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Flashcards in Mecanique Deck (77):
1

Puissance d'une force

Soit M de masse m, de vitesse V(M)R dans un référentiel soumis a FsurM.
La puissance de la force est P(F)R = FsurM.v(M)R

Watt

2

Travail élémentaire

Soit M de masse m, de vitesse V(M)R dans un référentiel soumis a FsurM
Le travail élémentaire de la force pour une déplacement élémentaire de M est
deltaW= Pdt=FsurM.dOM

Le travail est en Joule
Le travail de la force entre deux instants t1 et t2 est W(F)=int(t1,t2)Pdt = int(M1,M2)FsurM.dOM

3

Théorème puissance cinétique

(dEc/dt)R = somP(F)R

4

Théorème de l'énergie cinétique

dEc=som deltaW(F) ou DEc=somW(F)

5

Définition - Force conservative

La force FsurM est dite conservative si il existe une fonction EP appelée énergie potentielle telle que dEp=-deltaW(FsurM). Alors DEp=-W(FsurM)

6

Théorème de l'énergie mécanique

On appelle énergie mécanique Em=Ec+Ep et dans R galiléen :
(dEm/dt)R=somP(Fnonconservative)R
et DEm=som W(Fnonconservatives)

7

Force conservatrice

Force dérivant d'une EP ou force qui ne travail pas
Pour une telle force, DEm=0 et donc Em=cste
Cette équation est appelé intégrale premiere de l'energie

8

Oscillateur harmonique autour d'une position d'équilibre stable

Le concept d'oscillateur harmonique joue un rôle fondamentale pour de nombreuses applications en physique. Son mvt est décrit par une ED du second ordre de type : d²X/dt + wo²dX=0 ou wo est la pulsation propre de l'oscillateur. La solution s'écrit X(t)=Acos(wot) + Bsin(wot) ou A et B dépendent des conds initiales

9

Propriété fondamentale d'un oscillateur harmonique

La période du mouvement To (ou sa pulsation wo ou sa fréquence fo est indépendante de l'amplitude des oscillations. Et To=1/fo=2pi/wo
Un OH constitue une système conservatif (aucune perte d'énergie)

10

Solution de l'équation de l'oscillateur harmonique

u(t) = Acos(w0t) + Bsin(w0t)

u(t) = Xmcos(w0t + phi) ac Xm>0

11

Période propre de l'oscillateur

To=2pi/wo

12

Fréquence propre de l'oscillateur

Fo= 1/To = Wo/2pi

13

La direction de er dite r....... Et celle de Ethêta est o

Radiale / orthoradiale

14

Composante ds base cylindrique

OM = rEr + zEz

vM= drEr + rdøEø + dzEz

aM = (d2r -rdø2)Er + (rd2ø + 2drdø) Eø + d2z Ez

15

Composante ds base sphérique

vM = drEr + rdøEø + rsinødphi Ephi

16

Force de Lorentz

Pour particule de charge q er de citesse v

f=qv^B

17

B créer par un fil infini

B= muo I / 2pi R

Muo = perméabilité du vide = 4pi.10^-7

18

Force de Laplace

dF= idl^Bext

19

Théorème du moment cinétique

Jd2ø= som(moments des forces)
J moment d'inertie
D2ø = dW vitesse angulaire
Pour A, fixe dans le référentiel R galiléen : (dsigma a(M)/dt)R=som AM^FsurM=somMa(FsurM) ou Ma(FsurM) est le moment en A de la force appliqué sur M

20

Moment magnétique de la spire

m= iSn


XN le nombre de spire pour une bobine

21

Moment du couple des forces de Laplace :

-------->
__
| \ =
|

m^B

22

Flux de B à travers S

¥= B.Sn

23

Loi de faraday

e = -d¥/dt

24

Oscillateur harmonique : def et équation

= système dont l'évolution au cours d temps est décrite par une grandeur u(t) solution de l'équation :

Ü+w0^2ù=0

Ac w0 pulsation propre de l'oscillateur

25

Trajectoire

En mécanique du point, on repère un point M dans le référentiel d'étude (R) d'origine O par le vecteur Om(t). L'extrémité de ce vecteur décrit la trajectoire de M dans le référentiel (R). Si on note s l'abscisse curviligne de M, la loi s(t) est, par définition, l'équation horaire du mouvement

