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Flashcards in Mécanique quantique Deck (73)
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Les premiers quanta : Planck (1900)

Explique le rayonnement du corps noir en faisant l'hypothèse que les oscillateurs mécaniques chargés, de frequence nu, ne peuvent émettre ou absorber l'énergie lumineuse que par quantités discrètes

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Le rayonnement du corps noir

Lumiere émise par un corps matériel quand il est en équilibre thermique a la température T
Planck a trouvé une formule qui donne le tracé de l'intensité en fonction de la longueur d'onde et de la température) alors qu'avant la courbe divergeait sur la gauche

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Formules avec les quantas

DE=nhnu=n_hw avec _h = h/2pi et w=2pinu

h=~6.63.10-34 Js et _h=~1.05.10-34Js

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Le photon d'Einstein (1905)
etude de l'efffet photoelectrique

La lumiere elle meme a des propriétés quantiques. Pour une lumière de pulsation w et de vecteur d'onde k, le quantum de rayonnement (batisé photon par Lewis en 1926) a une énergie et une impulsion :
E=_hw et p=_hk avec |k|=2pi/lambda
Cette nature granulaire est elle en contradiction avec une equation d'onde qui est continue (Maxwell)
Comment comprendre cette dualité des ptés de la lumière qui peuvent etre a la fois ondulatoire et corpusculaire (exp des fentes d'Young)
Cette dualité existe-t-elle également pour les particules matérielles ?

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L'hypothèse de Louis de Broglie (1923) ("Breuille")

A ttes particules matérielle de masse m et d'impulsion (qte de mvt) p=mv on peut associer une onde de vecteur d'onde k=p/_h soit une longueur d'onde lambda = 2pi/k = 2pi_h/p ou lambda =h/p

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Expérience d'interférences avec des électrons

on envoi des électrons (1 par 1) qui contournent un filament et arrivent sur une plaque.
Avec des memes cond initiales, on a l'arrivé des électrons de façon anarchique avec peu d'électrons, mais avec des dizaines de milliers on reconnait des interférences

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L'effet photoélectrique

Experience, description

Expérience de Heinrich Hertz et Wilhelm Hallwachs (1888) Hertz utilise un électroscope. Il charge la plaque de l'électroscope positivement ou négativement en la frottant a de la peau de chat, il eclaire la plaque de zinc relié a l'électroscope et observe un mouvement des électrodes de l'électroscope. Il recommence en intercalant une plaque de verre entre la lumière et la plaque de zinc

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L'effet photoélectrique, observations et conclusion de l'exp

Observation :
Lorsque l'elec est chargé - puis éclairé, il se décharge: des électrons quittent la plaque
Lorsqu'on intercale la plaque de verre, l'effet cesse
Lorsque l'elec est chargé + puis éclairé, l'élec reste chargé, les charges + retiennent les charges -.
Phénomène quasi-instantané (inf 10-9s)
Conclusion : L'EP dépend de la tension entre métal et l'extérieur (elec chargé + ou -)
de la fréquence de la lumière

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etude quantitative de l'effet photo electrique
On a deux électrodes (cathode et anode) et on établie un tension entre elles grâce a un potentiomètre

Lorsque la lumière frappe la cathode, elle fournit de l'énergie aux électrons qui quittent la cathode et se dirigent vers l'anode. Ceci crée une intensité mesurée par un galvanomètre-ampèremètre sensible aux tres faibles intensité. Considérons un électron quittant la cathode :
SI la tension est positive, il est attiré donc accéléré vers l'anode et forme ds le circuit un courant elec.
Si tension négative : l'elec est freiné, 2 cas possibles :
-Il atteint l'anode et il y a courant elec ds le circuit
-Sa vitesse s'annule avant d'atteindre l'anode et repars vers cathode. Pas de courant.

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Expérience - observation

Métal, intensité lumineuse, longueur d'ondes fixés
Tracé de Courant elec =f(tension)

On peut rendre l'intensité nulle en freinant les elec avec une tension inf a -uo qui est la limite, la tension d'arrêt.
L'intensité elec tend vers un max Imax qd la tension augmente
Entre les deux on observe un phénomène intermédiaire

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Expérience et Observation
Métal et longueur d'onde fixé Tracé d'un réseau courant elec=f(tension) pour différentes intensité lumineuses

La tension d'arrêt ne dépend pas de l'intensité lumineuse
Imax dépend de l'intensité lumineuse

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Expérience et Observation
Métal et intensité lumineuse fixé,

