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Flashcards in Proba 💞😎🤓🤘🏼 Deck (74)
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1

Definition - évenement

Un evenement est une propriété portant sur le resultat d'une experience aleatoire

2

Definition - Evenement élémentaire

On appelle eenement elementaire tt singleton inclu dans ♎️

3

Definition - evenement contraire, conjonction, disjonction

Si A est un evenement, son evenement contraire est son complementaire. On le notera _A et on ne nommera "non A". Si A et B sont deux evenements, on def les elements "A et B" et "A ou B" correspondant respectivement a AInterB et AUB

4

L'evenemet impossible

L'ensemble vide

5

Definition - Evenement incombatible

Deux evenements sont incompatibles s'ils sont disjoints

6

Définition - Probabilité

Une probabilitr sur un univers fini ♎️ est une application P de P(♎️) dans [0,1] telle que P(♎️)=1 et pour toutes parties disjointes A et B
P(AUB)=P(A)+P(B)
On dit alors que le couple (♎️,P) est un univers probabilisé fini

7

Propriétés des probabilités

1/ pt evenement A, P(_A)=1-P(A)
2/ pt A1,...,An deux a deux incompatibles : P(UAi)=som(1,n)P(Ai)
3/ pt A et B : P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AInterB)
4/ P est une application croisdante (Pour l'ordre d'inclusion dans P(♎️) et l'ordre usuel dans [0,1] ie pt A,B: ACB implique P(A) inf P(B)
5/ P(Ø)=0

8

Definition - Systeme complet d'evenement

On appelle systeme complet d'evenements tt ensemble d'evenements deux a deux incompatibles dont la reunion est egale a ♎️

9

Formule des probabilités totales

Soit A1,...,An un systeme complet d'evenements, pt evenement B : P(B) = som(1,n) P(BInterAi)

10

Probabilité uniforme

On appelle proba uniforme sur ♎️ la proba telle que tout evenement elementaire ait une proba de 1/card(♎️)

Donc si P est la proba uniforme et A un evenement, on a P(A)=card(A)/card(♎️)

11

Definition - Probabilité conditionnelles

Soit A et B deux evenements. On suppose aue P(B) sup 0, (on dira que l'on peut conditionner par B). On appelle probabilité (conditionnelle) de A sachant B et onnote PB(A) ou P(A|B) le reel P(AinterB)/P(B)

12

On ne confondra pas

La probabilité que A se realise sachant que B est realisé et la probabilité que les evenements A et B se realisent

13

Formule des probabilités composées

Soit A1,...,An des evenements tq P(A1inter...interAn-1)diff 0
On a P(A1inter...interAn)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1interA2)...P(An|A1inter...interAn-1)

14

Premiere formule de Bayes

Si A et B sont deux evenements tq P(A) sup 0 et P(B) sup 0 alors
P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)

Cette formule est interessente dans la mesure ou elle permet de "remonter le temps"

15

Seconde formule de Bayes

Si (Ai) est un systeme complet d'evenements de probabilités non nulles et si B est un evenement de probabilité non nulle, alors
P(Aj|B)=P(BinterAj)P(Aj)/som(1,n)P(BinterAi)P(Ai)

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Definition - couple d'evenements independants

Soit (A,B) un couple d'evenements. On dit que (A,B) est un couple d'evenements independants (ou que A et B) sont independants si P(AinterB)=P(A)P(B)

17

Independance de deux evenements

-A et B sont independants ssi _A et B sont independants
-il n'y a donc pas de lien entre independance et incompatibilité. Cependant deux evenements incompatibles sont independants ssi l'un (au moins) est de probabilité nulle
-Si par exemple P(B)diff0 alrs l'independance de A et B equivaut a ce que P(A|B)=P(A) cela signifie que la realisation (ou non) de de B n'influe en rien sur celle de A

18

Definition - Independance de n evenements

Soit (A1,...,An) une famille de n evenements. On dit que (A1,...,An) est une famille d'evenements (mutuellement) independants (ou que les evenements A1,...,An) sont (mutuellement) independants si pour toute partie I de [|1,n|] P(Inter i€I Ai) = prod (i€I) P(Ai)