26

Vecteurs vitesse et accélération

Le vecteur vitesse d'un point M dans le référentiel R est donné par v(M)=(dOM/dt)R ou 0 est un point fixe dans R. Le vecteur accélération de M dans R est donné par a(M)/R=(d²OM/dt²)R

27

Coordonnées cylindriques

OM=
v(M)=
a(M)=

Déplacement élémentaire et volume élémentaire

OM=rer + zez
V(M)=r° er + rtheta° etheta + °zez
a(M)=(r°°-rtheta°²)er + (2r°theta° + rtheta°°)etheta
Déplacement élémentaire = drer + rdtheta etheta + dzez
Volume élémentaire :
dto= rdrdthetadz

28

Coordonnées sphérique

OM=
v(M)=
a(M)=

Déplacement élémentaire et volume élémentaire

OM= rer
V(M)= r°er + rtheta° etheta + rsintheta phi° ephi
Déplacement élémentaire :
dOM=drer + rdtheta etheta + rsinthetadphi ephi
Volume élémentaire :
dto=r²drsin(theta)dthetadphi

29

La quantité de mouvement

Soit un point M de masse m mobile dans un référentiel R d'origine O. On def en physique Newtonienne les éléments cinétiques de M (qui dépendent du référentiel) suivants :
Quantité de mouvement p(M)R=mv(M)R

30

Le moment cinétique au point A

Soit un point M de masse m mobile dans un référentiel R d'origine O. On def en physique Newtonienne les éléments cinétiques de M (qui dépendent du référentiel) suivants :
Le moment cinétique au point A : La(M)R=sigmaa(M)R=AM^mv(M)R

31

L'énergie cinétique

Soit un point M de masse m mobile dans un référentiel R d'origine O. On def en physique Newtonienne les éléments cinétiques de M (qui dépendent du référentiel) suivants :
L'énergie cinétique Ec(M)R=1/2 mv²(M)R

32

PFD

Dans un référentiel R galiléen, M de masse constante :
(dp/dt)R=ma(M)R=som(FsurM)

33

Point matériel dans un puits de potentiel
Contexte

1/2

On s'intéresse à un système oscillant placé dans un puits de potentiel, dans l'approximation des petites oscillations au voisinage d'une position d'équilibre stable. Considérons un système conservatif a un paramètre, noté x, d'énergie potentielle totale Ep(X). On a Em=Ec+Ep(x)=cste=Eo

34

Etude du point matériel dans un puits de potentiel, suite

2/2

Le domaine des mouvements possibles est tel que Ep(x) inf Eo. Une position d'équilibre stable correspond a un minimum de la fonction Ep. Au vois de cette position, noté xo, le système est placé dans un puits de potentiel. Pour de petits déplacements autour de xo, un DL de TY limité a l'ordre deux permet d'écrir :
Ep(x)=Ep(xo)+(d²Ep(x)/dx²)xo (x-xo)²/2. Le terme d'ordre 1 est nul car equilibre stable et celui d'ordre 2 est positif.
On introduit X=x-xo traduisant l'écart a la position d'équilibre.
Donc on a Em=Eo=1/2mdx/dt + Ep(xo)+(d²Ep(x)/dx²)xo(x-xo)²/2

35

Comment obtient-on l'équation de l'oscillateur harmonique a partir de
Em=Eo=1/2mdx/dt + Ep(xo)+(d²Ep(x)/dx²)xo(x-xo)²/2

on dérive par rapport au temps d'où :
d²X/dt² + wo²X=0 on reconnait l'OH de pulsation wo= ( d²Ep(x)/dx²)xo/m)^1/2

36

Oscillation libre avec amortissement fluide

A partir de l'OH, de pulsation propre wo, on ajoute une force de frottement fluide, proportionnelle à la vitesse et opposée au mouvement, du type Ff=-alphav(M)/R avec alpha sup 0. L'oscillateur amorti ainsi obtenu constitue un système non conservatif. L'équation du mouvement d'un tel oscillateur peut s'écrire sous la forme canonique :
d²X/dt² + wo/QdX/dt + wo²X=0 ou Q est le facteur de qualité

37

Les différents régimes libre possible

Delta sup 0, (Q inf 1/2) : 2RRN
X(t)=Ae(r1t) + Be(r2t)
Delta = 0 (Q=1/2) : 1RRND
X(t)=(At+B)e(rt)
Delta inf 0, (Q sup 1/2) : 2RCC
X(t)=2(-wot/2Q)(Acos(xt)+Bsin(wt))
Quelque soit le regime et les CI, lim(t,8)X(t) = 0, ceci est la conséquence de la dissipation de l'énergie due a la force de frottement)

