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Flashcards in Fonctions Vectorielles Deck (60):
1

Definition-fonction vectorielle

On appelle foctio vectorielle une fonction definie sur une partie A de R et a valeurs dans un EVN E

2

Que dire de la structure de F(I,E) = E^I

Grace a la structure d'EVN de E on peut munir E^I d'une loi d'addition et de multiplication externe ce qui lui confere une structure de KeV et si E est une K-algebre, on en deduis une meme structure pour E^I

3

Definition - Application norme d'une fonction vectorielle

On appelle application norme de f et on note ||f|| la fonction
||f|| : I dans R+
t associe ||f(t)||

En fait c'est ||.||of et non la norme d'un element de E^I

4

Definition fonction coordonnées associés a une fonction vectorielle dans une base

On appelle p-uplet des fonctions coordonnees de f dans une base B l'unique p uplet (f1,...,fp) de fonction de I dans K tq pt t de I
f(t) = som(1,p) fi(t)ei fi la ieme coordonné de f dans la base B
fi= e*i o f en effet fi depend de B

5

Exemple fonction coordonnées

Si E est le R-ev C et si B=(1,i) alors les foncions coordonnees de f sont Re(f) et Im(f)

6

Continuité d'une fonction vectorielle :

2 points

On sais que f est continue (ponctuellement ou globalement) ssi ses fonctions coordonnees le sont (base quelconque)
On sait que la continuité (globale ou ponctuel) de f ne dependra pas de la norme choisie car elles sont equivalentes

7

Relations de comparaisons pour les fonctions vectorielles

f: I dans E et g: I dans F

On notera f(t)=o(to) g(t) et on dira f negligeable devant g en to si ||f(t)||=o(to)||g(t)|| ie il existe Epsilon de I dans R de lim 0 en to tq ||f||=Epsilon||g|| sur voisinage relatif de to ds I
- f(t)=O(to)g si Epsilon = Beta de I ds R+ borné au voisinage de o
-f~g si f-g =o(to)g (E=F)

8

Definition - Fonction de taux d'accroissement d'une fonction en un point

On appelle fonction taux d'acroissement de f en to et on note Tto(f) l'application de I\to dans E
Tto(f) : t associe (f(t)-f(to))/(t-to)

9

Definition-derivabilité en un point d'une foncion vectorielle

On dit que f est derivable en to si l'app Tto(f) admet une limite finie l en to. Si c'est le cas l=f'(to) derivée de f en to

10

Derivabilité et developpement limité s l'ordre 1

f derivable en to ssi elle admet un DL1 en to ie il existe gamma €E tq f(t) =to=f(to) +(t-to)gamma + o(t-to) si tel est le cas gamma = f'(to)

11

Derivabilité et approximation affine

Ainsi, f est derivable en to ssi elle est egale a une fonction affine (somme fonction constante et fonction lineaire) a un negligeable devant t- (t-to) en to pres

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Lien entre derivabilité et continuité d'une fonction vectorielle

Si f derivable en to alors f continue en to

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Traduction de la derivabilité a l'aide des coordonnees

La fonction f est derivable en t ssi pt i€[1,p] les fonctions coordonnees fi sont derivables en t et on a alors

f'(t)=som(1,p)f'(t)ei

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Dans ce chapitre

K designe R ou C
I et J designent des interieurs non vide
E,F,G,H des evn sur K de dim finie.
B une base de E
f et g des applications de I dans E

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Derivabilité a droite et a gauche d'une foncion en un point

On dit qe f est derivable a g si Tto admet une limite finie lg a gauche en to. On appelle alors derivee a gauche de f en to et on note f'g(to) = lg
On def la meme a droite

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Equivalences

Lorsque to appartient a °I (derivabilite)

f est derivable en to ssi f derivable a gauche et a droite en to et f'g(to) = f'd(to)

(f derivable a g et a d en to n'est pas condition suffisante pir que f soit deriveble en to, en revanche c'est une cond suffisante pour la continuité en to

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Combinaisons lineaires de fonctions derivables

L'ensemble ♎️ des fonctions de I dans E derivable en a est un Kev et phi: ♎️ dans E qui a f associe f'(a) est lineaire

18

Derivation et composition par une application lineaire

Si f est derivable en a et si L € L(E,F) alors Lof est derivable en a et (Lof)'(a)=L(f'(a))

19

Derivaion et composition avec une application bilineaire

Si f:I dans E et g:I dans F sont derivables en a et si B: ExF dans G est bilineaire alors B(f,g) est derivable en a et
(B(f,g))'(a)=B(f(a),g'(a)) + B(f'(a),g(a))

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Exemple : operation sur les fonctions derivables

On suppose f et g derivables en a

-Si E une K-algebre. Et B(u,v) associe uv on a (fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)
-si (E,(.|.)) est espace prehilbertien reel alors (f|g) derivable en a et (f|g)'(a)=(f'(a)|g(a))+(f(a)|g'(a))

