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Flashcards in Suites Et Séries De Fonctions 🍟🍿⚽️🏅🎺🌈🌅 Deck (46):
1

Définition - convergence simple sur A

On dit que la suite de fonction (fn) converge simplement vers une fonction f (de A dans E) si, pour tout x €A, la suite (fn(x)) converge vers f(x). On dit alors que f est limite simple de (fn).
(La convergence simple est donc une accumulation de convergence ponctuelles sans liens entre elles)
(Il y a unicité de la limite)

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2 exemples de convergence simple

-La suite (gn) de fonctions de [0;1] dans R qui a x associe x^n. Cette suite converge simplement vers g qui a x associe 0 si x€[0;1[ et 1 si x=1
-la suite (hn) de fonctiondef sur R qui a x associe nsin(x/n) converge simplement vers idR

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Il est naturel de se demander si certaines propriétés sont malgré tout conservé par passage a la limite simple ie

Si, lorsque chaque fonction fn verifie une propriété P, alors la limite simple de f verifie aussi cette propriété.

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4 exemples de propriétés qui se conservent par passage a la limite simple

-croissance, decroissance, monotonie
-positivité, le fait d'etre majoré (mino) par un reel donné (le meme pt n), d'avoir une image incluse ds une partie fermée donnée
-etre inferieur ou egale a une fonction donné
-la convexité, la concavité

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4 exemples de propriétés qui ne passent pas a la limite simple

-La continuité (ponctuelle ou globale),la derivabilité (p ou g)
-l'injectivité, la surjectivité
-la stricte monotonie, croissance, decroissance. (Plus generalement, les inégalité strictent deviennent larges par passage a la limite)
-le fait d'etre majo ou mino, ou borné et le fait de ne pas l'etre

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Est ce que la notion de convergence simple se conserve bien avec l'integrale sur un segment ?

Non: on peut trouver une suite (fn) de fonctions continues sur [0,1] convergeant simplement vers la fonction nulle, et verifiant integrale(0,1)fn = 1 pt n€N.

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Definition - Convergence uniforme sur A, sur une partie de A

On dit que la suite de fonction (fn) converge uniformement (sur A) vers une fonction f (de A dans E) si la suite ||f-fn||8 est definie a partir d'un certain rang et tend vers 0.
On dit alors que f est limite uniforme de (fn).
Plus generalement, si B est une partie de A, on dit que (fn) converge uniformement vers f sur B si la suite des restrictions des fn a B converge uniformement vers la restriction de f a B ie la suite (||f-fn||8B) est def apcr et tend vers 0

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Qu'est ce qui est important d'anoncer lorsqu'on parle d'une convergence uniforme
Rq

Il faut preciser sur quel domaine elle a lieu.
Bien sur si (fn) converge uniformement sur A alors elle converge uniformement sur toute partie de A

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Convergence uniforme et convergence simple (formalisation)

Le fait que (fn) converge simplement vers f s'ecrit :
Pt x€A, pt epsilon sup 0, il existe N€N tq pt n sup N, ||fn(x)-f(x)|| inf epsilon
Alors que le fait que (fn) converge uniformement vers f s'ecrit :
pt epsilon sup 0, il existe N€N tq pt n sup N, pt x €A ||fn(x)-f(x)|| inf epsilon
Clairement la covergence uniforme entraine convergence simple (vers la meme fonction f) mais recip fausse

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Dans le cas ou (fn) converge uniformement vers f, (equivalence)

Les fonctions fn sont bornées apcr ssi f est bornée

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Pour les fonctions bornées

Equivalence

(fn) converge uniformement vers f ssi (||fn-f||8) converge vers 0

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Donc que peut on dire de la convergence uniforme (par rapport aux evn)

Elle rentre ds le cadre general de la convergence d'une suite dans un EVN, voir ds une K-algebre de dimension finie.

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Quelle equivalence y a t-il a propos des fonctions fn et des fonctions coordonnées

(fn) converge uniformement vers f ssi pt i les fonction fn i converge uniformement vers fi la ieme composante de la fonction f dans une base donnée

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Si on suppose que (fn) et (gn) convergent uniformement vers f et g on a

-pt a, b €K, (afn +bgn) converge uniformement vers af+bg
-si les fonctions fn et gn sont en outre bornées (pt n, ou du moins apcr) et si E est une K algebre normée, alors (fngn) converge uniformement vers fg (sans l'hypothese Kalgebre, (fngn) ne converge pas tjrs uniformement)

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Comment montrer une non convergence uniforme

Pour montrer que (fn) ne converge pas uniformement vers f, et si le calcul ||f-fn||8 n'est pas evident, on pourra trouver une suite (xn) de points de A tq la suite de tg |f(xn)-fn(xn)| ne tends pas vers 0.
Ds le cas ou f est limite simple de (fn), les suites (xn) stationnaires ne permettrons pas de conclure: en general, les suites (xn) choisies tendront vers un point adherent a A mais pas ds A, ou vers +-8

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2 exemples de convergence uniforme

-Dans l'exemple de la suite (gn) qui a x de [0,1] associe x^n, la convergence n'est pas uniforme car pt n, ||g-gn||8 =1
-Dans l'exemple de (hn) sur R qui a x associe nsin(x/n), convergence n'est pas uniforme

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Convergence uniforme sur tout compact et convergence uniforme

Il est evident que si (fn) converge uniformement, alors elle coverge uniformement sur tout compact inclus dans A, mais la recip est fausse

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Quel est le contexte dans ce cours ? On etudie quoi?