38

Les oscillations forcées : Contexte

On reprends l'oscillateur amorti par frottement fluide précédent, soumis maintenant suivant la direction du mouvement a une force excitatrice Fe(t). Le mvt de l'oscillateur est alors régi par l'ED d²x(t)/dt² + xo/Qdx(t)/dx + wo²x = Fe(t)/m
la solution s'écrit comme la somme d'un regime transitoire (resolution sans second membre) et d'un regime forcée: la solution particulière.

39

Les oscillations forcées : cas de l'excitation sinusoidale de pulsation w

Fe(t) = F0cos(xt) on établie que la réponse en régime forcée est aussi sinusoidale de pulsation w, déphasé par rapport a l'excitation, du type X(t)=Xmcos(wt+phi)
On obtient les amplitudes et dephasage en passant en complexe

40

Mouvement d'un référentiel par rapport a un autre :
Réferentiel R' en translation par rapport a un référentiel R

Deux référentiel R et R' sont en translation l'un par rapport a l'autre si les axes du repère de R' gardent toujours une direction constante par rapport aux axes du repère de R
Cas du train : La trajectoire de O' est rectiligne, on parle de translation rectiligne
Cas de la grde roue : La trajectoire de O' est circulaire : translation circulaire
Le mvt de R' par rapport a R est entièrement décrit par celui de O' dans R

41

Mouvement d'un référentiel par rapport a un autre :
Référentiel R' en rotation uniforme autour d'un axe fixe d'un autre référentiel R

On a R lié au sol de repère 0xyz, et R' lié au plateau tournant de repère O'x'y'z' et on définit wr'/r=wuz=Ø°uz vecteur rotation de R' par rapport a R
Soit P un point fixe de R', P a un mvt circulaire dans R.

42

Loi de composition des vitesses
R' en translation par rapport a R

Formule de dérivation vectorielle ds R'
(dA/dt)R'=a'ux'+b'uy'+c'uz'=(dA/dt)R
Loi de compo des vitesses :
vM/R= (dOM/dt)R = (dOO'/dt)R+(dO'M/dt)R = (dOO'/dt)R+(dO'M/dt)R' =vO'/R + vM/R' premier terme vitesse d'entrainement du pt M ds R' en mvt par rapport a R et le second vitesse relative = vitesse de M dans R' en mouvement par rapport a R. Le premeir vitesse absolue
vM/R=ve M R'/R + vM/R' ac Ve M R'/R = VO'/R.

43

Loi de composition des accélérations
R' en translation par raport a R

aM/R=(d²OM/dt²)R=(dvO'/dt)R+(dvM/R'/dt)R=aO'/R + (dvM/R'/dt)R' donc aM/R = a O'/R + a M/R' premier : accélération absolue, deuxième accélération d'entrainement de M ds le mvt de par rapport a R puis accélération relative
Donc aM/R = a e M R'/R + a M/R' ac a e M R'/R=a O'/R

44

Translation rectiligne uniforme

R' en translation rectiligne uniforme par rapport a R
vO'/R = cste = u; donc
vM/R = u + vM/R' puis
aM/R=aM/R'

45

Cas ou R' est en rotation uniforme autour d'un axe D fixe dans R

Dans R': A = a'ux' + b'uy' + c'uz'
(dA/dt)R' = a'°ux' + b'°uy' + c'°uz'
(dA/dt)R=(dA/dt)R'+a'(dux'/dt)R + (duy'/dt)R
ux'=cosØ ux + sinØuy donc (dux/dt)R=-Ø°sinØux +Ø°cosØuy = Ø°uy'
uy'=-sinØux + cosØuy
(duy'/dt)R=-Ø°cosØux - Ø°sinØuy=-Ø°ux'
donc (dA/dt)R=(dA/dt)R' - b'Ø°ux' +a'Ø°uy'
Or wR'/R^A=-b'Ø° ux' + aØ° uy' donc
(dA/dt)R=(dA/dt)R' + wR'/R^A
(Rq : valable meme si la rotation n'est pas uniforme, applicable a tout mvt de R' par rapport a R)

46

Loi de composition des vitesses :

