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Flashcards in Calcul différentiel Deck (54):
1

Contexte: on est où là ? On part d'où?

On peut tenter d'etendre l'etude de régularité des fonctions d'une variable reelle a valeurs reelles f : I dans R, essentiellement menée en première année, en passant a une fonction f : U dans F ou U est une partie d'un EVN E de dimension finie, et ou F est aussi un EVN de dimension finie. Jusqu'a present, nous avons :
- étendu la notion de continuité, dans le chapitre sur les EVN. Pour la seule continuité, il n'est pas problématique
d'agrandir la source et le but de f.- étendu la notion de dérivabilité, dans le chapitre sur les fonctions vectorielles. Pour la dérivabilité, agrandir
le but de f ne change pas fondamentalement les résultats. On pouvait d'ailleurs se ramener au cas de
fonctions a valeurs réelles en considérant les fonctions coordonnées. Ces chapitres étaient certes plus abstraits qu'en première année, mais les études de continuité et de ddérivabilitée qui y étaient menées n'étaient pas si différentes de celles effectuées en MPSI.

2

Contexte : On va ou ?

Si l'on s'interesse a une extension de la dérivabilité, qui s'appliquerait a une fonction f : U CE dans R, ou
E != R, on est limité par l'absence de notion de taux d'accroissement entre deux vecteurs de E.
Dans une première partie, nous allons pallier cette difficulté, en nous intéressant a des fonctions d'une
variable reelle, liées a f, de la forme t associe f(a + th) (ou h est un vecteur de E) : on peut alors se rattacher a la
dérivation usuelle. Cela nous conduira a définir la dérivée d'une fonction en un point selon un vecteur, puis les dérivées partielles premières d'une fonction en un point, qui en sont des cas particuliers. Nous verrons cependant que ces notions ne seront pas de bonnes généralisations de la dérivabilité, notamment
car l'existence de ces dérivées en un point n'entraine pas la continuité en ce même point.
Dans une deuxième partie, nous étendrons, avec succès cette fois-ci, la notion de dérivabilité en partant de
l'équivalence entre dérivabilité et existence d'un développement limite a l'ordre 1 : cela conduira a la notion de différentielle.

3

Contexte : On pose les bases

On continue l'étude en définissant les fonctions de classe Ck, et en étudiant la stabilité de cette propriété.
Dans la suite, tous les espaces vectoriels considères ont R pour corps des scalaires. On fixe des espaces
vectoriels normés de dimension finie E, F et G, et des bases respectives B = (e1,...,en), C et D de ces espaces.
U désigne un ouvert (non vide) de E.
Cn désignera la base canonique de Rn. Quand on travaillera dans Rn, on travaillera implicitement dans la
base Cn, et on le munira de sa structure euclidienne canonique. Comme on travaille en dimension finie, les normes sont équivalentes, et les notions abordées dans ce chapitre ne dépendront pas de la norme choisie.
Dans la suite, f désignera une application de U dans F

4

Définition - Dérivée selon un vecteur

Soit a une point de U, et h un vecteur de E. On dit que f admet une dérivée en le point a selon le vecteur h si la vonction vectorielle phia,h qui a t associe f(a+th) définie au voisinage de 0, est dérivable en 0. Dans ce cas, phi'a,h(0) est appelée dérivée de f en a selon le vecteur h, et notée Dhf(a). On définie aussi une application Dhf (sur une partie de U) appelée fonction dérivée de f selon le vecteur h

5

f admet une dérivée en a selon le vecteur h ssi

f admet une dérivée en a selon le vecteur h ssi [f(a+th)-f(a)]/t admet une limite l (dans F) lorsque t tend vers 0, et on a alors Dhf(a)=l
f admet tjrs en a une dérivée selon le vecteur nul, qui est nulle: dériver selon ce vecteur présentant peu d'intérêt, on ne traitera parfois que le cas d'un vecteur non nul.

