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Flashcards in Espaces Vectoriels Normés Deck (131):
1

Axiome de séparation

Pt x de E, si ||x|| = 0 alors x=0E

2

Inégalité triangulaire

Pt x,y de E, ||x+y|| inférieur ou égale ||x|| + ||y||

3

Homogénéité

Pt (a,x) de RxE ||ax|| = |a| ||x||

4

Seconde inégalité triangulaire

| ||x|| - ||y|| | inf= ||x+y||

Ou inf= ||x-y||

5

Norme induite

Si (E,||.||) est un evn et si F est un ss ev de E alors la restriction de ||.|| a F est une norme sur F appelée norme induite sur F par la structure d'evn de E

6

Boule fermée

L'ensemble (x de E, d(x,a) inf= r) est boule fermée de centre a (positif) et de rayon r noté _B(a,r)

7

Boule ouverte

L'ensemble (x de E tq d(x,a) inf r) est la boule ouverte de centre a de rayon r note B(a,r)

8

Sphère

L'ensemble (x de A, tq d(x,a) est appelé sphère de centre a de rayon r note S(a,r)

9

Boule unité

Boule de centre 0E de rayon 1

10

_B(a,r) peut être vide ?

Non (a est dedans)

11

B(a,r) est non vide ssi

R supérieur à 0

12

S(a,r) est non vide ssi

R=0 ou si E différent de {0E}

13

Une partie A de E est bornée ssi

Elle est incluse dans une boule (fermée ou ouverte) centrée en 0E

14

Une partie A de E est bornée si

Il existe M de R+ tq pt a de E ||a|| inf égale M

15

Une suite ou une fonction à valeur dans E est dite bornée si

Son image l'est

16

Union d'un nombre fini de parties bornées

Est bornée

17

Une partie d'une partie bornée est

Bornée

18

Toute boule

Est bornée

19

Diamètre d'une partie non vide et bornée A de E

C'est le réel sup (d(x,y), (x,y) de A)

20

Soit a de E, soit A une partie de E

On dit que A est un voisinage de a, ou que a est intérieur a A si

Il existe E supérieur à 0, tq B(a,E) C A

21

a est intérieur a A ssi

Il existe E supérieur 0 tq B(a,E) C A

22

Toute partie de E contenant un voisinage de a :

Est un voisinage de a

23

L'intersection d'un nombre fini de voisinage de a est

Est un voisinage de a

24

Intersection d'un nombre infini de voisinage de a

N'en est pas toujours un

25

Étant donné deux points distincts a et b de E,

Il existe 2 voisinages Va et Vb tq Va inter Vb soit l'ensemble vide

26

Une partie A de E est dite ouverte si

Elle est un voisinage de chacun de ses points

27

Une union quelconque d'ouverts

Est un ouvert de E

28

Une intersection finie d'ouverts de E est

Un ouvert de E

29

Une intersection quelconque d'ouverts de E

n'est pas toujours un ouvert de E

30

Une boule ouverte est un ouvert ?

Oui connard

31

Définition (fermé d'un espace normé)

Une partie A de E est dite fermée si sin complémentaire est un ouvert de E

32

A propos des Fermé

Une intersection quelconque de fermés est un fermé
Une union finie de fermés de E est un fermé de E
Une union quelconque de fermé de E n'est pas toujours un fermé de E

33

Définition point adhérent

Un point a de E est adhérent à une partie A de E si A rencontre tout voisinage de a

34

a est adhérent à A ssi

Pt epsilon B(a,epsilon) inter A dif ø

ssi

D(a,A) = 0

35

Def intérieur de A

Et on note A° l'ensemble des points intérieurs a A

36

Def adhérence de A

L'adhérence de A est l'ensemble des points adhérents à A on note _A

37

Def frontière de A

L'ensemble des points adhérents à A dt a son complémentaire (on note parfois Fr(A)

38

Un point appartient à Fr(A) ssi

Il est a distance nulle de A et de E\A son complémentaire

39

Soit A une partie de E

L'intérieur de A est

L'adhérence de A est

Le plus grand ouvert de E contenue dans A

Le plus petit fermé de E contenant A

40

Lien entre A, A°, et _A

A° C A C _A

41

Pour tout r sup 0, pt a de E,
Adhérence, intérieur, frontière de _B(a,r) et B(a,r)

C'est la meme, _B(a,r) pour l'adhérence
B(a,r) pour l'intérieur
Meme frontière S(a,r)

42

Une Norme sur le K-ev E est une application ||.|| de E dans R+ vérifiant :

1) Axiome de séparation
2) inégalité triangulaire
3) homogénéité

43

La norme associé au produit scalaire vérifie l'identité du parallélogramme ie :