Cas ou R' est en rotation uniforme autour d'un axe D fixe dans R

vM/R = (dOM/dt)R=(dO'M/dt)R (O'=O ici) = (dO'M/dt)R' + wR'/R^O'M
donc vM/R = vM/R' + v e M R'/R avec ve M R'/R =wR'/R^O'M donc vM/R

47

BILANNNNNNNNNNNN
Dérivation vectorielle :

(dA/dt)R = (dA/dt)R' + wR'/R^A avec le second terme nul dans le cas de la translation

48

BILANNNNNNNNNNN
composition des vitesses

vM/R = vM/R' + ve M R'/R
Vitesses d'entrainement :
translation : vO'/M
rotation uniforme avec O=O' et Oz = Oz' : wR'/R^O'M
cas générale : vO'/R + wR'/R^O'M

49

Notion de point coincident
1er cas : R' en translation par rapport a R

On étudie le mouvement de M ds 2 référentiels R' et R. R' en mvt par rapport a R. On appelle P point coïncident a M a l'instant t le pt fixe de R' confondu avec M a l'instant t. Ts les pts de R' on la meme vitesse ds R. vp/r=vO'/r et ap/r=aO'/r
Ainsi v e M R'/R = vitesse du pt coincident ds R = vO'/R
et a e M R'/R = acceleration du pt coincident ds R = a O'/R

50

Notion de point coincident
2er cas : R' en rotation uniforme par rapport a R

On étudie le mouvement de M ds 2 référentiels R' et R. R' en mvt par rapport a R. On appelle P point coïncident a M a l'instant t le pt fixe de R' confondu avec M a l'instant t. P décrit ds R un cercle de centre H (rojo de P sur Oz) On a OM = rur; v(M)=rdØ/dt uØ et a(M)=-r(dØ/dt)² ur. On a v P/R = HPw uØ = wR'/R^HP = wR'/R^O'M=v e M R'/R et aP/R=-HPw²ur = -wR'/RHM=a e M R'/R

51

Def - Référentiel galiléen
Loi de dynamique a un ref nn galiléen

On appelle référentielle galiléen un ref ds lequel tt pt matériel isolé (ou pseudo isolé) est animé d'un mvt rectiligne uniforme.
Soir R' en translation rectiligne uniforme par rapport a R.
Soit M un pt isolé, maM/R = 0 car R galiléen
donc m(a M/R' + a O'/R) = 0 or translation donc second terme nul puis de ce fait: le premier également.
Donc tout référentielle en translation rectiligne uniforme par rapport a un référentiel galiléen est galiléen.

52

RFD en ref non galiléen

R galiléen, R' non galiléen. la RFD donne
m a M/R = som F d'où m( a M/R' + a c M R'/R + a e M R'/R) = som F
donc m aM/R' = som F + fie + fic
fie = -m a e M R'/R = pseudo force d'inertie d'entrainement et fic = -m a c M R'/R = pseudo force d'inertie d'entrainement de Coriolis

53

TMC par rapport a un point A fixe dans R' non galiléen.

La(M) = AM^mv M/R' donc dLa(M)/dt |R' = dAM/dt|R' ^mvM/R' + AM ^m dvM/R'/dt|R' = 0 + AM^( som F + fie + fic)
donc dLa(M)/dt|R' = som Ma(F) + Ma(fie) + Ma(fic)

54

Théorème énergétique

Ec M/R' = 1/2 m vM/R'² donc dEc M/R'/dt |R'= m vM/R' d vM/R'/dt|R' = v M/R' (som F + fie + fic) = som P(F) + Pfie + Pfic or Pfic = v M/R'. (-2mw R'/R^v M/R') = 0
donc dEc M/R' = som deltaW FsurM + delta Wfie

55

Calcul de delta W fie dans le cas ou R' en translation par rapport a R

delta W fie = -maO'/R.dlM = -dEp
exemple si mvt uniformément accéléré : DEp(A,B) = m a O'/R.AB ie fie est conservatrice

56

Calcul de delta W fie dans le cas ou R' en rotation uniforme par rapport a R

deltaWfie = -m (-w²HM).dlM = mw²HM.dlM=-dEp donc
Ep=-1/2mw²(HM)² + cste ie fie est conservatrice

57

Référentiel de Copernic Rc

son origine est au centre de gravité du système solaire quasiment confondu avec le centre du soleil et 3 axes dirigés vers des étoiles fixes très éloignées. Ce ref est considéré galiléen pour toute étude se trouvant a l'intérieur du système solaire.

