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Flashcards in Equation différentielles linéaires Deck (43):
1

Contexte

Ce chapitre offre l'occasion de mesurer le chemin parcouru.
On fixe un EVN de dim finie p^de N* sur K, B une base de E et un intervalle I d'intérieur non vide. En pratique E=K^p et B la base canonique. (le plus souvent k=R et p=1 ou 2)
Le chapitre se scinde en 2 parties :
Une partie de résultats très puissants mas théoriques sur la résolution d'EDL. centré autour du théorème de Cauchy linéaire.
Une partie sur la résolution concrète d'EDL

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Définition - Equation différentielle linéaire vectorielle

On appelle EDLV d'ordre 1 tte équation de la forme Epsilon : x'=a(t)(x) + b(t) d'inconnue x de I dans E. a une application continue de I dans L(E) et b une application continue de I dans E.
Une fonction f de I dans E est dite solution de Epsilon si elle est dérivable sur I et si pour tout tdeI, f'(t)=a(t)(f(t))+b(t)
La fonction b est appelée second membre de Epsilon. et Epsilon est dite homogène si b est la fonction nulle.
H: x'=a(t)(x)

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RQ - Définition - Equation différentielle linéaire vectorielle
forme matricielle

Ne pas oublier que par définition, une solution doit être dérivable. Une solution de Epsilon est nécessairement de C1.
L'equation Epsilon admet une forme matricielle: pour tout t de I, on note B(t) et A(t) les matrices respectives dans B (la base) de b(t) et de a(t) (A(t) matrice carré de taille p, B(t) matrice colonne). EN notant X la colonne des fonctions composantes de x de B(base). Epsilon équivaut a X'(t) = A(t)X + B(t) que l'on appelle système différentiel linéaire (d'ordre 1)

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Définition - Problème de Cauchy pour une EDL vectorielle d'ordre 1

Soit (to,xo) de IxE. Le système :
C: x'= a(t)(x) + b(t) et x(to)=xo est appelé problème de Cauchy associé à l'équation différentielle Epsilon d'ordre 1 et à la condition initiale x(to)=xo

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Mise sous forme intégrale d'un problème de Cauchy
On fixe le problème de Cauchy
C: x'= a(t)(x) + b(t) et x(to)=xo

La fonction x est solution du problème de Cauchy C ssi x est de C1 et pour tout t de I :
x(t)=xo + integrale(xo,t)(a(u)x(u)+b(u))du cela revient a dire que x est un point fixe de l'application ksi : x associe [tassocie xo+ int(to,t)(a(s)(x(s))+b(s))ds] de C1(I,E) dans lui même

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Définition - Equation différentielle linéaire scalaire d'ordre n

On appelle équation différentielle linéaire scalaire d'ordre n tte equation de la forme :
Epsilonn : an(t)y^(n) + ... +ao(t)y = b(t) ou ao,...,an,b sont des fonctions continues de I dans K et ou an n'est pas identiquement nulle. On dit que cette équation est résolue si an=1
Une fonction f de I dans K est dite solution de Epsilonn si elle est n fois dérivable sur I et si pour tout t de I, an(t)f^(n)(t)+...+ao(t)f(t)=b(t) . La fonction b est appelée second membre de Epsilonn, et Epsilonn est dite homogène si b est nulle. (on a Hn)

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Remarque -Définition - Equation différentielle linéaire scalaire d'ordre n

Ne pas oublier que par def, une solution de Epsilonn doit etre n fois dérivable. Si an ne s'annule pas, une solution de Epsilonn est meme de Cn et l'equadiff Epsilonn a les memes solutions que l'équation résolue ou on a divisé tout par an.
Hypothèse simplificatrice : suf mention contraire, on se place ds le cas ou Epsilonn est une equa diff résolue.

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Mise sous forme matricielle de l'equation différentielle linéaire scalaire d'ordre n

Soit y de I dans K une fonction n fois dérivable. En posant Y=def= ( y, y', ...., y^(n-1)) (vecteur colonne) et A=def=(C0...Cn-1) avec C0(0,,,-ao) C1(1,0,,,-a1),...,Cn-1(0,...,1,-an-1) et B=def=(0,...,b) (vect colonne) la résolution de Epsilon revient a celle du système différentielle linéaire d'ordre 1 Y'=A(t)Y+B(t)
Ainsi ns pourrons appliquer les résultats relatifs aux EDL vectorielles d'ordres 1 au cas des EDL scalaires résolues d'ordres n.