21

Exemple - Derivée de fonctions a valeurs matricielles

Si A et B des fonctions de I dans Mn(K) derivables en a alors AB derivable en a et (AB)'(a)= A'(a)B(a) + A(a)B'(a)

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Composée d'applications derivables

Soit phi: J dans I une fonction derivable en b € J. On suppose f derivable en a=def=phi(b). La fonction fophi est derivable et (fophi)'(b)=f'(phi(b))phi'(b)=f'(b)f'(a)

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Definition-Derivabilité globale

On dit que f est derivable sur I si elle est derivable en chaque points de I. On peut alors definit l'application derivée de f de I dans E notee f'.
On note D(I,E) l'ensemble des applications derivables de I dans E

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Graces aux propriétés de la derivabilité ponctuelle on étends naturellement quelques resultats à la continuité globale.

si f derivable sur I alors f continue sur I
-l'aplication de D(I,E) dans E^I qui a f renvoit f' est lineaire et si E est une K-algebre alors D(I,E) est ss algebre de E^I et pt (f,g) € D(I,E) :
(fg)'= f'g + fg'

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Definition- Dérivabilité s l'ordre k d'une fonction vectorielle

On appelle dérivée a l'ordre 0 de f et on note f^(0) l'application f elle meme. Pour tout k € N*. Si la derivée f^(k-1) de f existe et est derivable alors on dit que f est k fois derivable, et on appelle derivée a l'ordre k de f et on bote f^(k) la fonction f^(k) =def= (f^(k-1))'. On note D^k(I,E) l'ens des fonctions de I dans E. k fois derivables.

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Si f est k fois derivable

Alors pour tous entiers naturels i et j de somme k, (f^(i))^(j) = f^(k)

27

Derivation a l'ordre k

Soit k€N. La fonction phik: D^k(I,E) dans E^I qui a f associe f^(k) est lineaire

28

Formule de Leibniz

Si E est une K-Algebre. Soit k € N. Si f et g sont k fois derivables, alors (fg)^(k) = som(0,k) (i parmi k) f^(i) g^(k-i)

29

Formule de Leibniz généralisée

Soit B : ExF dans G une application bilineaire. Si f: I dans E et g: I dans F sont k fois derivables alors B(f,g) l'est egalement et (B(f,g))^(k) = Som(0,k) (i parmi k) B(f^(i),g^(k-i))

30

Exemple d'application de I dans On(R) (n=3)

Phi qui a ø associe
(1 0 0 )
(0 cosø -sinø )
(0 sinø cosø)

31

Composition de fonctions k fois derivables

Soit phi: J dans I une application. On suppose que f et phi sont l fois derivables. L'application fophi est alors k fois derivable

En revanche pas de formule simple pour derivée k-ieme

32

Definition- application continûement derivable

Les inclusions avec D(I,E) et C(I,E)

Soit k€N. On dit que f est de C^k ou que f est k fois continuement derivable si f est k fois derivable et si f^(k) est continue.
On dit que f est de C^(8) ou que f est indefiniement derivable si f est k fois derivable pour tout k de N

Pt k, D^(k+1)(I,E) C C^(k)(I,E) C D^(k)(I,E)

33

Operation sur les applications continuement derivables

Soit k de NU{8}. L'ensemble C^(k)(I,E) muni des lois usuelles, est un K-espace vectoriel. C'est meme une K-algebre si E est une K-algebre.

34

Vecteur acceleration

Si f est deux fois derivable, et si elle a un argument temporel et des valeurs donnant une position, alors le taux d'accroissement de f' entre to et t supposés distinct, s'interprete comme l'acceleration moyenne de f entre t et to, et la limite de ce taux lorsque t tend vers to est l'acceleration instantanée de f en to

35

Profuit scalaire canonique sur Mn(K)

f qui a A,B de Mn(K) renvoit tr(A(^tB))

36

Soit A € Mn(K). Comment on montre que l'application expA qui a t associe exp(tA) est derivable en 0 et que exp'(A)=A

exp(tA)=som(0,8)(tA)^k/k!
f admet DL1 en 0 ssi f derivable en 0 donc ici
exp(tA)=In + tA + som(2,8)(tA)^k/k!
Montrons que la som =0=o(t)
som(2,8)(tA)^k/k! = t^2som(2,8)(t^k-2A^k)/k! La som =O(1)
||t^k-2A^k||inf ||t^k-2||||A^k||/k! Inf ||A^k||/k! Si t€]-1,1[ donc som=O(1) et som(2,8)(tA)^k/k! = 0(t^2)=o(t) d'ou le resultat

37

Definition - Continuité par morceaux d'une fonction vectorielle

On dit que f est continue par morceaux si chacune de ses fonctions coordonnées (ds base quelconque) l'est.