On considere une suite (fn) de fonctions ou une serie de fonction sigmaUn ou les un et fn sont def sur une partie A d'un EVN H (dim finie) a valeurs ds un EVN E(dim finie)
On va introduire deux notions: convergence simple et convergence uniforme

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Continuité ponctuelle et convergence uniforme

Si les fn sont continues en a et si (fn) converge uniformement vers f sur un voisinage de a (relatif a A) alors f est continue en a ie
lim(n,8)lim(x,a) fn(x) =
lim(x,a)lim(n,8)fn(x)

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Limite uniforme de fonctions continues

Toute limite uniforme de fonctions continues sur A est continue sur A

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Convergence uniforme au voisinage de tout points et continuité

Considérons une suite (fn) de fonctions continues sur A, convergeant simplement vers f. Ns aimerions ns assurer de la continuité de f: CS ne suffit pas. CU suffit mais pas tjrs satisfaite. Grace caractere local de la continuité, pour prouver continuité de f, il suffit que pt a€A la suite (fn) CU vers f sur un voisinage relatif de a. Ex : si I un intervalle, et si il y a CU sur tt segment C I, alors f sera continue. Ne pas oublier que cette convergence sur tt segment C I n'entraine pas, en general, CU sur I

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A quelle point la CU conserve-t-elle la regularité ?

Ns venons de voir que la CU conservait continuité. On peut verifier qu'elle conserve aussi l'uniforme continuité

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Exemple de non conservation de la derivabilité par convergence uniforme

fn=(x^2-1/n) ^1/2 derivable sur ]-1;1[ mais pas f=|x|

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Théoreme de la double limite

Soit (fn) une suite de fonctions de A dans E, et soit a un point adhérent à A. On suppose que :
-(fn) converge uniformement vers f sur A
-pt n, fn admet une limite finie ln€E en a
La suite (ln) admet alors une limite l, f admet une limite en a, et ces limites sont égales lim(x,a) f(x) =l

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Rq a propos du Théoreme de la double limite (theoreme de la double limite)

Si les hypotheses sont veifiées :
Soit (fn) une suite de fonctions de A dans E, et soit a un point adhérent à A. On suppose que :
-(fn) converge uniformement vers f sur A
-pt n, fn admet une limite finie ln€E en a
Alors lim(n,8)lim(x,a)fn(x)=lim(x,a)lim(n,8)fn(x)
Le fait que (ln) et f admettent une limite
en n et en a fait partie des conclusions!

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Theoreme : Integration d'une limite uniforme sur un segment

Soit (fn) une suite de fonctions continues definies sur I de R a valeurs ds E. a un pt de I.
On suppose qu'il existe f:I ds E vers laquelle (fn) converge (simplement, et) uniformement sur tt segment de I.
Pt n€N,x€I, soit Fn(x)=int(a,x)fn et F(x)=int(a,x)f. Alors (Fn) converge uniformement vers F sur tt seg de I. E particulier: si (fn) CVU vers f sur le seg [a,b] alrs int[a,b]fn tend vers int[a,b]f

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Theoreme de derivation d'une suite de fonction

On suppose que A est un intervalle I de R et que :
-Chaque fn est de C1
-(fn) CVS sur I vers f
-(fn') CVU sur tt seg de I vers g
Alors la suite (fn) CVU vers f sur tt seg de I, f est de C1 sur I et f'=g

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Remarque a propos du theoreme de derivation d'une suite de fonction

Ce theoreme est une csce assez direct du th sur l'integration d'une limite uniforme sur un seg : c'est le resultat integrale qui permet de deduire un resultat sur les derivees. Cela explique d'ailleurs pq on suppose la CVU sur tt seg. Il faut aussi noter que l'hypothese forte (celle de la CVU) porte sur la suite dérivée (fn') et nn la suite (fn)

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Derivations successives d'une suite de fonctions

Ce resultat s'etend immediatement aux suites de Ck sous l'hypothese de CV simple de (f^(j)n) pour j€[0,k-1] et de CVU de (f^(k)n) sur tt seg de I
De meme on adaptera cet enoncé pour mq'une suite de fonctions est de C8

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Exemple de suite de fonctions continues sur [0,1] convergeant simplement vers la fonction nulle et verifiant int[0,1] fn =1 pt n

pt n ,
fn = 0 sur [0,1-1/2^n]
fn= 2^n+1 en 1-1/2^(n+1)
fn=0 en 1

fn affine sur [1-1/2^n, 1-1/2^(n+1)] et sur [1-1/2^(n+1), 1]

On augmente la hauteur par deux et on diminue la base par deux a chaques coups

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Approximation uniforme par des fonctions en escalier

Toute fonction continue par morceaux f sur un segment [a,b] est limite uniforme de fonction en escalier

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Theoreme de Weierstrass

Toute fonction continue sur un segment y est limite uniforme de fonctions polynomiales

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Series de fonctions
Contexte: c quoi?

