possede 1a alors A=I
37
Ideal engendré par un element
Rq
Soit a de A, l'ensemble aA= (ax, x appartenant a A) est un ideal appelé ideal engendré par a
On a aA = A ssi a est inversible
38
Definition ideal pricipal, anneau principal
Un ideal I de A est dit principal s'il est engendré par un element ie il existe a de A tq I=aA
L'anneau commutatif A est dit principal si tous ses ideaux sont principaux
39
Exemple d'anneau principal
Z car les sous groupes de Z sont les nZ et pt x de Z xnZ appartient a nZ
40
Intersections et somme fini d'ideaux
Rq
Ce sont encore des ideaux de A (en revanche une somme de sous anneaux de A n'est pas en general un sous anneau de )
41
Le noyau d'un morphisme d'anneau est un ideal
Rq
Soit phi: A-) B un morphisme d'anneau.
Ker(phi) est un ideal de A.
Ker(phi) n'est jamais un sous-anneau
42
Exemple ideau d'un corps
Les seuls ideaux d'un corp sont {0K} et K lui meme. Reciproquement un anneau (commutatif non nul) A qui n'a pour ideaux que {1A} et A est un corps. (Si aA est un ideal, aA = A donc a inversible)
43
Definition relation de divisibilité dans un anneau commutatif integre
Soit a,b de A. On dit que b divise a si il existe x de A tel que a=bx
44
Interpretation de la divisibilité en terme d'ideaux
Le fait aue b divise a peut se traduir par l'inclusion aA C bB
45
Definition elements associés
Rq
Deux elements a et b de A sont dit associés si il existe un element inversible x de A tel que a=bx
Cela def une relation d'equivalence sur A
46
Lemme pour definir la multiplication dans un anneau de congruence
Soit a, b, a', b' de Z. n de N*. On suppose que a🎼a'[n] et b🎼b'[n] alors ab🎼a'b'[n]
47
Definition: anneau de congruence modulo n
Et notation pour la classe de k.
La multiplication dans Z passe au quotien modulo n. Et Z/nZ muni de l'addition et de la multiplication est un anneau commutatif. Soit k de Z. On notera _kn sa classe dans Z/nZ ou _k si il n'y a pas d'ambiguité.
48
Inversibles de l'anneau de congruence modulo n
Soit k de Z. _k la classe de k dans Z/nZ est inversible ssi k^n=1
49
Caracterisation de la structure de corps sur les anneaux de congruence
L'anneau Z/nZ est un corps ssi n est premier
50
Lemme pour le theoreme des restes chinois
On def une application f de Z/mnZ sur Z/nZ en posant f(_kmn) = _kn pour tout k de Z et il s'agit d'un morphisme d'anneau.
(Il faut montrer en plus du reste que le representant choisit de la classe de k n'a pas d'influence. )
51
Theoreme des restes chinois
Que se passe t-il si m et ne sont pas premiers
On suppose m et n premiers. Soit phi : Z/mnZ dans Z/mZ X Z/nZ ou phi(_kmn) renvoit (_km,_kn) est isomorphisme d'anneaux
(Si m et n pas premier, on a tjrs un morphisme d'anneaux mais pas bijectif)
52
Definition - Indicatrice d'Euler
Pour tout n de N* on pose
Phi(n) = card { k€[1,n-1] tq k^n=1} soit le nombre de nombres premier avec n entre 1 et n-1
53
Proposition - L'indicatrice d'Euler est multiplicative
Si m et n sont premiers entre eux phi(mn)=phi(m)phi(n)
54
Calcul de l'indicatrice d'Euler
soit n superieur a 2: n=prod(1,k) pi^ri la decomposition en facteurs premiers de n.
