Groupe 🏆👭👊🏼🌼🍃

Question 1

Soit * une loi de composition interne

Commutativité

Answer 1

ab=ba

Question 2

Soit * une loi de composition interne

Élément neutre

Answer 2

ae = ea = a

Question 3

Soit * une loi de composition interne

Existence d’un symétrique pour x (lorsque e existe)

Answer 3

Il existe y dans E tel que xy=yx = e

Question 4

x simplifiable a gauche veut dire que si

xy = xz

Answer 4

y = z

Question 5

Un élément simplifiable (ou régulier) à droite ou a gauche est dit

Answer 5

Simplifiable, ou régulier

Question 6

Si la loi est associative, tout élément symétrisable est

Answer 6

Simplifiable

Question 7

• distributive a gauche par rapport à R si

Answer 7

a(bRc) = ab R a*c

Question 8

Il se peut que É soit muni d’une loi externe ie application de KxE dans E, K est appelé

Answer 8

Domaine d’opérateur

Question 9

Une partie F de E est une sous structure de E si

Answer 9

F hérite de la structure de E ie

F stable par les opérations de E
Muni de ces lois induites et de ces éléments distingués F a la structure algébrique voulue

Question 10

Présence d’un élément distingué

Answer 10

On peut souvent remplacer cette condition par le fait que la partie soit non vide a l’exception de l’élément unité dans anneau (ou algèbre )

Question 11

Pourquoi N n’est pas un sous groupe de (Z+)

Answer 11

Les éléments n’ont pas d’opposées

Question 12

Pourquoi (x,y de R2 tq xy=0 ) n’est pas un sev de R2 ?

Answer 12

On prend les couple (1,0) et (0,1) et on le additionnes

Question 13

Pq {OA} n’est pas un sous anneau de A ?

Answer 13

1A n’est pas dedans (à moins que A={0A} )

Question 14

L’intersection de sous structures (d’un même ensemble structuré) est

Answer 14

une sous structure

Question 15

L’union de deux sous structure est

Answer 15

Pas une sous structure a moins que ACB ou BCA

Question 16

Si E et F possèdent la meme structure, ExF

Answer 16

Est naturellement muni d’une ou plusieurs mois qui lui confère une structure sauf dans le cas de la structure de corps
(1k,0L)x(0k,1L) = (0k,0L) dc KxL pas intégre

Question 17

Définition morphisme

Answer 17

Soit E et F deux ensembles structurés (pour la meme structure) un morphisme est une application de E dans F respectant les lois et les éléments distingués

Question 18

Ptés générales sur les morphisme
(Sous structure)
(Bijection)
(Injectivité)

Answer 18

• L’image direct ou réciproque d’une sous structure par un morphisme est une sous structure
• Si morphisme bijectif, sa bijection réciproque est aussi un iso-morphisme
• L’injectivité d’un morphisme de groupe (donc d’ev, algebre, anneau) se teste sur le noyau

Question 19

Propriété à propos de la surjectivité et des morphismes

Answer 19

Surjectivité d’un morphisme peut se tester sur une partie génératrice
(Si le morphisme permet d’atteindre tous les elts d’une partie génératrice de l’ens d’arrivé alors il est surjectif)

Question 20

Définition groupe

Answer 20

Un ensemble muni d'une lci (G,*) est un groupe si
* associative 
G admet elt neutre eG
Tout elts admet un symétrique dans G
(Si * commutative groupe abélien)

Question 21

Dans le cas de la notation multiplicative, pour n de N on def pour x de G
x^n x^m =
(x^m)^n=
(xy)^n !=

Answer 21

x^(n+m) =x^(m+n)
x^mn = (x^n)^m
x^n y^n sauf si x et y commutent

Question 22

Définition produit direct de groupe

Answer 22

Étant donné des groupes G1,…,Gn on def une structure de groupe sur G1x…xGn en posant (a1,…,an)(b1,..,bn) = (a,b1, …, anbn)

Question 23

Exemple de groupes

Answer 23

(Se,o) groupe des permutations de E
Groupe additif ds anneau kev alg..
Les inversibles d’un anneau
L’ensemble des applications de X dans G pour la loi naturelle issue de celle de G

Question 24

Définition sous groupe

Answer 24

Soit H une partie de G, H est un ss-g de G si
H stable par la loi de G
H possède eG ou H n’est pas vide
Tout élément de H à son symétrique dans H

Question 25

Caractérisation sous groupe

Answer 25

H sous groupe de G ssi H possède eG, est stable par loi de G eG par passage au symétrique ssi H possède eG, et pt x,y, xy-1 dans H

Question 26

Opération sur les sous groupes

Answer 26

Une intersection quelconque de sous groupe de G est un ss-groupe de G

Question 27

Un groupe ayant plus d'un élément admet au moins deux sous groupes

Answer 27

Lui meme et son élément neutre

Question 28

Exemple de groupe

Answer 28

Le centre d'un groupe est un ss-groupe commutatif Le commutant C(g) d'un élément g de G (C(g)= y de G tq yg = gy) (Centre est l'intersection des commutants des elts deG)

Question 29

Sous groupe engendré par une partie

Answer 29

On appelle sous groupe de G engendré par A et on note le plus petit sous groupe de G contenant A

Question 30

Sous groupe engendré par une union

Answer 30

Soit H et F deus sous groupes du groupe (G+) = H+F Ou la somme désigne (h+f de HxF)

