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Question

Definition - loi de Bernouilli

Answer 1

On dit que X suit la loi de Bernouilli de parametre p € [0,1] si elle est de support {0,1}, que P(X=1)=p et P(X=0)=1-p cette loi est notée B(p)

Answer 2

On dit que X suit la loi binomiale de parametre n de N* et p de [0,1] si son support est [|0,n|] et si pt k de [|0,n|] P(X=k)=(k parmi n) p^k (1-p)^n-k O note B(p,n) cette loi

Answer 3

On appelle loi conjointe de (X,Y) et on note P(x,y) l'application donné par : Pt(x,y) de ExF Px,y(x,y)=P(X=x et Y=y) Px et Py dont appelés lois marginales de (X,Y) La loi marginale de X est obtenue en sommant les colonne (ou les lignes) du tableau des lois marginales. (Loi marginales ne donnent pas les loi conjointes car on a m+n équations pour mn inconnues)

Answer 4

Soit x de X(♎️) on suppose P(X=x) sup 0. On appelle loi conditionnelle de Y sachant X=x l'application donnée par P(Y=y|X=x) = P(X=x et Y=y)/P(X=x) = P(X,Y)(x,y)/PX(x)

Answer 5

On dit que les variables X et Y sont independantes si pour tout (x,y) de X(♎)xY(️♎️) P((X,Y)=(x,y)) = P(X=x)P(Y=y)

Answer 6

On dit que les variables aleatoires X1,...,Xn sont mutuellement independantes si pour tout (xi) € X1(♎️)x...xXn(♎️) on a : P(X1=x1, ... , Xn=xn) = prod (1,n)P(Xi=xi) On dit que les va Xi ou i de I sont mutuellement indépendantes si pour toute partie finie F de I, les va Xi, ideF, le sont. Dans le cas ou toutes ces variables aleatoires soit en outre de meme loi, on dira que ce sont des variables aleatoires independantes identiquement distribuées

Answer 7

Si X1,...,Xn sont des VAMI alors pt (A1,...,An) de prod (1,n)P(Xi(♎️)) les evenemets (Xi€Ai) sont mutuellements independants

Answer 8

Si X et Y sont independant, alors les variables aleatoires f(X) et g(Y) le sont aussi

Answer 9

L'endemble des issues, resultats possibles, realisation, d'une experience aleatoire est appelé univers

Answer 10

On appelle esperance (ou moyenne) de X et on note E(X) le reel E(X) = som(1,n)xiP(X=xi) la variable aleatoire X est dite centrée si son esperance est nulle En fait, l'esperance ne depend que de la loi que X suit, on aurait pu parler d'esperance d'une loi mais ca n'est pas ce que l'usage a retenu. E(X) s'interprete comme la moyenne des valeurs prises par X pondérées par leurs probabilités d'apparition. Dans le cad d'une variable aleatoire equidistribué, la moyenne qu'on connait

Answer 11

1/ linearité, l'esperance est une forme lineaire et l'ensemble L1(Oméga,R) des va admettant une espérance est un R espace vectoriel. 2/ positivité : si X sup 0 alors E(X) sup 0 3/croissance : l'esperence est une fonction croissante ie si X inf Y alors E(X) inf E(Y) 4/ |E(X)| inf E(|X|) 5) si |Z| inf X alors Z est d'espérance finie

Answer 12

soit X une variable aleatoire definie sur ♎️ a valeurs dans E. Et f une fonction definie sur X(♎️) a valeurs dans R. On a alors E(f(X)) = som (x€♎️) f(x)P(X=x)

Answer 13

Answer 14

On suppose ici que X et Y sont independantes, on a alors : | E(XY)=E(X)E(Y)

Answer 15

Pt k de N. Si X^k admet une espérance finie, alors on appelle moment d'ordre k de X le reel E(X^k)

Answer 16

Lorsque X admet un moment d'ordre 2, on appelle variance de X et on note V(X) le reel positif E((X-E(X))^2) on appelle ecart type de X et on note sigma(X) le reel positif (V(X))^1/2 on dit que X est reduite si elle est de variance 1 La variance est un indicateur de dispersion, et E et V n'ont pas la meme dimension, si X en m, alors E en m et V en m²