Phi(n) =prod(1,k)(pi-1)pi^(ri-1) = nprod(1,k)(1-1/pi)
55
Theoreme d'Euler la grosse baltringue
Soit a de Z tq a^n= 1
On a a^(phi(n)) 🎼1[n]
56
Theoreme d'Euler utilsé pour retrouver le petit theoreme de Fermat:
Si n=p est supposé premier on a
Pour tout a de Z: a^p 🎼a[p]
57
Que dire a propos de la nilpotence et de l'inversibilité
Si x d'un anneau est nilpotent alors 1A-x est inversible (on le montre avec la formule de Bernouilli)
58
Caracterisation des ideaux
Une partie I de l'anneau commutatif A est un ideal ssi :
- I n'est pas vide
- I est stable pour +
- pour tout x,a € AxI, ax € I
59
La surjection canonique
L'application phi:Z dans Z/nZ qui a a renvoit _an est un morphisme d'anneau surjectif
60
Definition element irreductible
Soit p€A non nul. On dit que p est irreductible s'il n'est pas inversible et si ses seuls diviseurs sont les elements qui lui sont associés et les elements inversibles de A
61
Definition PGCD de polynomes
Soit A,B € K[X], on appel pgcd de A et de B et onnote A^B l'unique generateur nul ou normailisé de l'ideal AK[X] + BK[X]. Plus generalement si A1,...,An des elts de K[X] on appelle pgcd de ces polynomes et on note A1^...^An l'unique generateur nul ou normalisé de A1K[X]+...+AnK[X]
62
A propos des polynomes
Degré, coef dominant, terme dominant
Soit A € K[X], A= som(0,n) akX^k
Deg A = max {k&N tq ak =!0}
Coef dominant = coef du terme de plus grand degré
Terme dominant = anX^n
63
Pté a propos du reste de la division de P par x-a
P(a) est le reste
64
Pte ordre d'une racine d'un polynome
Soit a racine d'ordre k de P, alors (x-a)^k divise P.
65
Formule de Taylor pour les polynomes
Idee demo
Soit P de K[X], soit b €K, alors P=som(0,n)[P^(k)(b) (x-b)^k ]/k!
(On pose X=X-B+B) dans P
66
a est racine d'ordre k de P ssi
p(a)=...=p^(k-1) (a) = 0
| Et p^(k) (a) =!0
67
Theoreme a propos du nombre de racine d'un polynome dans C[X] et R[X]
Tout polynome non nul de degré n admet strictement n racines distinctes ou non dans C[X]
68
Theoreme a propos des polynomes de R[X] : comment s'ecrit le produit sous forme de produit?
Tout polynome ee R[X] est un produit de :
- polynome de deg 1 a racine reelle
- polynome de degré 2 a racine complexe
69
Dans R[X] tout polynome s'ecrit sous forme de produit de la forme :
P=
P=lambda prod(0,p) (x-ak)^mk prod (0,l) (X^2 - (ai+_ai)X + ai_ai)
70
Lorsque P=aX^2 +bX + c et que les racines sont x1 et x2 comment on les exprime par rapport a a,b,c ?
c/a = x1x2
-b/a = x1+x2
71
Soient A et B deux polynomes, A^B = en terme de pgcd ?
A^B= Rn^Rn+1 (=0) ou Rn est le reste de A par B si deg A superieur a deg B
rn-1 = BnQn + Rn+1
72
Theoreme de Gauss en arithmetique :
Si A^B= 1 et que A|BC alors A|C
73
Toute fraction admet :
Un representant irreductible de et unitaire
74
Ideaux de K[X]
L'anneau K[X] est principal
Tout ideal I de K[X] admet un unique generateur normalisé.
75
Definition - PPCM de polynomes
Soit A, B € K[X]. On appelle plus petit multiple commun de A et B et on notre A\/B l'unique generateur nul ou normalisé de l'ideau AK[X]interBK[X]
On peut generaliser avec A1,...,An des elements de K[X]
76
Polynome premiers entre eux - definition
Soit A, B, A1,...,An des polynomes sur K. On dit que A et B sont premiers entre eux si A^B=1.
On dit que A1,..,An sont premiers entre eux 2 a 2 si pt j, i de [1,n] distinct. Ai et Aj sont premiers entre eux.