58

Référentiel de Kepler / reférentiel héliocentrique

Il a pour origine le centre du soleil et ces 3 axes sont parallèles a ceux du ref de Copernic.

59

Référentiel géocentrique

Il a pour origine le centre T de la Terre, ses axes sont parallèles a ceux du ref de Copernic. Il est en translation elliptique par rapport a Rc donc a priori non galiléen.

60

Caractère galiléen approché du référentiel géocentrique

Dans Rc galiléen la RFD a T centre de la Terre donnc Mt a T/Rc = somFi ou Fi = -G MiMt/di² uiT avec l'indice i pour l'astre situé a di de T

61

Etude d'un corps M dans le referentiel géocentrique

La relation fondamentale donne ma//Rg= F + mGT(M) + msomGi(M) + fie + fic
F resultante des forces autres que celles de gravitation s'appliquant en M
GT(M) champ de gravitation terrestre appliqué en M
Gi(M) champ de gravitation d'un astre i autre que la Terre appliqué en M
fie = -mae = -m aT/Rc = -m som Gi(T)
fic=0 pseudo force d'inertie de Coriolis dans le cas d'un mouvement de translation.
Finalement : m aM/Rg = F + mGT(M) + msom(Gi(M)-Gi(T))
le terme som est appelé terme de marée.
Le ref geo pourra etre considéré galiléen au voisinage de la terre.
D'autre part, pour des expériences de durée faible devant la période de rotation de la Terre autour du soleil on considérera le ref galiléen.

62

Référentiel Terrestre

Il a pour origine un point F fixe a la surface de la Terre de latitude lambda. Ses axes sont (Fx) selon un méridien et dirigé vers le sud. (Fy) selon un parallèle et dirigé vers l'est. (Fz) selon (TF) et dirigé vers l'extérieur de la Terre. (Tzo) est dirigé selon l'axe Sud-Nord des poles. On def alors Oméga = Oméga uzo le vecteur rotation de la Terre par rapport au ref géocentrique Rg galiléen.

63

Caractére galiléen approché dans Rt

On s'intéresse au mvt de M ds Rt.
Ds Rt non galiléen on a m aM/Rt = -mMtG/TM² uz + F + fie + fic ou F rpz la résultante des forces "vraies". On évalue la norme de chaque composantes.
|| -mMtG/TM² uz|| = 9.77m
||fie|| = m||ae||=mOméga²||HmM|| = mOméga²Rtcoslambda = 0,034m
||fic||=m||ac||=m||2Oméga^vM/Rt|| inf 2mOméga||vM/Rt|| = 0,015m pour une vitesse de 100km.h-1
Donc pour des mvt a vitesse raisonnable on considèrera galiléen.
D'autre part, pour des expériences de durée faible devant la période de rotation de la Terre autour d'elle meme on considérera le ref galiléen.

64

Déviation vers l'est, influence de la force de Coriolis

On applique une RFD dans Rt, on a l'accélération suivant x, y, et z. On exprime les fie et fic. Dans Fic il apparait des termes sur les 3 composantes, puis en intégrant les 3 composantes d'accélération on obtient un terme sur y qui correspond a l'axe dirigé vers l'est. d'où une déviation vers l'est.

65

Lois de Coulomb du frottement de glissement dans le seul cas d'un solide en translation
Etude cinématique du contact entre 2 solides
Position du problème

Soit S1 et S2, 2 solides en mouvement dans un referentiel R tout en restant au contact l'un de l'autre. On assimile la région de contact a un point I=I(t) point géométrique.
On note a t pi(t) le plan tangent commun aux 2 solides et n12 la normal a ce plan passant par I (de S1 vers S2). On note I1 et I2 les point qui sont en contact a l'instant t.
I1=I2=I seulement a l'instant t fixé

66

Lois de Coulomb du frottement de glissement dans le seul cas d'un solide en translation
Etude cinématique du contact entre 2 solides
Vitesse de glissement

A chaque instant t on définit la vitesse de glissement de (S2) par rapport a (S1) par vg(t)=vS2/S1(t)=v(I2/Rs1)(t)=vI2/R(t)-vI1/R(t)
vg(t) appartient au plan tangent pi(t) commun au deux solides
vI2/R=vI2/RS1+ ve I2 RS1/R loi de compo des vitesses. Or la vitesse d'entrainement de I2 dans le mvt de RS1 par rapport a R est la vitesse dans R de p fixe de RS1 qui coïncident a l'instant t avec I2: P=I1 donc ve I2 RS1/R=vI1/R