6

Définition - Dérivées partielles premières en un point

Une base B=(e1,...,en) de E etant fixée, on dit pour tout i de [|1,n|] et a de U que f admet une dérivée partielle (première) selon la i-ème variable en a si f admet une dérivée en a selon le vecteur ei.
SI elle existe, cette dérivée partielle est notée drondf/drondxi (a) ou drondif(a). Cela définie une application dérivée partielle (première) de f selon la i-ème variable, noté drondf/drondxi ou drondif

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Remarque sur la définition de la dérivée partielle

f admet une dérivée partielle première selon la i-ème variable ssi [f(a+tei)-f(a)]/t admet une limite ds F lorsque t tend vers 0. Lorsqu'une base B=(e1,...,en) de E est fixée, l'il'identification entre f(x) et f(x1,...,xn) est autorisée. f admet alors une dérivée partielle première en a=som(1,n)@iei selon la premiere variable ssi t associe f(@1+t), @2,...,@n) est dérivable en 0. ie t associe [f(@1+t,@2,...,@n)-f(@1,@2,..,@n)]/t admet une limite finie en 0.
De même bien sûr, pour la dérivée partielle première selon une autre variable.

8

Les exemples du cours permettent de montrer, vis a vis de la définition de la dérivabilité par n vecteur

Quelle morale tirer de ces exemples ?
- Le deuxième exemple montre que la continuité n'entraine pas l'existence de dérivées partielles premières. Ce n'est pas surprenant, la continuité d'une fonction d'une variable reelle a valeurs reelles en un point n'entraine pas sa dérivabilité en ce point.
- Le troisième exemple montre que l'existence de dérivées partielles premières en un point n'entraine pas
la continuité en ce point. Cela montre que remplacer la dérivabilité par l'existence de dérivées partielles
premières n'est pas très pertinent.
- Le dernier exemple va un cran plus loin : il montre que l'existence de dérivées selon tout vecteur en un
point n'entraine pas la continuité en ce point. Remplacer la dérivabilité par l'existence de dérivées selon
tout vecteur n'est pas non plus très pertinent.
Il faut bien comprendre le rôle purement formel du x et du y dans les expressions drondf/drondx et drondf/drondy

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Définition- Développement limité à l'ordre 1 en un point d'ne fonction entre EVN.

On dit que f admet un développement limité a l'ordre 1 en a s'il existe phi de L(E,F) tq f(a+h)=f(a=+phi(h) +o(h) ie tq [f(a+h)-f(a)-phi(h)]/||h|| tend vers OF qd h tends vers E

Remarque : f admet un DL à l'ordre 1 en a ssi ses fonctions coordonnées (dans une base donné de F) en admettent également un. Cela nous permet de nous restreindre, si besoin est, au cas d'une fonction a valeurs réelles.

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Lemme - Développement limité à l'ordre 1 et dérivée selon un vecteur.

Si f admet un développement limitéà l'ordre 1 en a. f(a+h)=f(a)+phi(h)+o(h) alros f est dérivable selon tout vecteur h en a, et Dhf(a) = phi(h)
Ainsi, une fonction f de E dans F admet au plus un développement limité en un point a donné: dans la définition ci dessus, au plus une application linéaire phi est susceptible de convenir

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Définition - Différentiabilité d'une application en un point

On dit que f est différentiable en a si elle admet une développeme,t limité en a: f(a+h)=f(a)+phi(h)+o(h) l'application linéaire phi est appelé differentielle de f en a, ou encore application linéaire tangente a f en a notée df(a). Pour tout h de E, on notera df(a).h le vecteur (df(a))(h) de F de sorte que f(a+h)=f(a)+df(a).h + o(h)
En quelque sorte, la différentielle de f en a est la partie linéaire de f localement en a.

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Corollaire : Lien entre différentielle et dérivée selon un vecteur

SI f est différentiable en a, alors pour tout vecteur h de E, f admet une dérivée selon h en a, et df(a).h=Dhf(a) en particulier pour tout i de [|1,n|], f admet une dérivée partielle en a et drondf/drondxi(a)=df(a).ei

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Exemple,-différentiabilité d'une application en un point

Admettre un développement limité à l'ordre 1 en a, c'est pouvoir etre approché, à un négligeable pres, par une fonction affine, ce qui rejoint la def de la dérivabilité en un point d'une fonction d'une fonction d'une variable réelle a une variable réelle. Ds ce dernier cas, si U est un intervalle ouvert de R, la différentiable de f en a équivaut a là dérivabilité de f en a, et on a alors f'(a)=df(a).1 ou encore df(a).h=f'(a)h pour tout h de R. La différentiable est donc bien une généralisation de la dérivabilité.

