Reduction Des Endomorphismes Flashcards
(92 cards)
Automorphisme de conjugaison par P
A A de Mn(K) il renvoit P-1AP c’est un automorphisme de l’algebre Mn(K)
Matrice nilpotente diagonalisable
Elles sont nulles
L’objet du chapitre meut se resumer ainsi :
On de demande si une matrice est diagonalisable
- si oui, on rend effective la diagonalisation (on explicite une matrice P de cht de base)
- sinon, on se demande si elle est triagonalisable
- si oui, on rend effective cette triag
Importance du corps des des scalaires sur lequel on travail:
Pour endo, ce corps est implicite, mais une matrice a coeffs ds corps K peut tjrs etre vue comme a coefs ds un surcorps quelconque K’ de K. Par ex, une matrice reelle n’est pas tjrs trigonalisable ds R Mn(R) mais le devient si on la voit comme une matrice de Mn(C).
Relation de similitude matricielle
Definition-Matrice semblables
Rq quel type de relation
Rq ac matrice equivalente
Deux matrices carrées sont semblable si il existe P de Gln(K) tq B=P-1AP
C’est une relation d’equivalence appelé relation de similitude matricielle
Si A et B semblable, elle sont equivalente, recip fausse
A propos de la similitude
Pour que A et B soient semblable elles doivent verifier les invariants de similitudes : Trace, det, rang, spectre, ideal annulateur, polynome caracteristique, polynome minimale
Un IDS a une traduction en terme d’endomorphisme: on def cet invariant pour u comme l’invariant commun a tous ses representants matriciels(ds base donnée). On a pt k A^k=P-1B^kP et cette relation s’etend aux entiers negatifs si A (et donc B) inversibles
Similitude et polynomes
Si A et B sont semblables alors pt Q€K[X] Q(A)=P-1Q(B)P
Classe de similitude
La classe de similitude d’une matrice carré est d’autant plus “grosse” que son commutant est petit.
Ds le cas d’une matrice scalaire lambdaIn, qui est le centre de Mn(K) la classe de similitude est {LambdaIn}
Caracterisation des matrices semblables (interpretation geometrique)
Deux matrices carrées A et B de taille n sont semblables ssi il existe un endomorphisme u d’un espace vectoriel E de dimension n, et deux bases B et C de E telles que A=Mb(u) et B=Mc(u)
Endomorphisme canoniquement associé a une matrice carré
L’endomorphisme canoniquement associé a A est l’endomorphisme de K^n representé par A dans la base canonique. Il arrive frequemment que l’on identifie A et l’endomorphisme qui lui est associé, et donc que l’on parle de Ker(A) et Im(A) par ex.
Definition-Sous espace stable par un endomorphisme. Endomorphisme induit.
Soit F un sous espace vectoriel de E. On dit que F est stable par u ou que u stabilise F si u(F)CF. Dans un tel cas o peut def la restriction de u sur F appelé endomorphisme de F induit par u
Rq a propos de la stabilité d’un EV par un endomorphisme
Les sous espaces {OE} et E sont stables par tout endomorphisme de E, et ne présentent donc que peu d’interets pour cette notion.
La somme et l’intersection de deux sous sous espaces vectoriels stables par u le sont encore.
Si F est stable par u et v, alors il l’est par uov et par ttes CL de u et de v. On montre facilement que l’ens des endo de E stabilisant F est une sous algebre de L(E)
Si F est stable par u et si v designe l’endomorphisme induit par u alors
Pt n, F est stable par u^n et l’endomorphisme de F induit par u^n n’est rien d’autre que v^n.
Pt Q€K[X], F est stable par Q(u) et l’endo de F induit par Q(u) est Q(v).
Ker(v)=Ker(u)interF et Im(v)CIm(u)InterF mais l’inclusion rst souvent stricte
Si A de Mn(K) est semblable a une matrice diag D=(d1,d2,…,dn)
Les calculs sur A se resuisent a ceux effectué sur D : si A = P-1DP alors pt Q€K[X] on a Q(A)=P-1Q(D)P
Supposons E de dim n, soit F un ssev de E stable par u de dim m. Que dire de M la matrice de m
Dans une base adapté a F (et obtenue en completant ac vecteurs de E\F). M est triangulaire par blocs
De plus: si u est bijectif, l’endomorphisme qu’il induit sur F l’est aussi.
Definition-Valeur propre, sous espace propre, vecteur propre.
Soit @€K, on dit que @ est valeur propre de u si l’endomorphisme u-@IdE est injectif ie si Ker(U-@IdE) est non trivial (non reduit a 0E). Dans ce cas, Ker(u-@IdE) (qui est aussi {x€E,u(x)=@x}) est appelé sous espace propre de u associé a la valeur propre @, et noté E@(u). Tout vecteur non nul de E@(u) est appelé vecteur propre re u associé a la valeur propre @.
Rq a propos de la def de valeur propre, sous espace propre, vecteur propre.
On a def un vecteur propre comme etant non nul, ce qui permet:
Que tout scalaire soit valeur propre
Qu’a tt vecteur propre corresponde une unique valeur propre.
(En revanche a tte valeur propre on peut associé une infinité de vecteur propres (si on travail sur un corps infini)
On peut etendre la notation E@(u) au cas ou @ n’est pas valeur propre de u ainsi E@(u)={OE}
Equivalence a propos des valeurs propres
Di E est de dim finie non nul, @ est valeur propre de u ssi det(u-@Ide)=0
Definition - Spectre
On appelle spectre de l’endomorphisme u d’un espace de dimension finie non nulle, et on note Sp(u), l’ensemble de ses valeurs propres
A propos du spectre de u
Sp(u)={@&K tq det (u-@IdE)=0}
En particulier le spectre d’un endomorphisme d’un espace de dim finie n est fini de card au plus n, l’application qui a @ renvoit det(u-@IdE) est polynomiale de degré n) donc :
-si K=C u admet au moins une valeur propre d’apres th de D’Alembert Gauss
-Si K=R et n impair, alors u admet au moins une valeur propre (reelle) (cse du TVI)
La somme d’une famille finie de sous-espaces propres est direct
Soit @1,…@n des valeurs propres distinctes de u. La somme E@1(u)…E@n(u) est alors direct
(La proposition est presenté dans le cas ou les @ sont valeurs propres mais il y a quand meme une somme direct avec de simples scalaire quelconques (distinct)
Vecteur propre associées a des valeurs propres distinctes
Tte famille de vecteur propres pour u associés a des valeurs propres distinctes est libre
Lemme-Stabilité et commutant
On suppose que u et v commutent. Les sous espaces vectoriels Ker(u) et Im(u) de E sont alors stables par v
Sous espaces propres et endomorphismes qui commutent
On suppose que les endomorphismes u et v commutent. Tout sous espace propre de u est alors stable par v.