Pt x,y de E

||x+y||^2 + ||x-y||^2 = 2 (||x||^2 + ||y||^2)

44

Norme 1: || ||1

Pt x= (x1, .... , xn) de K^n

||x||1 = som (1,n) |xi|

45

Norme 2: || ||2

Pt x = (x1, ... ,xn) de K^n

||x||2 = racine ( som (1,n) |xi|^2)

46

La norme infinie : || ||8

Pt x= (x1,...,xn) de K^n

||x||8 = sup ( |xi| )

47

Un vecteur d'un evn E est unitaire si

Il est de norme 1

48

Définition distance associé à une norme

Étant donné une norme ||.|| sur E, l'application

D: E^2 dans R+
(x,y) associe ||x-y||

C'est la distance associé à la norme ||.||

49

Espace métrique

Ensemble muni d'une distance

50

Définition : distance d'un point a une partie non vide

Soit x de E, et A une partie non vide de E. On appelle distance de x a A le réel d(x,A) = inf ( d(x,a) à de A)

51

Équivalence des normes en dimension finie

Sur un K-ev de dimension finie, toutes les normes sont équivalente

52

Comment montrer qu'un K-ev n'est pas de dimension finie

On exhibe 2 normes qui ne sont pas équivalente

53

Une fonction numérique de C1 dont la dérivé est bornée sur I

Est k lipschitzienne

54

La composée d'une application k-lipschitzienne et d'une application k'-lipschitzienne est

kk'-lipschitzienne

55

L'espace vectoriel normé (B(E,N), || ||8) est noté

l8(E)

56

L'ensemble des suites convergentes de (E,|| ||) est un ss-ev de

l8(E) et l'application qui a tte suite convergente associe sa limite est linéaire est 1-lipschitzienne

57

Soit un une suite d'éléments de E. On dit que un converge vers le vecteur b de E pour la norme || || lorsque

La suite réelle || Un - l || converge vers 0

58

Toute suite convergente est

Bornée

59

Soit Un et Vn qui convergent respectivement vers b et c pour la norme N alors :

La suite (Un + Vn) converge vers b+c pour la norme N

Pour lambda de R, la suite lambdaUn converge vers lambda b pour la norme N

60

Convergence des suites d'un espace vectoriel normé produit

E = E1 x ... x Ek muni de || ||8

Soit xn = (xn1, ... Xnk) une suite d'elts de E. Soit b = (b1, ... , bk) de E. Alors xn converge vers b si pt i de 1 à k, xni converge vers bi

61

Def valeur d'adhérence

Soit Un une suite d'elts de E, on dit que x de E est une valeur d'adhérence de Un lorsque x est la limite d'une suite extraite de Un

62

Si Un est convergente, alors

Un possède une unique valeur d'adhérence : sa limite

63

Si une suite à deux valeurs d'adhérence

Alors elle diverge

64

Exemple de suite réelle ayant deux valeurs d'adhérence et divergent

(-1)^n

65

Exemple de suite ayant une valeur d'adhérence mais divergent

n(1+ (-1)^n)

66

Une suite Un à valeurs dans E est convergente ssi

(Suite extraites pairs et impairs)

Ses suites extraites paire et impaire convergent vers la meme limite

67

Une partie est fermé ssi

Elle contient son adhérence

68

Caractérisation séquentielle de l'adhérence

Soit x de E, A une partie de E, x est adhérent à A ssi x est limité d'une suite d'éléments de A

69

Partie fermé, suite convergente :

Une partie A de E est fermée ssi toute suite convergente a valeurs dans A converge vers un elts de A

70

On dit qu'une partie D est dense sans E si

Son adhérence est égale a E

71

Soit A une partie de E, les ptés suivantes sont équivalentes :

A est dense dans E
Toute partie ouverte non vide ♎️ de E vérifie ♎️inter A différent de ø
Pt élément x de E, il existe (An) d'éléments de A qui converge vers x

72

Une partie A de E est un compact de E lorsque

Toute suite d'éléments de A admet une suite extraite qui converge vers un élément de A

73

Exemple de partie compact

Toute partie finie de E est un compact de E

74

Toute partie compacte d'un evn E est

Fermé et bornée

75

Toute partie fermée contenue dans une partie compacte de E est

Une partie compacte de E

76

Une suite d'éléments d'une partie compacte de E converge ssi

Elle admet une unique valeur d'adhérence

77

Produit de compacts

Si A est une partie compacte de E et B est une partie compacte de F alors A x B est une partie compacte de E x F

78

Theoreme de Bolzano - Weierstrass

De tte suite bornée de R de C de C^n et R^n on peut extraire une suite convergente

79

Theoreme de Borel-Lebesgue

Les parties compactes de K^n sont les paries bornées et fermées de K^n

80

A est dense dans E ssi

Tout point de E est limité d'une suite de points de A

81

Q et R\Q sont ils dense dans R ? Et d'intérieur vide ?