38

Definition - Integrale d'une fonction vectorielle continue par morceaux sur un segment

On appelle integrale de f sur [a,b] et on note le vecteur int[a,b]f =def = som(1,n)[int(a,b)fi(t)dt]ei

39

Linearité de l'integrale

💎de Cpm([a,b]) dans E qui a f associe son integrale sur a,b est lineaire

40

Relation de chasles

Pt x,y,z de [a,b] et tt f€Cpm(a,b) on a int(x,z)=int(x,y)+int(y,z)

41

Definition-Sommes de Riemann associées a une subdivision reguliere

Soit n€N*, on appelle somme de R de f associé a la subd reg de [a,b] de pas (b-a)/n pointée a droite et on note Snd(f) le vecteur Snd(f)=(b-a)/n som(1,n)f(a+i(b-a)/n)
Elle est pointée a gauche si la somme va de 0 a n-1

42

Convergence des sommes de Riemann

Si f€Co(I,E) alors pt a,b €I ou a inf b les suites Sng(f) et Snd(f) convergent vers int(a,b)f

43

Inegalité triangulaire integrale

Pt f € Cpm (I,E)
||int[a,b]f|| inf int[a,b] ||f||

44

Definition - Primitive d'une fonction vectorielle continue

On suppose f continue. On appelle primitive de f (sur I) tte fonction F de I dans E derivable sur I de derivee f

45

Avec les fonctions composantes : primitive d'une fonction vectorielle continue

Si F derivable de I ds E et si (F1,...,Fp) le p-uplet de ses fonctions composantes ds B, F est une primitive de f ssi Fi primitive de fi pt i

46

Deux primitives d'une meme fonction diffèrent d'une constante

Deux primitives F et G de f sur I different d'un vecteur constant. En particulier si deux primitives F et G de f sur I coincident en un point alors elles sont egales

47

Theoreme fondamentale de l'analyse (vectoriel)

On suppose f continue. La fonction F: I dans E
x associe int(a,x) f(t)dt rst l'unique primitive de f sur I s'annulant en a

48

Inegalité des accroissements finis

Soit f€C1([a,b],E). On suppose avoir un majorant M de ||f'||.

On a alors ||f(b)-f(a)|| inf M(b-a)

49

Derivée bornée et caractere lipschitzien

Soit f €C1(I,E). K€R+*. La fonction f est K-lipschitzienne ssi ||f'|| est majorée par K

50

Theoreme du prolongement continuement derivable pour les fonctions vectorielles

Si f:]a,b[ dans E est de C1, et si f et f' sont prolongeable par continuité en a, alors f est prolongeable en une fonction de C1 sur [a,b]

51

Integration par parties pour les fonctions vectorielles

Soit B:ExF dans G une app bilineaire et f:I dans E et g:I dans F.
Si f et g sont de C1 alors pt a,b€I
int[a,b]B(f'(t),g(t))dt = B(f(t),g(t))[a,b] + int[a,b] B(f(t),g'(t))dt

52

L'IPP sert a

Se debarasser des fonctions tq ln, arctan, voire arcsin
A analyser un comportement asymptotique ou une limite (par ex mq int(0,8) sin(t)/t dt converge)

53

Changemet de variables pour les fonctions vectorielles

Soit phi:J dans I de C1. La fonction f supposée continue. On a alors pt a,b € J
int[a,b]phi'(t)f(phi(t))dt=int[phi(a),phi(b) f(u) du

54

Image d'une integrale par une application lineaire

On suppose f continue. Soit L€L(E,F) on a L(int[a,b]f) = int [a,b] Lof

55

Formule de Taylor avec reste integrale

Soit f€Cn+1 (I,E) on a
f(b)=
som(0,n)f^(k)(a)(b-a)^k /k! +
Int[a,b] [(b-t)^n f^(n+1)(t)]/n! dt

56

Inegalité de Taylor-Lagrange a l'ordre n

Soit f€Cn(E,I) On suppose ||f^(n)|| majorée par M€R. On a alors :
||f(b)-som(0,n-1) [f^(k)(a)(b-a)^k]/k! || inferieur ou egale a
|b-a|^nM/n!

57

Som(0,8)1/k! =

e

58

Formule de Taylor Young a l'ordre n

Soit f€Cn(I,E) on a :
f(x)=
som(0,n)[f^(k)(a)(x-a)^k]/k! + o((x-a)^n)

59

Si f de C2. On suppose f et f'' bornées et on note Mo=||f||8 et M2=||f''||8

Comment montrer que f' est borné par M1 et M1 inf 2(M0M2)^1/2

On ecrit l'inegalité de TL avec a=x et b=x+h jusqu'a n=2 on trouve ||f'(x)|| majo par un truc qui depend de h, on etudie les variation de la fonction puis on a l'inegalté pour le h qui minore le truc de droite

60

Pourquoi expA(t) est un polynome en A ?

Car l'ensemble K[A] des polynomes en A est un fermé de Mn(K) car c'est un ss-ev de dim finie de Mn(K) donc il est facile de montrer que A et expA(t) commutent car le produit de polynome est commutatif