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Proposition- Différentiabilité et continuité

Si f est différentiable en a alors elle est continue en a mais la réciproque est fausse.

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Définition - Différentielle d'une application

On dit que l'application f est différentiable sur U si elle est différentiable en tout point de U. Cela définit alors l'application différentielle de f, notée df :
df : U dans L(E,F) qui a a associe df(a)

Même si U = E, il n'y a aucune raison à ce que df (de E dans L(E,F)) soit linéaire.

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Exemple - Différentielle d'une application
1 ) f constante
2) f linéaire
3) f bilinéaire
4)phi de E1x...xEm dans F, m linéaire
5) restriction de f

1) SI f de U dans F est constante, alors elle est différentiable en tout point a de U et df(a)=OL(E,F)
2) Si f de E dans F est linéaire, alors elle est différentiable en tout a de E, et df(a) = f
3) Si B de ExF dans G est bilinéaire, alors B est différentiable en a=(aE,aF)de ExF et pour tout h=(hE,hF) de ExF dB(a).h=B(aE,hF)+ B(hE,aF)
4) si phi de E1x...xEm dans F est m linéaire, alors phi est différentiable en a=(a1,...,am) de E1x...xEm et pour tout h=(h1,...,hm) de E1x...xEm alors dphi(a).h=phi(h1,a2,...,am)+phi(a1,h2,...,am)+...+phi(a1,...,hm)
5) SI f de U dans F est différentiable en a et si V est un ouvert de U comprenant a, alors la restriction g de f a V est différentiable en a et dg(a)=df(a)
Plus généralement, la différentiabilité en un point est une notion locale, si f et g sont deux fonctions définies sur des ouverts contenants a et si elles coincident au voisinage de a, alors f est différentiable en a ssi g l'est, avec égalité des différentielles en ce point le cas échéant.

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Proposition - Lien entre différentielle et dérivées partielles

On suppose f différentiable en a. La fonction f admet alors des dérivés partielles premières en a selon les variables x1,..,xn. De plus on a df(a)(h)=som(1,n)hidrondf/drondxi(a)

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Remarque - Lien entre différentielle et dérivées partielles
Dim 2
Dim 3

Si f est a valeurs dans R, et si on note dxi la ieme forme linéaire coordonnée dans B (ie l'application qui a x=som(1,n)xjej associe xi) et si f est différentiable en a alors df(a)=som(1,n)drondf/drondxi(a)dxi
En dim 2 : df(a)=drondf/drondx(a)dx + drondf/drondy(a)dy
EN dim 3 : df(a)=drondf/drondx(a)dx+drondf/drondy(a)dy+drondf/drondy(a)dz
Si f est différentiable sur U, on écrira même dirrectement (et respectivement) :
df=som(1,n)drondf/drondxidxi. N'employez ces notations que si vous savez a quoi font référence dxi, dx, dy, dz. L'existence de dérivées premières au point a n'implique pas la différentiabilité en ce point, (la fonction peut même ne pas être continue)

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Corollaire - Matrice de la différentielle en un point dans un couple de bases

On suppose f différentiable en a. La matrice M de df(a) dans (B,C) est donné par M=(C1,...,Cn)
C1=(drondf1/drondx1(a), ... drondfp/drondx1(a))
Cn=(drondf1/drondxn(a),...., drondfp/drondxn(a))

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Définition- Matrice Jacobienne

Dans le cas ou f=(f1,...,fp) est une application définie sur un ouvert U de R^n a valeurs dans R^p, et si f admet des dérivées partielles premières en a, on appelle matrice Jacobienne de f en a et on note Ja(f) la matrice Ja(f)=def=(C1,...,Cn) avec C1=drondf1/drondx1(a),..,drondfp/drondxn(a)) et Cn=(drondf1/drondxn(a),..,drondfp/drondxn(a))
C'est donc la matrice de df(a) dans le couple de base (Cn,Cp). D'ailleurs pour des raisons pratiques, nous généraliserons la notion de matrice jacobienne, en définissant la jacobienne d'une application f de U dans F différentiable en a relativement au couple de base (B,C) (c'est a dire la matrice M du corollaire ci dessus). Nous la noterons Ja,B,C(f) voire Ja(f) s'il n'y a pas d'ambiguïté sur les bases.