Answer 17

1/ formule de Koenig V(X)=E(X^2) - E(X)^2 | 2/ pt reels a et b, V(aX+b) = a^2V(X)

Answer 18

On suppose que sigma (X) sup 0 et que X admet un moment d'ordre 2. La variable aleatoire (X-E(X))/sigma(X) est alors appelé variable aleatoire centrée reduite associé a X

Answer 19

Soit epsilon sup 0, on a P((|X-E(X)|) sup epsilon) inf V(X)/epsilon^2

Answer 20

On appelle covariance fe X et de Y et onnote Cov (X,Y) le scalaire E((X-E(X))(Y-E(Y)) Cov(X,X)=V(X)

Answer 21

On a Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

Answer 22

1/V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2cov(X,Y) | 2/ en particulier si X et Y sont independantes V(X+Y)=V(X)+V(Y)

Answer 23

(Xsupx) est noté X-1([x;+8[) ie {w de Oméga tq X(w) sup x} | (X inf stricte x) est noté X-1(]-8;x[) ie {w de Oméga tq X(w inf stricte x}

Answer 24

Si on modélise le lancer de deux dés équilibrés en travaillant sur Oméga = [|1;6|]² par des va X : Oméga dans [|1;6|] et Y:Oméga dans [|1;6|] alors ces deux va suivent la meme loi mais ne sont pas égale. (X=1) sera diff de (Y=1), ils auront en commun uniquement (1,1)

Answer 25

1) L'ensemble des valeurs prisent par X | 2) Pour chacunes de ces valeurs x, de la mesure de l'ensemble de ses antécédents, autrement dit de P(X=x)

Answer 26

X+Y ( si un addition est def dans E), XY (si la multiplication est def dans E) f(X) ou f est une fonction de source E. et même X=Y D'ailleurs, (X=Y)={w de Omega tq X(w)=Y(w)}

Answer 27

Dans le cas ou X et Y sont indépendantes. X et Y sont indépendantes ssi pt A,B appartenant a P(E)xP(F), P((X,Y) appartient a AxB) = P(XappartientA)P(YappartientB) Lorsque X et Y sont a valeurs dans des ensembles finis, X et Y sont indépendants ssi la matrice des loi conjointes est de rg 1.

Answer 28

Soitn pour n de N, une probabilité Ln, sur un ensemble Epsilonn. Il existe alors un espace probabilisé (Oméga, A, P) et une suite (Xn)ndeN de va mutuellement indépendantes tq pour tout ndeN, Xn aille de Oméga dans Epsilonn et suive la loi Ln.

Answer 29

Par un dénombrement, P(X=k)= [k parmi m) (n-k parmi N-m)] / (n parmi N) cette loi est la loi hypergéométrique de paramètre p=m/N

Answer 30

Soit p dans ]0;1[. On dit que X de Oméga dans N* suit une loi géo de paramètre p notée G(p) si pt k de N*, P(X=k)=(1-p)^k-1 p C'est la loi qui donne le rang du premier succes dans une suite d'épreuves de bernouilli mutuellement indépendantes de paramètre p.

Answer 31

Une va a valeurs dans N* est sans mémoire ie vérifie : pt (k,n) de N*², P(X sup st (n+k) | X sup st n) = P(X sup st k) ssi elle suit une loi géométrique

Answer 32

Soit @ dans R+*, on dit que X de Oméga dans N sui la loi de poisson de paramètre @ noté P(@) si pour tout n de N, P(X=n)= exp (-@) @^n/n!

Answer 33

Si, pour tout n, Xn ~ B(n,pn) et si (n pn) converge vers @ sup st 0 alors : pt k de N, P(Xn=k) tend(n,8) exp(-@)@^k/k!