67

Actions mécaniques de contact :
hypothèses restrictives
Forces

Le contact en T est supposé ponctuel
Les forces de contact passant par I ont un moment en I nul : les actions de contact de 1 sur 2 sont modélisées par la résultante R12 appelée réaction (de contact) de 1 sur 2
R12=RT+RN avec RN réaction normale en I a pi(t) et RT réaction tangentielle appartenant a pi(t)
On note @=(R;Rn) alors tan @ = ||RT||/||RN||

68

Lois de Coulomb pour le frottement de glissement (lois phénoménologiques)
Réaction normale
Liaison unilatérale et bilatérale

Réaction normale :
Cas d'une liaison unilatérale : (2 posé sur 1) RN empêche 2 de pénétrer 1. Rn est dirigé de 1 vers 2 : RN=RNn12 avec RN sup 0 ds le cas du contact et RN=0 quand le contact cesse.
Liaison bilatérale :(anneaux tourne autour de tige 1)
On ne peux rien dire sur le sens de RN

69

Lois de Coulomb pour le frottement de glissement (lois phénoménologiques)
Réaction tangentielle

Loi du frottement statique
Lorsque 2 ne glisse pas sur 1 :
vg = 0 et ||RT|| inf fs ||RN|| avec fs coef de frottement statique

70

Loi du frottement cinétique

Lorsque 2 glisse sur 1 : vg diff 0
RT colinéaire a vg, et de sens opposé a vg, (on parle de frottement de glissement)
||RT||=fc||RN|| fc coef de frottement cinétique

71

Lois de Coulomb pour le frottement de glissement (lois phénoménologiques)
Réaction tangentielle

Loi du frottement statique
Lorsque 2 ne glisse pas sur 1 :
vg = 0 et ||RT|| inf fs ||RN|| avec fs coef de frottement statique

72

Loi du frottement cinétique

Lorsque 2 glisse sur 1 : vg diff 0
RT colinéaire a vg, et de sens opposé a vg, (on parle de frottement de glissement)
||RT||=fc||RN|| fc coef de frottement cinétique

73

Puissance totale des forces de contact entre 2 solides

P=Pr1sur2 + PR2sur1=R1sur2.vI2/R+R2sur1.vI1/R
=R1sur2(vI2/R-vI1/R)=R1sur2.vg2/1=Rt1sur2.vg2/1 inf 0

74

Solide en rotation autour d'un axe fixe Delta en ref galiléen
TMC par rapport a Delta fixe dans R galiléen

dLDelta/dt=somMDelta (si R non galiléen, on rajoute MDeltafie et MDeltafic) avec LDelta=JDeltaw

75

Solide en rotation autour d'un axe fixe Delta en ref galiléen
TPC dans R galiléen

dEc/dt=som Pext avec Ec = 1/2JDeltaw²

76

Exemple pendule pesant, on a une tige en rotation autour d'un axe Uz et w=wuz=dØ/dt
on donne masse m et longueur l
et JGz=ml²/3

Dans R galiléen, Loz = Joz w = ml²/3 dØ/dt donc dLoz/dt = ml²/3 d²Ø/dt². Moz=Mo.Uz=Mo(P).Uz et Mo(P).Uz =OG^P.Uz d'où ml²/3 d²Ø/dt² = -mglsinØ/2
Ou
Ec=1/2Jozw² = ml²(dØ/dt)²/6 d'où dEc/dt = ml²dØ/dt d²Ø/dt²/3 et Pr=0 et P(P)=P.vG=-mgl/2dØ/dtsinØ d'où d²Ø/dt² + 3/2 g/l sinØ = 0

77

Comment retrouver le travail pour un couple

Sur une tige ou 0 le centre et A et B les extrémités, on a 2 forces opposées qui s'appliquent, (la résultante est nul) mais Mo(Fa)=OA^Fa=-l/2FauZ et Mo(Fb)=OB^Fb=-l/2FbuZ
Couple de torsion C=-lF et deltaW=Fa.dla+Fb.dlb=-Fal/2dØ - Fbl/2dØ = -FldØ d'où deltaW=CdØ