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Proposition - Différentielle d'une combinaison linéaire d'application différentiables

Soit f,g : U dans F des applications différentiables en a de U. Pour tous réels @1 et @2 la fonction @1f + @2g est différentiable en a et d(@1f+@2g)(a)=@1df(a)+@2dg(a)
Autrement dit, l'ensemble Da(U,F) des fonctions de U dans F différentiables en a est un R-ev et phi de Da(U,F) dans L(E,F) qui a f associe df(a) est linéaire.

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Théorème - Différentielle d'une composée d'applications différentiables

Soit f de U dans F, V un ouvert de F contenant f(U) et g de V dans G. Soit a de U. On suppose f différentiable en a et g différentiable en b=def=f(a). La comosée gof est dalors différentiable en a et d(gof)(a)=dg(f(a))odf(a)=dg(b)odf(a)

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Corollaire - Différentielle d'une composée d'applications différentiables par une application bilinéaire

Soit f de U dans F et g de U dans G des applications différentiables en a, et B de FxG dans H une application bilinéaire. La fonction B(f,g) qui a x associe B(f(x),g(x)) de E dans H est alors différentiable en a et pour tout h de E, d(B(f,g))(a).h=B(f(a),dg(a).h)+B(df(a).h,g(a))

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Corollaire - Différentielle de la composée d'une application différentiable par une application linéaire.

Soit f de U dans F différentiable en a, et L de L(F,G). La fonction Lof est alors différentiable en a et d(Lof)(a)=Lo(df(a))

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Exemple - Différentielle d'un produit
X4

1) Si @de U dans R et f de U dans E sont différentiable en a, alors @f est différentiable en a et pt h de E : d(@f)(a).h=(d@(a).h)f(a)+@(a)(df(a).h)
2)Si F est une R-algèbre (et donc si B qui a (x,y) de F² associe xy est bilinéaire) et si f,g de U dans F sont différentiable en a alors fg est différentiable en a et pour tout h de E, d(fg)(a)=(df(a).h)g(a)+f(a)(dg(a).h)
3) Si E est euclidien, la fonction f qui a x associe ||x||² est différentiable en tt x de E et pour tout h de E, df(x).h=2(x|h)
4) La fonction C qui a M associe M² est différentiable en tt M de Mn(R) et pour tout H de Mn(R) dC(M).H=MH+HM

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Corollaire - Différentielle d'une fonction à valeurs réelles

Soit f,g de U dans R des fonctions différentiables en a.
1)fg est différentiable en a et pour tout hdeE: d(fg)(a)=(df(a).h)g(a) + f(a)(dg(a).h)
2)Si f de U dans R est différentiable en a et si f(a)diff 0, alors g=1/f est définie au vois de a, différentiable en a, et dg(a)=-df(a)/f(a)²

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Proposition - Dérivée le long d'un arc

Si @est une application definie sur un intervalle I de R, dérivable en t et si f est différentiable en @(t) alors fo@est différentiable en t et (fo@)'(t)=df(@(t)).@'(t)

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Dérivation de g qui a t associe f(x1(t),...,xn(t)) (lorsque c'est possible)

g'(t)=som(1,n)xi'(t)drondf/drondxi (x1(t),...,xn(t))

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Proposition - Dérivées partielles d'une composée d'applications différentiables

Soit f de U dans F de composantes f1,...,fp, V un ouvert de F contenant f(U) et g de V dans G de composantes g1,...,gq. Soit a de U. On suppose f différentiable en a et g différentiable en f(a). On a alors Ja,B,D(gof)=Jf(a),C,D(g)Ja,B,C(f). On a donc dans ce contexte pour tout (i,j) de [|1,q|]x[|1,n|] : drondj(giof)(a)=som(k=1,p)drondkgi(f(a))drondjfk(a) et donc drondj(gof)(a)=som(k=1,p)drondjfk(a)drondkg(f(a))