Question 31

Définition morphisme de groupe

Answer 31

Phi de (G,*) dans (G',🔺) une application Phi est un morphisme de groupe si Phi(eG) = eG' Phi(a*b) = phi(a)🔺phi(b)

Question 32

La réciproque d'un isomorphisme de groupe est

Answer 32

Un isomorphisme de groupe

Question 33

Propriétés conservées par un isomorphisme de G dans H

Answer 33

``` Le fait que G soit de card fini Le fait que G soit abélien Le fait que G admette elts d'ordre p Le fait que G admette centre tivial Le fait que tt elts admette une moitier(pour+) et une racine carré (pourX) ```

Question 34

Aut(G) l'ensemble des automorphismes de G est

Answer 34

un groupe pour o

Question 35

Exemple morphismes de groupes

Answer 35

Signature E: Sn dans {-1,1} Det : Gln(K) -) K* Tte application linéaire est un morphisme du groupe additif sous jactent

Question 36

Soit phi : G dans G' morphisme de groupe | Phi injectif ssi

Answer 36

Ker(phi) = {eG}

Question 37

Rang d'un groupe

Answer 37

On suppose que G est de type finie ie qu'il admet partie génératrice finie. Rg G est le cardinal min d'une partie génératrice de G

Question 38

Groupe monogene, cyclique

Answer 38

G est monogene s'il est de rang 1 Si G monogene et fini alors G cyclique

Question 39

Exemple de groupe monogene Exemple de groupe cyclique

Answer 39

(Z,+) est monogene Un le groupe des racines n eme de l'unité est cyclique

Question 40

Soit n et a, a', b, b' tel que a 🎼a' [n] et | b🎼b'[n] alors

Answer 40

a+b 🎼 a' + b' [n]

Question 41

Groupe des entiers modulo n

Answer 41

On note Z/nZ l'ensemble des classes d'équivalences de Z modulo n. La loi d'addition dans Z induit une application dans Z/nZ qui lui confère une structure de groupe abélien

Question 42

Soit n de N*, k de Z, la classe de k dans Z/nZ engendre ce groupe ssi

Answer 42

k^n=1

Question 43

Def ordre d'un groupe

Answer 43

Le cardinal d'un groupe fini est aussi appelé son ordre

Question 44

Élément d'ordre fini d'un groupe, ordre d'un tel élément

Answer 44

Soit g de G. On suppose qu'il existe N de N tq g^N=eG on appelle ordre de g l'entier o(g) = min k de N tq g^k=eG

Question 45

Exemple ordre d'un élément

Answer 45

Le seul élément d'ordre 1 de G est eG Les transpositions sont d'ordre 2 Les symétries vectorielles de E distinctes de IdE sont d'ordre 2 dans Gl(E) ei2pi/n est d'ordre n dans U

Question 46

Soit * une loi de composition interne Associativité

Answer 46

(a*b)*c = a*(b*c)

Question 47

Classe d'équivalence définition

Answer 47

Soit R une relation d'équivalence sur E | Cl(x) = _x = {y e E tq yRx}

Question 48

On appelle représentant d'une classe d'équivalence ♎️ dans E

Answer 48

Tout élément x de E tq ♎️ = _x

Question 49

Un groupe monogène infini est isomorphe a

Answer 49

Z

Question 50

Un groupe cyclique de cardinal n est isomorphe a

Answer 50

Z/nZ

Question 51

Si x est d'ordre fini d et si e désigne le neutre de G alors pour n dans Z on a x^n = e ssi

Answer 51

d|n

Question 52

On dit que x de G est d'ordre fini lorsque

Answer 52

Le cardinal du sous-groupe de G engendré par x est fini; celui-ci est alors appelé l'ordre de l'élément x

Question 53

Si G est un groupe fini alors

Answer 53

Tout élément de G est d'ordre fini, et son ordre divise Card(G)

Question 54

L'ordre de la matrice (2,2) | M= 0 2 (1 1)

Answer 54

Det M = -2 donc det (M^n) = (-2)^n différent de 1 pour tt n donc l'ordre de M est infinie

Question 55

E un EV (L(E).o) est il un groupe ?

Answer 55

Non car les applications linéaires ne sont pas tjrs bijective donc n'ont pas d'inverse

Question 56

Les groupes (R,+) et (R*,X) sont ils isomorphe ?

Answer 56

Non car dans le premier il n'y a pas d'élément d'ordre 2 tandis que dans le deuxième il y a -1 (R,+) isomorphe a (R+*,X)

Question 57

Qu'est ce qu'u diviseur de 0

Answer 57

Un element non nul dont le produit avec un autre elemet non nul est egale a 0

Question 58

Une structure est dite integre lorsque

Answer 58

Il n'y a pas de diviseurs de 0 (Mn(K),+,X )n'est pas integre alors que (Z,+,X) est integre

Question 59

Soit a et b d'ordre m et n tel que m^n=1. a et commutent. | Que vaut l'ordre de ab?

Answer 59

On montre que (a)inter(b)=eg Soit k de N. (ab)^k= eg equivalent a a^k=b^-k appartient a (a)inter(b) =eg Donc k multiple de mn Puis on montre que k=mn en faisait (ab)^mn

Question 60

Comment montrer qu'une application est bijective ?

Answer 60

On exibe sa bijection reciproque Ou Injectivite et surjectivite