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Définition - Problème de Cauchy pour une équation linéaire scalaire d'ordre n

Le système Cn:
{ an(t)f^(n)(t)+...+ao(t)f(t)=b(t) et pt k de [|0,n-1|] y^(k)(to)=yk }est appelé problème de Cauchy associé a l'équation différentielle Epsilonn d'ordre n et aux conditions initiales pt k de [|0,n-1|] y^(k)(to)=yk
On fixe ds la suite un tel pb de Cauchy
Le fait de def ainsi un pb de Cauchy pour l'ordre n s'explique bien par le lien établi entre les EDL scalaires résolues d'ordre n et les EDL vectorielles d'ordre 1 (les conds initiales pour y correspondent a la donnée d'une cond initiale pour la colonne Y)

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On a fixé un problème de Cauchy Epsilonn
Première conséquence de la linéarité
1

Pour toute EDL G, nous noterons Sg l'ensemble de ses solutions
Les applications x associe (t associe x'(t)-a(t)x(t)) et y associe (any^(n)+...+aoy sont linéaires de D1(I,E) vers F(I,E) pour la première et de Dn(I,K) dans F(I,K) pour la seconde car la dérivation, la multiplication par une fonction donnée le sont, et car pt t, a(t) est linéaire.
C'est pq on parle d'équa diff linéaire.
Notons D l'une de ces applications, Resoudre Epsilon comme Epsilonn revient a déterminer D-1({b}) ie les fonctions f tq D(f)=b Resoudre H comme Hn revient a déterminer le noyau de D

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On a fixé un problème de Cauchy Epsilonn
Première conséquence de la linéarité
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En particulier, l'ensemble Sh des solutions de H est un Kespace vectoriel, et celui de Epsilon, s'il n'est pas vide, est un sous espace affine de F(I,E), de direction Sh
Autrement dit, si on dispose d'une solution particulière fo de Epsilon, alors Sepsilon = fo + ker(D) = {fo + h, hdeSh}
La linéarité des ED étudiées justifient donc l'approche suivante pour la résolution de Epsilon :
1) Resoudre H
2) Trouver une solution particulière de Epsilon
3) Conclure en exprimant la somme des 2.

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Proposition - Principe de superposition

Soit b1 et b2 des fonctions continues de I dans E. On suppose que f1 et f2 sont des solutions respectives de x'=a(t)x +b1(t) et x'=a(t)x+b2(t)
Pour tous scalaires @1 et @2 la fonction @1f1+@2f2 est solution de x'=a(t)(x)+@1b1(t)+@2b2(t)

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Théorème de Cauchy linéaire, cas vectoriel

Le problème de Cauchy C:
{ x' = a(t)(x)+b(t) et x(to)=xo } admet une unique solution sur I.

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Remarque a propos du Théorème de Cauchy linéaire, cas vectoriel

Ce résultat est très important pour comprendre la structure de l'ensemble des solutions de Epsilon. Il permet par exemple de montrer qu'une solution non identiquement nulle d'une EDL vectorielle homogène d'ordre 1 ne s'annule jamais. Les résultats de ce genre, donnant des renseignements sur le comportement des solutions d'une ED, sans pour autant explicité lesdites solutions, sont dit qualitatifs. Cependant, bien que la demo soit en partie effective (on construit une solution pour l'existence), il est rare qu'elle permette d'expliciter une solution. Il existe des cas simples ou on peut calculer la suite de fonctions (fn) puis sa limite simple f, unique solution de C, mais c'est des cas marginaux.

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Corolaire - Cas des EDL scalaires résolues d'ordre n

Le problème de Cauchy Cn: { f^(n)(t)+ an-1(t)f^(n-1)(t)+...+ao(t)f(t)=b(t) et pt kde[|0,n-1|], y^(k)(to)=yk }admet une unique solution sur I

Ns verrons que ce résultat peut tomber en défaut si l'EDL scalaire n'est pas résolue

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Corolaire - Cas des équations homogènes vectorielles d'ordre 1

Pour to dans I, l'application Øto de Sh dans E qui a x associe x(to) est un isomorphisme de cet espace sur E.
EN particulier Sh est un sous espace vectoriel de F(I,E) de dim p.