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Proposition - Règle de la chaine

On suppose que f )(x1,...,xn) de UCR^n dans R^p est différentiable en a. Soit V un ouvert de R^p tq f(U)CV et g=(y1,...,yp) de V dans R^m une application différentiable en f(a). La fonction gof=(z1,...,zm) admet alors des dérivées partielles premières selon la i-ème variable en a pour tout i de [|1,n|] et pour tout j de [|1,m|] : drondzj/drondxi(a)=som(k=1,p)drondzj/drondyk(f(a))drondyk/drondxi(a)

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Définition - Application continûment différentiable

Une application f est dite de classe C1 sur un ouvert U si elle st différentiable sur U et si df est continue sur U

32

Théorème - Caractérisation des applications continûment différentiables

L'application f est de classe C1 sur U ssi les dérivées partielles relativement a une base de E existent en tout points de U et sont continues sur U

33

Théorème - Opération algébrique sur les applications continûment différentiables

Si f est une application de classe C1 de U dans F, si @est une application de C1 de [0,1] dans U, si @(0)=a et @(1)=b alors f(b)-f(a)=int(0,1)df(@(t)).@'(t)dt

34

Proposition- Caractérisation des fonctions constantes sur un connexe par arcs.

Soit f de C1(U,F) ou U est connexe par arcs. L'application f est constante ssi sa différentielle est nulle en tout points.

35

Dérivées partielles d'ordre supérieur

Supposons que f admette une dérivée partielle première drondf/drondxi. Il se peut que cette fonction dérivée partielle première admette elle-même une j-ième dérivée partielle première en a de U. c'est a dire que le vecteur drond(drondf/drondxi)/drondxj(a) existe.
Si tel est le cas, ce vecteur est appelé dérivée partielle seconde de f en a selon la i-eme puis la j-eme variable, et est noté drond²f/drondxjdrondxi(a) et même drond²f/drondxi²(a) lorsque i=j. Si un tel vecteur existe pour tout a de U, on def l'application dérivée partielle seconde de f selon la i-eme variable puis la j-eme variable, drond²f/drondxidrondxj, qui est dite croisé si idiffj.

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Définition- Application k fois continûment différentiables

Une application est dite de classe Ck sur un ouvert U si ses dérivées partielles d'ordres k existent et sont continues sur U. On note C^k(U,F) leur ensemble. Une application est dite de C8 si elle admet des dérivées partielles à tout ordre.

37

Inclusion avec les applications continûment différentiable

On a bien sur pour tout k de N, C8(U,F) C C^k+1(U,F) C C^k(U,F)

38

Théorème de Schwarz

Soit f de U dans F et a de U. On suppose f de C2. ALors drond²f/drondxdrondy(a)=drond²f/drondydrondy(a)

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Proposition - Opérations algébriques sur les applications k fois continûment différentiables
3X

1) L'ensemble C^k(U,F) est un R-espace vectoriel.
2)Dans le cas ou F=R, c'est même une R-algèbre et si f de C^k(U,R) ne s'annule pas, alors g=def=1/f appartient a C^k(U,R)
3)Si B est bilinéaire, et si f et g sont de C^k, alors B(f,g) est de C^k

40

Proposition - Composition d'applications k fois continûment différentiable

La composée licite d'applications de C^k est également de classe C^k.

41

Exemples d'équations aux dérivées partielles

Une équation aux dérivées partielles (en bref, une EDP) pour une fonction de plusieurs variables est l'analogue d'une équation différentielle pour une fonction d'une seule variable: elle relie une fonction a ses différentes dérivées partielles. Par ex, l'ensemble des applications de C1 sur R² tq drondf/drondy)0 est l'ensemble des fonctions f telles qu'il existe phi de C1(R) pour laquelle pt (x,y) de R², f(x,y)=f(x).
Si on cherche les solutions d'uneéquation aux dérivées partielles linéaires d'ordre 1 comme drondf/drondx + drondf/drondy = x + y sur R², on peut d'abord trouver une solution particulière, et résoudre l'équation homogène associée par cgt de variable affine :

42

Si on cherche les solutions de l'équation des ondes :

drond²f/drondx² + 1/v drond²f/drondt² = 0 (pour v de R+*) d'inconnue f de C2(R²,R) on peut effectuer le cgt de variable r=x-vt, y=x+vt. On montre alors que la solution générale de celle EDP est f(x,t)=phi(x-vt) + ksi(x+vt) ou phi et ksi sont des fonctions de C2 de R dans R

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Cas des applications numériques

On s'intéresse ici au cas des applications numériques (ie a valeurs réelles) f de E dans R et particulièrement a leurs extrema. On observe qu'alors la différentielle de f en a (si elle existe) est une forme linéaire sur E.

