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Flashcards in Fonctions Vectorielles Deck (60)
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Definition-fonction vectorielle

On appelle foctio vectorielle une fonction definie sur une partie A de R et a valeurs dans un EVN E

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Que dire de la structure de F(I,E) = E^I

Grace a la structure d'EVN de E on peut munir E^I d'une loi d'addition et de multiplication externe ce qui lui confere une structure de KeV et si E est une K-algebre, on en deduis une meme structure pour E^I

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Definition - Application norme d'une fonction vectorielle

On appelle application norme de f et on note ||f|| la fonction
||f|| : I dans R+
t associe ||f(t)||

En fait c'est ||.||of et non la norme d'un element de E^I

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Definition fonction coordonnées associés a une fonction vectorielle dans une base

On appelle p-uplet des fonctions coordonnees de f dans une base B l'unique p uplet (f1,...,fp) de fonction de I dans K tq pt t de I
f(t) = som(1,p) fi(t)ei fi la ieme coordonné de f dans la base B
fi= e*i o f en effet fi depend de B

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Exemple fonction coordonnées

Si E est le R-ev C et si B=(1,i) alors les foncions coordonnees de f sont Re(f) et Im(f)

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Continuité d'une fonction vectorielle :

2 points

On sais que f est continue (ponctuellement ou globalement) ssi ses fonctions coordonnees le sont (base quelconque)
On sait que la continuité (globale ou ponctuel) de f ne dependra pas de la norme choisie car elles sont equivalentes

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Relations de comparaisons pour les fonctions vectorielles

f: I dans E et g: I dans F

On notera f(t)=o(to) g(t) et on dira f negligeable devant g en to si ||f(t)||=o(to)||g(t)|| ie il existe Epsilon de I dans R de lim 0 en to tq ||f||=Epsilon||g|| sur voisinage relatif de to ds I
- f(t)=O(to)g si Epsilon = Beta de I ds R+ borné au voisinage de o
-f~g si f-g =o(to)g (E=F)

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Definition - Fonction de taux d'accroissement d'une fonction en un point

On appelle fonction taux d'acroissement de f en to et on note Tto(f) l'application de I\to dans E
Tto(f) : t associe (f(t)-f(to))/(t-to)

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Definition-derivabilité en un point d'une foncion vectorielle

On dit que f est derivable en to si l'app Tto(f) admet une limite finie l en to. Si c'est le cas l=f'(to) derivée de f en to

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Derivabilité et developpement limité s l'ordre 1

f derivable en to ssi elle admet un DL1 en to ie il existe gamma €E tq f(t) =to=f(to) +(t-to)gamma + o(t-to) si tel est le cas gamma = f'(to)

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Derivabilité et approximation affine

Ainsi, f est derivable en to ssi elle est egale a une fonction affine (somme fonction constante et fonction lineaire) a un negligeable devant t- (t-to) en to pres

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Lien entre derivabilité et continuité d'une fonction vectorielle

Si f derivable en to alors f continue en to

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Traduction de la derivabilité a l'aide des coordonnees

La fonction f est derivable en t ssi pt i€[1,p] les fonctions coordonnees fi sont derivables en t et on a alors

f'(t)=som(1,p)f'(t)ei

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Dans ce chapitre

K designe R ou C
I et J designent des interieurs non vide
E,F,G,H des evn sur K de dim finie.
B une base de E
f et g des applications de I dans E

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Derivabilité a droite et a gauche d'une foncion en un point

On dit qe f est derivable a g si Tto admet une limite finie lg a gauche en to. On appelle alors derivee a gauche de f en to et on note f'g(to) = lg
On def la meme a droite

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Equivalences

Lorsque to appartient a °I (derivabilite)

f est derivable en to ssi f derivable a gauche et a droite en to et f'g(to) = f'd(to)

(f derivable a g et a d en to n'est pas condition suffisante pir que f soit deriveble en to, en revanche c'est une cond suffisante pour la continuité en to

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Combinaisons lineaires de fonctions derivables

L'ensemble ♎️ des fonctions de I dans E derivable en a est un Kev et phi: ♎️ dans E qui a f associe f'(a) est lineaire

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Derivation et composition par une application lineaire

Si f est derivable en a et si L € L(E,F) alors Lof est derivable en a et (Lof)'(a)=L(f'(a))

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Derivaion et composition avec une application bilineaire

Si f:I dans E et g:I dans F sont derivables en a et si B: ExF dans G est bilineaire alors B(f,g) est derivable en a et
(B(f,g))'(a)=B(f(a),g'(a)) + B(f'(a),g(a))

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Exemple : operation sur les fonctions derivables

On suppose f et g derivables en a

-Si E une K-algebre. Et B(u,v) associe uv on a (fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)
-si (E,(.|.)) est espace prehilbertien reel alors (f|g) derivable en a et (f|g)'(a)=(f'(a)|g(a))+(f(a)|g'(a))

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Exemple - Derivée de fonctions a valeurs matricielles

Si A et B des fonctions de I dans Mn(K) derivables en a alors AB derivable en a et (AB)'(a)= A'(a)B(a) + A(a)B'(a)

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Composée d'applications derivables

Soit phi: J dans I une fonction derivable en b € J. On suppose f derivable en a=def=phi(b). La fonction fophi est derivable et (fophi)'(b)=f'(phi(b))phi'(b)=f'(b)f'(a)

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Definition-Derivabilité globale

On dit que f est derivable sur I si elle est derivable en chaque points de I. On peut alors definit l'application derivée de f de I dans E notee f'.
On note D(I,E) l'ensemble des applications derivables de I dans E

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Graces aux propriétés de la derivabilité ponctuelle on étends naturellement quelques resultats à la continuité globale.

si f derivable sur I alors f continue sur I
-l'aplication de D(I,E) dans E^I qui a f renvoit f' est lineaire et si E est une K-algebre alors D(I,E) est ss algebre de E^I et pt (f,g) € D(I,E) :
(fg)'= f'g + fg'

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Definition- Dérivabilité s l'ordre k d'une fonction vectorielle

On appelle dérivée a l'ordre 0 de f et on note f^(0) l'application f elle meme. Pour tout k € N*. Si la derivée f^(k-1) de f existe et est derivable alors on dit que f est k fois derivable, et on appelle derivée a l'ordre k de f et on bote f^(k) la fonction f^(k) =def= (f^(k-1))'. On note D^k(I,E) l'ens des fonctions de I dans E. k fois derivables.

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Si f est k fois derivable

Alors pour tous entiers naturels i et j de somme k, (f^(i))^(j) = f^(k)

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Derivation a l'ordre k

Soit k€N. La fonction phik: D^k(I,E) dans E^I qui a f associe f^(k) est lineaire

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Formule de Leibniz

Si E est une K-Algebre. Soit k € N. Si f et g sont k fois derivables, alors (fg)^(k) = som(0,k) (i parmi k) f^(i) g^(k-i)

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Formule de Leibniz généralisée

Soit B : ExF dans G une application bilineaire. Si f: I dans E et g: I dans F sont k fois derivables alors B(f,g) l'est egalement et (B(f,g))^(k) = Som(0,k) (i parmi k) B(f^(i),g^(k-i))

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Exemple d'application de I dans On(R) (n=3)

Phi qui a ø associe
(1 0 0 )
(0 cosø -sinø )
(0 sinø cosø)