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Corolaire - Cas des équations scalaires résolues homogènes d'ordres n

Shn est un sous espace vectoriel de F(I,K) de dim n. Pour to dans I, l'application Øto de Shn dans K^n qui a y associe (y(to),..,,y^(n-1)(to)) est un isomorphisme de cet espace sur K^n

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Définition - Système fondamentale de solutions

On appelle système fondamentale de solution de H (resp de Hn) toute base (f1,...,fp) (resp (f1,...,fn)) de Sh (resp de Shn)

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Définition - Wronskien pour une EDL vectorielle homogène d'ordre 1

Etant donné une famille (f1,...,fp) de solution de E, on appelle wronskien de (f1,...,fp) dans la base B l'application W qui a t associe detB(f1(t),...,fp(t))

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Définition - Wronskien pour une EDL scalaire homogène d'ordre n

Etant donné une famille (f1,...,fn) de solutions de Hn, on appelle wronskien de (f1,...,fn) l'application W qui a t deI associe det(fi^(j)(t)) avec (i,j)de[|1,n|]x[|0,n-1|]

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Exemple - Wronskien pour une équation linéaire d'ordre 2

On utilisera surtout le Wronskien dans le cas d'une EDL homogène scalaire d'ordre 2 (c'est le seul wronskien qui figure au programme) qui vaut ds ce cas |C1,C2| avec C1(f1, f'1) et C2(f2,f'2). Par ex pour l'equation diff y''+y=0 un système fondamentale de solution est f1=cos et f2=sin. Le wronskien a l'instant t de R est le det de la matrice Wm(t)=def=(C1,C2) ac C1(cos(t),-sin(t)) et C2(sin(t),cos(t)) ie 1. (on remarque que Wm(t) est ds SO(2)

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Proposition - Caractérisation des des systèmes fondamentaux de solutions

Soit f1, ...,fp des solutions de H, Les assertions suivantes sont équivalentes :
1) (f1,...,fp) est un système fondamental de solution de H
2)Il existe t de I tq W(t)diff0
3)Pour tout t de I, W(t) diff 0

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Résolution pratique

Le théorème de Cauchy linéaire ns a permis de comprendre la structure des ensembles de solutions de H, Hn, et même Epsilon et Epsilonn. Cependant, hormis la fonction nulle pour des équations homogènes, il ne ns a fourni aucune expressions exploitable pour résoudre ces diverses équations. La section suivante a cet objectif.

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Rappels sur l'exponentielle d'un endomorphisme, d'une matrice

¨Pour u d'une Kalgèbre normée : exp(u)=som u^n/n!

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Proposition- Continuité de l'exponentielle

La fonction exponentielle de L(E) dans lui meme est continue

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Proposition - Exponentielle de la somme de deux endomorphismes qui commutent

Si a et b sont deux endomorphismes de E tq ab=ba alors exp(a+b)=exp(a)exp(b)

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Que dire de phia qui a t de K associe exp(ta) de GL(E)

C'est un morphisme du groupe (K,+) vers le groupe (GL(E),o)

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Proposition - dérivation d'un paramétrage exponentiel

L'application phia qui a t de R associe exp(ta) est dérivable sur R et pour tout réel t : phia'(t)=aphia(t)=phia(t)a=aexp(ta)=exp(ta)a

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Théorème - Résolution d'un problème de Cauchy vectoriel homogène à coefficients constants

Soit a de L(E), et xo de E. L'unique solution du problème de Cauchy homogène x'=a(x), x(to)=xo est la fonction f qui a t associe exp ((t-to)a)(xo)

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Sur le calcul de l'exponentielle d'une matrice

Si A est nilpotente c'est très facile : exp(A)=som(0,n-1)A^k/k!
Si A est diagonalisable, exp(A)=P-1exp(D)P
Ds le cas général on pourra utiliser la réduction la plus fine vue en cours, a savoir celle consistant a écrire A comme la somme d'une matrice nilpotente et d'un endo diago qui commutent. On peut observer que le comportement asymptotique des solutions est essentiellement régi par le signe de la partie réelle des valeurs propres de la matrice A.
La réduction de la matrice A donne donc des renseignements sur les solutions de l'eq X'=AX

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Proposition - Solution d'une EDL homogène a coefficients constants et vecteurs propres