Double oui connard

82

Q^n est il dense dans R^n ?

Trivial

83

Formulation pour dire que Un converge vers l avec des boules

Pour tout epsilon supérieur à 0 il existe N de N tel que pour tout n supérieur à N, Un est inclu dans une boule de centre l et de rayon epsilon :)

84

Comment montrer que toute suite d'élément de E n'admet qu'une limite ?

Pour tout n de N, || l - l' || inf ou égale || l-un || + || un-l || ce qui tend vers 0


( l- l' = l - un + un - l' )

85

Définition Ouvert relatif

Soit A de E, on appel ouvert relatif de A toute intersection d'un ouvert de E avec A

86

Définition fermé relatif

Soit A de E, on appel fermé relatif de A toute intersection d'un fermé de E avec A

87

Voisinage relatif définition

Soit a de A, on appel voisinage relatif de a dans A toute intersection d'un voisinage de a dans E avec A

88

Tout fermé, ouvert, voisinage relatif de A est

Une partie de A

89

B est un ouvert relatif de A ssi

(Complémentaire)

Son complémentaire dans A est un fermé relatif de A

90

Une union quelconque et une intersection fine d'ouverts relatifs de A

En est encore un

91

Une intersection quelconque et une union finie de fermés relatifs de A

En est encore un

92

Soit B une partie de A.

B est un fermé relatif de A ssi

Pour toute suite xn de points de B, convergeant dans A, la limite de (xn) est dans B

93

1 ère et deuxième reformulations de la limite d'une fonction dans un EVN

f de A dans F

1 f admet l pour limite en a
2 pt boule B de rayon non nul centrée en l, il existe une boule de rayon non nul B' centrée en a tel que f(AinterB') C B

94

3 et 4 eme reformulation de la limite d'une fonction dans un EVN

f de A dans F

Pour tout voisinage V de l dans F, il existe un voisinage relatif V' de a dans A tel que f(V')CV
Pour tout voisinage V de l dans F, f-1(V) est un voisinage relatif de a dans A

95

Caractérisation séquentielle de la limite d'une fonction

f admet l pour limite en a ssi pour toute suite Un de point de A qui tend vers a, limite quand n tend vers l'infini de f(Un) tend vers l

96

Limite d'une fonction dans un EVN produit

Soit F un EVN produit F1x...xFp et l=(l1,...,lp) et f=(f1,...,fp)
La fonction f tend vers l en a ssi pour tout k la fonction fk tend vers lk en a

97

f est dite continue en a si

f admet une limite en a

98

Caractérisation séquentielle de la continuité en un point

f est continué en a ssi pour toutes suites Un de points de A de limite a, f(Un) converge vers f(a)

99

Opération algébrique sur les applications continues

Si f et g de A dans F sont continue en a, alors leurs combinaisons linéaires le soir aussi.

Si F est une K algèbre normée, le produit fg l'est

100

Prolongement par continuité

Si f admet une limite finie l en un point b adhérent à son domaine, alors on définie le prolongement par continuité de f en b comme la fonction f~ def sur AU{b}

101

Continuité globale

La fonction f de A dans F est dite continue sur A si elle est continué en chaque point de A. On note C°(A,F) ou C(A,F) l'ensemble des fº continues

102

C(A,F) structure

Kev et meme

K-algebre lorsque F est une K-algebre normee

103

Caractère locale de la continuité

Soit f de A dans F, f continue sur A ssi pour tout a de A, il existe un voisinage relatif V de a (dans A) tel que f|v soit continue sur V

104

Caractérisation des applications continues
Les assertions suivantes sont équivalentes

f est fontine sur A ssi
Pour tout ouvert X de F, f-1(X) est un ouvert relatif de A ssi
Pour tout fermé X de F, f-1(X) est un fermé relatif de A

105

Prolongation d'une égalité par densité

Deux applications continues qui coïncident sur une partie dense sont égales

106

Toutes fonction lipschitzienne sur un domaine bornée est

Bornée

107

Toute application lipschitzienne est

Uniformément continue

108

Lorsque F est une K algèbre normee, le produit de fonction lipschitzienne

n'est pas tjrs lipschitzien, une condition suffisante pour qu'il le soit est que f et g soient en outre bornée

109

L'application norme de E dans R est

1 lipschitzienne

110

Caractérisation de continuité des applications linéaires

Pour que u linéaire de E dans F sor continue, il faut et il suffit qu'il existe C supérieur à 0 tq pt x de E, ||u(c)|| inf C||x||