On dit que les A1,...,An sont premiers entre eux dans leur ensemble ssi A1^...^An = 1
77
Theoreme de Bezout
Deux polynomes A et B sont premiers entre eux ssi il existe U, V € K[X]^2 tq AU+BV=1
78
PPCM de polynomes premiers entre eux
Soit A et B deux polynomes premiers entre eux. Alors A\/B est le normalisé de AB
79
Definition-Irreductible de K[X]
Un polynome A non constant est dit irreductible (sur K ou dans K[X]) si tout polynome le divisant est constant ou associé a A
80
Theoreme de la decomposition en facteur irreductibles
Pour tt polynome non constant A, il existe des polynomes irreductibles unitaires P1,...,Pk sur K distincts deux a deux, des entiers naturels r1,..,rk tous non nuls, et un scalaire lambda tq
A=lambda prod Pi^ri
De plus, cette decomposition est unique a reindexation pres des couples (Pi,ri)
81
Definition -Algebre
On appelle Algebre sur K (ou K-algebre) tout ensemble A muni de lois de composition interne d'addition et de multiplication, et d'une loi externe de multiplicaion par un scalaire, lui conferant a la fois une structure de K-ev et d'anneau tq pt phi, a, b :
(phia)b=phi(ab)=a(phib)
82
4 exemples d'Algebres
```
K[X]
L(E)
Mn(K)
F(X,K)
Sont des K-algebres
```
83
Definition - Sous Algèbre
On dit qu'une partie B d'une K algebre A en est une si :
- B possede 1A,0A
- B stable pour les lois de A
- muni des lois induites, B a une structure de K-Algebre
84
"Etre une sous algebre" c'est
Une relation d'ordre
85
Caracterisation des sous Algebres
- 1A € B
- B stable par CL
- B est stable par produit
86
Exemple de sous-Algebre
- C^k(I,R) est une sous A de R^I pt k € NU{-8}
- Tn(K) l'ensemble des matrices triang superieur
- K[X²] = def = Vect (X^2k, k€N)
- Si un L surcorps de K, et A une L-Algebre, alors A est naturellement munie d'une structure de K-Algebre
87
Definition - Morphisme d'Algèbres
Soit A et B deux K-algebre. On dit qu'une app f de A dans B est un morphisme de K-algebre si f est a la fois un morphisme d'anneaux et de K-ev
88
Caracterisation des morphismes d'algebres
Soir A et B deux K-Algebres, et f:A-)B
f est un morphisme de K-algebre ssi
-f(1A)=1B
-f(xa+yb) = xf(a) +yf(b) et f(ab)=f(a)f(b)
89
Exemples de morphismes d'algebres
Soit X un ens non vide et a€X l'evaluation en a : phi: K^X dans K qui a f renvoit f(a) est un mda
-pt a de K, l'evaluation en a d'un polynome est un mda
90
Exemple d'endomorphisme d'algebre
-pt C de K[X] la compo a droite par C est un endomorphisme de la K-Algebre K[X]
(P renvoit P(C))
91
Exemple d'isomorphismes d'algebres
Pour tout espace vectoriel E de dimension n, et toute base B de E. L'application phi: L(E) dans Mn(K) qui a f renvoit Mb(f)
92
Exemple d'automorphisme d'algebre
Pt element inversible b d'une Algebre A, phi de A dans A qui à a associe bab^-1 est un automorphisme d'algebre.
93
Sous algebre engendrée par un element
Soit A une K-algebre. Et soit a€A. La sous algebre de A engendrée par a est k[a] l'ensemble des polynomes en a
Plus generalement, ma sous algebre de A engendrée par {a1,...,an} est l'algèbre K[a1,...,an] des polynomes en a1,...,an
94
Propriété universelle de l'algèbre des polynomes à une indéterminée
Pour toute K-algebre A, et tout alpha€A il existe un unique morphisme d'algebre phi: K[X] dans A tq phi(X)=alpha c'est celui donné par :
Alpha(som(0,n) akX^k) = som(0,k)ak alpha^k pour tout polynome som(0,n)akX^k
95
R est archimédien
À l'origine, l'énoncé de l'axiome d'Archimède est le suivant : « Pour deux grandeurs inégales, il existe toujours un multiple entier de la plus petite, supérieur à la plus grande. »
96
Sous groupe engendrée par une partie
On peut se donner de deux manières :
- Par l'intérieur : est l'ensemble des mots construits sur l'alphabet constituées des éléments de A et leur symétriques.
- Par l'extérieur est l'intersection des sous-groupes de G contenant A.
97
Proposition - Structure des groupes monogènes
Soit G un groupe monogène: soit :
- G est fini de cardinal d, et isomorphe a (Z/dz,+)
- G est infinie, et isomorphe a (Z,+)
En particulier, le groupe multiplicatif Un est isomorphe au groupe additif Z/nZ pour tout n de N
98
Exemple qui illustre que contrairement aux groupes, il n'existe pas toujours de morphisme d'anneaux de A dans B.
C'est le cas par exemple de C dans R, de Q dans Z, de Z/3Z dans Z (en seconde lecture) etc