Answer 34

EN fait, la loi de Poisson fournit une bonne modélisation du nombre d'événements rares : nombre d'accidents sur une portion de route, nombre d'erreurs typographique dans une page, etc.. En effet, supposons qu'on étudie un phénomène dont vérifiant : 1) Les observations dans des intervalles disjoints sont indépendantes. 2) La loi du nombre d'observations dans un intervalle de temps donnée dépend de la durée de cet intervalle 3) Lorsque la durée de l'intervalle d'observation tend vers 0, la probabilité d'observer 2 fois au moins le phénomène est négligeable devant celle d'en observer exactement 1. On peut alrs montrer que le nbr d'observations ds un intervalle de tps donné suit une Loi de Poisson

Answer 35

Si X est une variable aléatoire à valeurs dans R+, l'espérance de C est la somme ds [0;+8[ de la famille (xP(X=x))xdeX(Oméga). On la note E(X) de sorte que : E(X)= som(xdeX(Oméga) xP(X=x) On dira que X admet une espérance finie si E(X) inf stricte +8

Answer 36

Si X est une var, on dira que X est d'espérance finie, ou que X admet une espérance (finie) si la famille (xP(X=x))xdeX(Oméga) est sommable. Ds ce cas la somme de cette familles est l'espérance de X notée E(X) La va X est centrée si son espérance est nulle. En fait, l'espérance de X ne dépend que de la loi que X suit

Answer 37

SI X ~ B(p) alors E(X) = p Si X~ B(n,p) alors E(X)=np Si X~ G(p) alors E(x)=1/p Si X~P(@) alors E(X)=@

Answer 38

L'ensemble L2(Oméga,R) des var définies sur Oméga admettant un moment d'ordre 2 est un R espace vectoriel/

Answer 39

Si une variable aléatoire X admet un moment d'ordre 2, elle est d'espérance finie.

Answer 40

Si X~B(p) alors V(x) = p(1-p) Si X~B(n,p) alors V(X)=np(1-p) Si X~G(p) alors V(X)=(1-p)/p² Si X~P(@) alros V(X)=@

Answer 41

Si X et Y admettent chacune un moment d'ordre 2, alors XY est d'espérance finie et E(XY)²inf E(X²)E(Y²)

Answer 42

Si (Xn) nsup 0 est une suite de variables aléatoires deux a deux indépendantes de même loi et admettant un moment d'ordre 2, alors si Sn=som(1,n)Xk et m = E(X1) on a P(|Sn/n-m| sup epsilon ) tend (n,8) 0 Vous devez savoir retrouver pour epsilon sup 0, l'inégalité : P( | Sn/n - m| sup epsilon) inf sigma²/nepsilon² ou sigma est l'écart type commune des Xk

Answer 43

On appelle fonction génératrice de X et on note Gx la fonction donnée par : Gx(t) = def= E(t^X)=som(0,8)P(X=n)t^n

Answer 44

On remarque que Gx est définie en 1 et que GX(1)=1 | La série entière définissant Gx est de rayon supérieur ou égale a 1 et converge normalement sur le disque unité fermé

Answer 45

P(AnBnC)=0 donc P(_AU_BU_C)=1 inf p(_A)+P(_B)+P(_C) =3P(_A) donc P(_A) sup 1/3 et P(A)inf 2/3

Answer 46

Si (Xi)ide[|1,n|] est une famille de v.a.i a valeurs dans N. alors G X1+...+Xn = GX1...GXn

Answer 47

On suppose que le rayon de convergence de somP(X=n)t^n est strictement plus grand que 1. La variable aléatoire X admet alors un moment à tout ordre, et pour tout k de N. E(X(X-1)...(X-(k-1))) = GX^(k)(1)

Answer 48

(1) La variable aléatoire X est d'espérance finie ssi GX est dérivable en 1. On a alors E(X)=GX'(1) (2) La variable aléatoire X admet un second moment ssi GX est deux fois dérivable en 1. On a alors E(X(X-1))=GX''(1)

Answer 49

ALors X admet une variance et V(X) = GX''(1) + GX'(1) - GX'(1)² Vous devez officiellement savoir retrouver cette expression de la variance, mais il serait nuisible de l'apprendre par cœur : elle se retrouve immédiatement a partir de la proposition précédente.

Answer 50

Si X~B(p) alors GX(t) = (pt+q) Si X~B(n,p) alors GX(t) = (pt+q)^n Si X~G(p) alors GX(t)= pt/(1-qt) Si X~P(@) alors GX(t)=exp (@(t-1)) On peut remarquer que ds tous ces cas classiques, le RC est strictement plus grand que 1, donc que la proposition 2.b suffit pour faire le lien entre les moments de X et sa fonction génératrice.