111

Une application linéaire est continue ssi

Elle est lipschitzienne ssi
Elle est UC ssi
Elle est continué en 0E

112

Caractérisation de continuité des applications bilinéaires
Soit E,F,G 3 EVN, et B: ExF dans G une application bilinéaire les assertions suivantes sont équivalentes

B est continué sur ExF (pour la structure d'evn produit
Il existe C de R+ tel que pt x,y de ExF
||B(x,y)|| inf C||x|| ||y||

113

Définition normes équivalentes

Soir N1 et N2 des normes sur le meme Kev, on dit qu'elles sont équivalentes s'il existe b et c strictement positif tq pt x de E, aN1(x) inf N2(x) inf bN1(x)

114

Pte normes équivalente

Cela définit une relation d'équivalence sur l'ensemble des normes de E

115

Pour montrer que deux normes ne sont pas équivalentes

On trouve une suite Un d'éléments tous non nuls de E tq N1(Un)/N2(Un) tende vers 0 ou l'infinie

116

Boules et normes équivalentes

Dire que deux normes sont équivalente, c'est dire que la boule unité de chacune contient une boule de rayon non nul pour l'autre centrée en 0E

117

Équivalences sur les boules et normes équivalentes

Pt x de E N2(x)inf bN1(x)
B1(0,1) inclu dans B2(0,b)
Pour tout a de E, pt r de R+, B1(a,r)incluB2(a,br)

118

Caractérisation de l'équivalence de deux normes

N1 et N2 sont équivalentes ssi

La boule unité pour chacune de ces normes est un voisinage de 0E pot l'autre ssi
Ces normes définissent les mêmes parties bornées, voisinages, ouverts, fermées

119

L'existence de b supérieur stricte a 0 tq N1(x) inf bN2(x) signifie que

Tout voisinage d'un point pour N1 est un voisinage de ce point pour N2
(E possède plus de voisinage pour N2 que pour N1) on dit que N2 est plus fine

120

Une fonction de R dans R est continue sur R ssi

Sa restrictions à tout segment est continue

121

Quelle propriete vérifie la norme d'algebre ?

Pour tout u,v de E

||uv|| inferieur ou egale a ||u|| ||v||

122

Definition de la distance dans R

Pour tous x,y de r d(x,y)=|arctan(y) -arctan(x)|

123

Un intervalle I de R est d'interieur vide ssi

I est vide ou est un singleton ssi
I est fini

124

Combinaison linéaire de normes sur l'espace vectoriel normée E

Si N1,...,Nn sont des normes sur E? alors pour tous @1,...,@n de R+, non tous nuls, som(1,n)@kNk est une norme sur E.

125

Que dire de la composée d'une norme et d'une application linéaire phi, dont on sait que |phi| est une semi norme.

Nophi est une norme ssi phi est injective

126

Quels sont les ensembles de E a la fois fermé et ouvert ?

{OE} et E tout entier

127

Caractérisation des ouverts relatifs

Soit B une partie de A, B est un ouvert relatif de A ssi pour tout b de B, B est un voisinage relatif de b dans A.

128

Continuité des applications bilinéaires en dimension infinie

Nous avons caractérisé la continuité des applications linéaires en dimension quelconque.
En fait, il existe une caractérisation analogue pour les applications bilinéaires ne figurant pas au programme : soit E; F;G trois EVN, et B de ExF dans G
une application bilinéaire. Les assertions suivantes sont équivalentes :
(1) B est continue sur ExF (pour la structure d'evn produit).
(2) Il existe C de R+ tel que pt (x,y) de ExF, ||B(x,y)|| inf C||x||||y||

129

Comment montrer la continuité du produit scalaire en dimension infnie

Pour la continuite de phi qui a (x,y) de E préhilbertien associe (x|y) , le plus simple est d'utiliser encore la caractérisation séquentielle, et d'imiter la preuve de convergence du produit de deux suites convergentes :
|(xn|yn) - (a|b)| = |(xn|yn) - (xn|b) + (xn|b) - (a|b)|
= |(xn|yn - b) + (xn - a| b)|
inff |(xn|yn - b)| + |(xn - a|b)|
inff ||xn|| ||yn - b|| + ||xn - a|| ||b||

130

Que dire de la boule unité fermé d'un EVN E de dimension infinie

Elle n'est jamais compact, d'après le théorème de Riesz, hors programme

131

GLn(C) est il connexe par arc ? GLn(R) ?

Oui et non.
Pour le premier, on le montre en considérant une application phi qui a @associe @A + (1-@)In et le det.. ( On montre que detophi n'est pas identiquement nulle. Puis que les racines de phi est un ensemble fini et on utilise la connexité par arc de C\Z.