On considère ici une suite de fonctions (un) de A dans E. La serie de foncion sigma Un de TG Un correspond a la suite de fonction (Sn) ou pt n: Sn=def=som(0,n)uk
Sn etant appelée somme partielle d'ordre (ou d'indice n) de la serie de fonction sigma uk

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Definition-Convergence simple, uniforme, d'une serie de fonctions

La convergence simple (U) de la serie de fonction Sigma Un est la convergence simple (U) de la suite (Sn) des sommes partielles. En cas de CS on def la somme S de cette serie de fonctions noté sigma(0,8)Un def par :
Pt x de A: (som(0,8)un)(x)=som(0,8)un(x) et Rn est le reste d'ordre (d'indice) n note sigma(n+1,8)uk def par Rn(x)=sigma(n+1,8)uk(x)

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En cas de CS on a :

Pt n : som(0,8)uk=Sn + Rn
Cette serie de fonction CU ssi la suite de ses reste converge vers la foncion nulle.
Si la serie som(Un) CS (U) alors le TG Un CS (U) vers la fonction nulle (cond necessaire inssufisante) elle sert plus a montrer une div grossiere

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Definition - Convergence normale

On dit que la serie de fonction som(Un) CN si la serie numerique som||Un||8 converge. Plus generalement : pour toute partie B de A, on dit que som(Un) converge normalement sur B si la serie numerique sigma||Un||8,B converge.
Bien sur CN entraine CAbsolue en tt pts et donc CS

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Commet montrer la CN en pratique ?

Pour mq Sigma (Un) est normalement convergente, il n'est pas necessaire de calculer explicitement les ||un||8, il suffit de trouver une suite majorante (an) de (||Un||8) ie tq ||Un||8 inf an pt n et tq Som(an) converge

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La convergence normale implique la CU

On suppose que sigma(Un) converge normalement. Cette serie de fonction converge alors uniformement.

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Il ne faut pas confondre la convergence absolue en tout points et la convergence normale: la CA en tt points veut dire :
La CN veut dire :

CA en tt pts :
Pt x€A, pt Epsilonsup0 il existe N€N tq som(N+1,8)||Un(x)) inf epsilon
CN :
Pt Epsilon sup 0, il existe N€N tq som(N+1,8)||Un||8 inf epsilon
D'une certaine facon: l'ecart entre la CN et CAbsolue en tt pts est encore plus grand qu'entre la CU et la CS

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Continuité ponctuelle et convergence uniforme pour une serie de fonction

Si les un sont continues sur A, et si la convergence de som(Un) est uniforme, alors la fonction som(0,8)uk est continue en a

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Limite uniforme d'une serie de fonctions continues

Si toutes les Un sont continues sur A, et si la convergence de sigma(Un) est uniforme, alrs la fonction somme som(0,8)uk est continue sur A

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Theoreme de la double limitepour les series de fonctions

Soit a un pt aderent de A. On suppose que :
- som(Un) CU vers S sur A
-pt n, un admet limite ln en a
Alors la serie som(ln) est convergente, S admet une limite en a, et ces limites sont egales : lim(x,a)S(x)=som(0,8)ln
Donc som(0,8)lim(x,a)Un(x)=lim(x,a)som(0,8)un(x) encore une double limite

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Theoreme : Integration d'une limite uniforme d'une serie de fonction sur un segment

Soit (Un) une suite de fonction continues def sur I de R a valeurs dans E. a un point de I. On suppose sigma(Un) CU sur tt seg de I vers une fonction S. Pt n€N: et x€I soit Un(x)=int(a,x)un, Ro(x)=int(a,x)S(x)
Alors som(Un) CU vers Ro sur tt seg de I. En particulier si som(Un) CU sur [a,b] alors som(0,8)int[a,b]un(t)dt = int[a,b]som(0,8)un(t)dt

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Theoreme de derivation d'une serie de fonctions

On suppose que A est un intervalle I de R et que :
-Chaque un est de C1
-som(un) CS sur I vers une fonction S
-som(un') CU sur tt seg de I vers fonction T
Alors la serie som(un) CU vers S sur tt seg de I, S est de C1, sur I et S'=T

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Pour l'etude asymptotique d'une serie de fonction : on pourra utiliser

Le theoreme de la double limite, le CSSA, la comparaison serie integrale

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La convergence d'une suite de fonction (fn)de C1 implique-t-elle celle de la sute (fn') ?

Soit fn de R ds R qui a x associe sin((n+1)x)/(n+1) alors fn est une suite d'application de C1 qui CVU vers 0 sur R (pt x,n de RxN, |fn(x)|inf 1/(n+1) )et fn'=cos((n+1)x) qui ne converge pas (meme pas simplement) (fn'(pi))