44

Définition - Ligne de niveau

On appelle ligne de niveau (ou équipotentielle) de f toute partie non vide de E de la forme f-1({@}) ou @deR. On dit alors que cette ligne de niveau est d'équation f(x1,...,xn)=@

45

Définition - Gradient

On suppose ici que E est euclidien. ON suppose que f est différentiable en a. On appelle gradient de f en a l'unique vecteur noté Nablaf(a) ou grad(f(a) tq pour tout h de E, df(a).h=(Nablaf(a)|h)

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Proposition - Expression du gradient en base orthonormée

On suppose que (e1,...,en) est une base orthonormée de E, et que f est différentiable en a. On a alors gradf(a)=som(1,n)drondf/drondxi(a)ei

47

Définition- Point critique d'une application différentiable

Soit f de U dans R une application différentiable. n point a de U est dit critique si la différentielle de f en a est nulle.
Dans le cadre euclidien, a est critique pour f (supposée différentiable) ssi le gradient de f en a est nul.

48

Proposition - Condition nécessaire d'un extremum local

Si f est différentiable et si elle présente une extremum local en a, alors a est un point critique.
La réciproque est fausse (x^3 en 0)

49

La recherche d'extrema

Qd on travail avec une fonction différentiable sur un ouvert, la recherche d'extrema se fait souvent en déterminant d'abord les points critiques, puis en étudiant localement la fonction en ces points en formant f(a+h)-f(a) par exemple (où a est critique). Puisque a est critique, un DL a l'ordre 1 ne suffit pas. On fait une étude en incluant les termes quadratiques (de type hihj). l'étude se fait au cas par cas. La notion de compacité peut également permettre de montrer l'existence d'un extremum, sans toutefois expliciter cet extremum.

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Définition - Vecteur tangent de E et x un point

Soit X une partie de E, et x un point de X, un vecteur v de E est tangent a X en x s'il existe Epsilon sup 0 et un arc gamma def sur ]-gamma,gamma[, dérivable en 0 à valeurs dans X, tq gamma(0)=x et gamma'(0)=v
L'ensemble des vecteurs tangents a X est stable par multiplication par un scalaire. On dit que c'est un cône vectoriel. En revanche, cet ensemble n'est pas tjrs un espace vectoriel.

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Proposition-Plan vectoriel tangent a un graphe de fonction différentiable

On se place dans le cas ou E=R^3 euclidien canonique et ou X est le graphe d'une fonction différentiable f de UCR² dans R. Pour tout w=(xo,yo,zo) de X, (ou zo=f(xo,yo)), l'ensemble des vecteurs tangents a X en w est le plan vectoriel admettant n=def=(drondf/drondxo(xo,yo),drondf/drondyo(xo,yo),-1) pour vecteur normal.

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Définition- Plan affine tangent

Dans ce contexte, on appelle plan affine tangent a la surface X d'équation caractéristique z=f(x,y) au point de paramètre xo et yo le plan affine passant par (xo, yo, f(xo,yo)) et de direction l'ensemble des vecteurs tangents a X en ce point.

53

Corollaire - Equation cartésienne du plan affine tangent

Une équation cartésienne du plan affine tangent a X d'équation z=f(x,y) au point (xo,yo,zo) (ou zo=f(xo,yo)) est z-zo=drondf/drondx(xo,yo)(x-xo)+drondf/drondy(xo,yo)(y-yo)

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Proposition - Lignes de niveau et gradient

On suppose E euclidien. Soit f de UCE dans R une fonction différentiable. Si X est une ligne de niveau de f, alors les vecteurs tangents a X au point x de X sont orthogonaux au gradient de f en x.