Soit V un vecteur non nul et @de K. La fonction qui a t associe exp(@t) V est solution de X'=AX ssi V est un vecteur propre de A pour la valeur propre @

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REMARQUE - Proposition - Solution d'une EDL homogène a coefficients constants et vecteurs propres

Bien sur, pour savoir si @est vp, de A, on pourra tester si XA(@)=0 (XA polynôme caractéristique)
Ds le cas d'1 EDL scalaire d'ordre n "vectorialisée" on a
A=def=(C0...Cn-1) avec C0(0,,,-ao) C1(1,0,,,-a1),...,Cn-1(0,...,1,-an-1) et on peut vérifier qu'alors XA=X^n+an-1X^n-1+...+a1X+a0 donc @est vp ssi @est solution de l'eq caractéristique XA(z)=0 ie racine du polynôme caractéristique. En pratique, si on note (@i,ri) 1inf i inf p la famille des racines de P, données avec leur ordres de multiplicités, on peut vérifier qu'un système de solution fondamentale de solution y^(n)+an-1y^(n-1)+...+a1y'+aoy=0 est constitué des t associe t^kexp(@it) ou i décrit [|1,p|] et pour i fixé, k décrit [|0,ri-1]

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La technique du facteur intégrant, introduction

En MPSI, on a résolu les équations de la forme (H) : y'+a(t)y=0 avec a de I dan K continue. Il s'agit d'une EDL scalaire d'ordre 1 résolue. On avait établie que Sh était une droite vectorielle dirigée par exp(-A(t)) avec A une primitive de a. Cela e retrouve facilement en utilisant un facteur intégrant: en multipliant H par e(A(t)) qui ne s'annule pas. on obtient l'équation équivalente d(yexp(A(t))/dt = 0

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Exponentielle matricielle et résolution d'EDL vectorielles homogènes (digression facultative)

Il est tentant d'extrapoler cette formule pour résoudre une qua diff vectorielle homogène (H'): y'+a(t)y=0 en introduisant une primitive A de a.
On peut s'attendre a ce que f qui a t associe exp(-A(t)) soit solution de H' mais ça n'est pas le cas. Le problème vient du fais que l'on ne peut pas dériver f en t associe -a(t)exp(-A(t)) : Pour t fixé : expo(-A(t+h))=exp(-A(t)-ha(t)+o(t)) mais rien ne dit que A(t) et a(t) commutent pour transformer cet exponentielle d'une somme en un produit d'exponentielle. Pour que a et A commutent, il suffit que a soit constante. ou que E soit de dimension 1.

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Théorème : résolution d'un sytème différentiel linéaire a coefficients constants

Si a est dans L(E). l'unique solution de C : (x'=a(x)+b(t) et x(to)=xo ) est la fonction qui a t associe xoexp((t-to)a) + intégrale (to,t)exp(t-s)b(s)ds

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Méthode de variation de la constantes

Supposons d'un sytème fondamental de solution (f1,...,fp) de H, et soit W le wronskien associé (dans une base fixée B de E). Les fonctions fi sont de C1 et pour tout t de I, W(t)diff 0. Les formules de Cramer montrent alors que toute fonction g de I dans E, dérivable, peut s'écrire (de manière unique d'ailleurs) sous la forme g=som(1,p) @ifi ou les @i sont des fonctions dérivables de I dans K. On peut donc sans perte de généralité chercher une solution particulière de Epsilon sous cette forme. Bien sur, g'=som(1,p)@i'fi + som(1,p)@ifi' et comme les fi sont des solutions de H, il y a équivalence entre le fait que g soit solution de Epsilon et le fait que som(1,p)@i'fi=b.
En inversant pour chaque t le système som(1,p)@i'(t)fi(t)=b(t) dont les inconnues sont les @i'(t) puis en intégrant on obtient une solution particuliere de Epsilon. (et meme ttes si on laisse les cstes d'intégration varier librement)

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Remarque : Méthode de la variation de la constante

Cette méthode de résolution de EPsilon, étant donné un système fondamentale de solution de H, est appelée méthode de variation des constantes. En effet elle revient a remplacer des constantes scalaires @i ds l'expression som(1,p)@ifi (donnant une solution de H) par des fonctions, afin de déterminer une solution particulière de Epsilon. La relation som(1,p)@i'fi=b s'obtient immédiatement en se rappelant que si les @i sont constants, on obtient une solution de l'equation homogène. (ds les exos pratique, n=2)