Pb si il existe j tq P(Aj)=0 d'ou les parties

19

Definition - Variable aleatoire discrète

Etant donnés un ensemble E un un espace probabilisé (Oméga,A,P), une variable aléatoire discrète (en abréré v.a ou v.a.d) définit sur Oméga est une application X de Oméga dans E telle que :
-X(Oméga) soit fini ou dénombrable
-Pour tout x de X(Oméga), X-1({x}) appartient a A. L'événement X-1({x}) sera noté (X=x)
Lorsque E = R on dit que la variable aléatoire est réel
On a : (X=x)=X-1({x})={w de Oméga, X(w)=x}
X confère naturellement a E une structure d'espace probabilisé

20

Definition - Support et atome

On appelle support de X son image X(♎️). Les evenements x du support tels que P(X=x)sup0 dont appelés atomes de la variable aleatoire X

21

Definition - Loi d'une variable aleatoire

Pour tout x de X(Oméga) notons :
px = P(X-1({x}))=P({wdeOméga, X(w)=x})
La famille (px)xdeX(Oméga) définit une probabilité Px sur X(Oméga) appelé loi de la variable aléatoire X. On dit que X suit la loi de Px. En fait, on étend sans difficulté cette proba sur (E,P(E)) en posant pour toute partie A de E. Px(A)=P({w de Oméga, X(w) appartient a A}) = Px(AnW(Oméga)) on notera X~Y lorsque X et Y suivent la meme loi, et X~L lorsque X suit L

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Rq sur Px

L'application Px (qui est une proba sur X(♎️) ou meme sur E) est determinér par la donnée des P(X=x) ou x est ds X(♎️) (qui forme un SCE)
Recuproquement pour tte donnée d'un ensemble fini {x1,...,xn} de cardinal n et de reels {p1,...,pn} positifs ou nuls de somme 1 il existe une variable aleatoire de support {x1,...,xn} et de loi donnée par P(X=xi) = pi pour i de [|1,n|]

23

Definition- image d'une variable aleatoire par une fonction

Etant donné une fonction f:E dans F , foX est une variable aleatoire a valeurs dans F notée f(X)

Dans ce contexte, la loi associé a f(X) est Pf(X) : P(F) dans [0,1] qui a A associe P(X€ f^-1 (A))

24

Definition - Loi uniforme

On dit que X suit une loi uniforme sur un ensemble fini {x1,...,xn} de card n di Px(xk) = 1/n pt k

25

Definition - loi de Bernouilli

On dit que X suit la loi de Bernouilli de parametre p € [0,1] si elle est de support {0,1}, que P(X=1)=p et P(X=0)=1-p cette loi est notée B(p)

26

Definition - Loi binomiale

On dit que X suit la loi binomiale de parametre n de N* et p de [0,1] si son support est [|0,n|] et si pt k de [|0,n|] P(X=k)=(k parmi n) p^k (1-p)^n-k
O note B(p,n) cette loi

27

Definition - Loi conjointe, loi marginales de (X,Y)

On appelle loi conjointe de (X,Y) et on note P(x,y) l'application donné par :
Pt(x,y) de ExF Px,y(x,y)=P(X=x et Y=y)
Px et Py dont appelés lois marginales de (X,Y)
La loi marginale de X est obtenue en sommant les colonne (ou les lignes) du tableau des lois marginales.
(Loi marginales ne donnent pas les loi conjointes car on a m+n équations pour mn inconnues)

28

Definition - loi conditionnelle de Y sachant (X=x)

Soit x de X(♎️) on suppose P(X=x) sup 0. On appelle loi conditionnelle de Y sachant X=x l'application donnée par P(Y=y|X=x) = P(X=x et Y=y)/P(X=x) = P(X,Y)(x,y)/PX(x)

29

Definition - Couple de variables aléatoires indépendantes

On dit que les variables X et Y sont independantes si pour tout (x,y) de X(♎)xY(️♎️)
P((X,Y)=(x,y)) = P(X=x)P(Y=y)

30

Definition - variables aleatoires mutuellement indépendantes

On dit que les variables aleatoires X1,...,Xn sont mutuellement independantes si pour tout (xi) € X1(♎️)x...xXn(♎️) on a :
P(X1=x1, ... , Xn=xn) = prod (1,n)P(Xi=xi)
On dit que les va Xi ou i de I sont mutuellement indépendantes si pour toute partie finie F de I, les va Xi, ideF, le sont.
Dans le cas ou toutes ces variables aleatoires soit en outre de meme loi, on dira que ce sont des variables aleatoires independantes identiquement distribuées