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Equation différentielle du second ordre

On s'intéresse ici au cas particulier des EDL scalaires du second ordre résolues
Epsilon : y'' + a(t)y' + b(t)y = delta(t) ou a, b et delta sont des fonctions continues de I dans K.
En posant Y=(y, y') ainsi que pour tout tdeI, A(t)=def=(C1,C2) avec C1=(0, -b(t)) et C2=(1, -a(t)) et D(t)=def=(0, delta(t)). Résoudre Epsilon revient a résoudre le système différentiel linéaire suivant : Epsilon': Y'=A(t)Y + D(t)

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Pour résoudre l'équation homogène associée H : y'' + a(t)y' + b(t)y = 0

on connait depuis la MPSI une méthode explicite dans le cas ou l'équation est a coefficients constants, c'est-a--
dire lorsque a et b sont en faites constantes.
Résoudre l'équation homogène associée dans le cas général (lorsque a ou b n'est pas constante), est bien
plus difficile. On se gardera en particulier de parler d'équation caractéristique dans ce cas.
On sait que SH est un plan vectoriel (par le théorème de Cauchy linéaire), mais il est difficile en général
d'en trouver une base : le plus souvent, l'énoncé vous guidera face a une telle équation, en vous proposant par
exemple un changement de variable pour vous ramener a un cas déjà connu, ou en vous faisant trouver les
solutions développables en série entière.

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Méthode de l'abaissement de l'ordre

On peut toutefois retenir une méthode intéressante, qui est encore une forme de variation de la constante
(même si on ne l'appelle pas ainsi) : une fois une solution non nulle (idéalement qui ne s'annule pas) f0 de H
trouvée, on peut chercher d'autres solutions sous la forme f qui a t associe C(t)fo(t). Cela conduit a résoudre une équation différentielle satisfaite par C0, et d'ordre 1.
En fait, c'est probablement ce que vous avez fait en MPSI pour déterminer l'ensemble des solutions d'une
EDL homogène d'ordre 2 a coefficients constants : vous avez d'abord cherché une solution de la forme tassocie exp(rt) (c'est le cas si et seulement si r est solution de l'équation caractéristique), puis vous avez trouvé toutes lessolutions, en les cherchant sous la forme tassocie C(t)exp(rt). Une fois un système fondamentale (f1,f2) de solution de H trouvé, reste a déterminer une solution particulière de H

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La méthode de la variation de la constante vue pour les EDL vectorielles d'ordre 1 s'adapte sans difficulté aux EDL scalaires d'ordre n. Explicitons-la dans le cas ou n=2

On pose F1(f1,f1') et F2(f2, f2'). On cherche les fonctions dérivables @1 et @2 de I dans K tq @1F1 + @2F2 soit solution de Epsilon' ce qui revient a @1'F1 + @2'F2=D ou encore en posant Wn=def=(C1,C2) avec C1(f1, f1') C2(f2,f2') a Wn(@1', @2')=(0, delta) soit enfin a S: {f1(t)@1'(t)+f2(t)@2'(t) =0 et f1'(t)@1'(t) + f2'(t)@2'(t) = delta } pour tout t de I.

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Proposition- Variation des constantes pour les EDL scalaires résolues d'ordre 2

Soit (f1,f2) un système fondamental de solution de H, @1 et @2 des fonctions dérivables de I dans K. La fonction g qui a t associe @1(t)f1(t)+@2(t)f2(t) est solution de Epsilon ssi le système de relation S: {f1(t)@1'(t)+f2(t)@2'(t) =0 et f1'(t)@1'(t) + f2'(t)@2'(t) = delta (sui est de Cramet en les inconnues @1'(t) et @2'(t)) est vérifié
Wm est un wronskien "matriciel" que l'on pourrait appeler matrice de Wronski, le wronskien désignant le déterminant d'une telle matrice

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Demonstration -
Proposition-caractérisation des systèmes fondamentaux de solutions

Soit t un point fixe de I. Phit qui a f de Sh associe f(t) est un isomorphisme. Donc (f1,...,fp) est une base de Sh ssi (phit-f1),..,phit(fp)) est une base de E ssi (f1(t),...,fp(t)) est une base de E ssi detB(f1(t),...,fp(t)) diff 0 ssi W(t) diff 0