Tracé d'un réseau Courant elec=f(tension pour diff longueurs d'ondes

La tension dépend de la fréquence
Imax dépends de la fréquence

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Expérience et Observation

Métal, longueur d'onde, et tension fixé

Tracé Imax=f(Ilum)

L'intensité de saturation dépend de l'intensité lumineuse, elles sont proportionnelles

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Expérience et Observation
Métal et tension fixé
Tracé d'un réseau de tension d'arrêts = f(fréquence) pour différentes intensités

Il existe une fréquence seuil en dessous de laquelle le métal n'émet aucun électrons, cette fréquence de seuil ne dépens pas de l'intensité lumineuse

**

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Interprétation de l'effet photoélectrique

Einstein interprète l'effet photoélectrique comme une collision entre un photon et un électron du métal. Le photon apporte l'énergie hnu qui sert a extraire l'électron du métal et a donner l'énergie cinétique a l'électron hnu = Eextraction + Ecinétique
Ec est tjrs positive donc l'énergie du photon doit être sup a l'énergie d'extraction, pour qu'il y ait effet photoélectrique
nuseuil = Eextraction/h
hnu sup Extraction : l'électron est extrait et acquiert une énergie suffisante pour rejoindre l'anode

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Tension d'arrêt :

Lorsque u=-u0, les électrons quittent la cathode avec une énergie cinétique Ec et arrivent sur l'anode avec une vitesse nulle, leur Ec s'est annulé. La conservation de l'Em de l'éléc pdt le trajet donne : u0=hnu/e - Eextraction/e = h/e(nu-nus) d'où la pente de h/e dans **
On constate que la tension d'arret est une fonction affine de la fréquence.
La pente de la droite représentative ne dépend pas du métal
Seule l'ordonnée a l'origine, par la fréquence de seuil, en dépend.

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Fonction d'onde et équation de Schrödinger

Fonction d'onde

Tant qu'aucune mesure n'a été effectué, parler de la position d'une particule n'a pas de sens. Tt semble se passer comme si le fait de mesurer la position de la particule semblait lui conférer une réalité.

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Fonction d'onde et équation de Schrödinger

Postulat 1

La description complète de l'état dynamique dans une particule quantique de masse ma a l'instant t dans un ref R se fait au moyen d'une fonction d'onde ksi(M,t) a valeur complexe. La proba de trouver M a l'instant t dans le volume élémentaire dto est dP(M,t)=|ksi(M,t)|²dto=ksi(M,t)ksi*(M,t)dto

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Etat dynamique

Totalité des grandeurs physique qui caractérisent le mvt de la particule dans R.

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Dans le cas d'un pb unidimensionnelle

ksi(M,t)=ksi(x,t) et dP(x,t)=|ksi(x,t)|²dx

Le caractère probabiliste ne résulte pas d'une mauvaise connaissance des conditions initiales, mais fait partie intégrante du formalisme quantique.

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Amplitude de proba et densité de proba de présence

Amplitude de proba : fonction d'onde ksi(M,t)
|ksi(M,t|² = dP(M,t)/dto = densité (volumique) de proba de présence= grandeur réelle accessible a la mesure.
Dans D le domaine de l'espace accessible a la particule, a t la particule est détecté de manière certaine dans D.
int(D)dP=1
Rq ; ksi(M,t) est def a un facteur de phase pres mais puisque la proba en fait le module on est trql

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Principe de superposition

On a deux fentes T1 et T2 ouvertes ou fermées et un ecran, on cherche la proba de trouver la particule a l'instant t sur ds. On def ksi1 et ksi2 associées a T1 et T2. On propose ksi(M,t)=ksi1(M,t)+ksi2(M,t)
kksiksi*=(ksi1+ksi2)(ksi1*+ksi2*) donc dp=dp1+dp2+(ksi1ksi2*+ksi1*ksi2)ds voila le terme d'interférence observé lors de la mesure.

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Postulat 2

Toute combinaison linéaire de fonction d'onde est aussi une fonction d'onde possible.

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Interprétation probabiliste

dP=|ksi(x,t)|²dx représente la proba de trouver la particule sur dx. Pour mesurer |ksi(x,t)|², il faudrait pouvoir répéter a un meme instant t un nombre important de mesures indépendantes de la position dde la particule et dresser un histogramme de valeurs obtenues. On admet qu'il est équivalent de s'intéresser a N particules identiques indépendantes ttes ds le meme état quantique ksi(x,t). A t donné, on relève la position des N particules et on trace l'histogramme.

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Indétermination

On a l'histogramme (nbr de particules en ordonnée, x en abscisse, des batons)

On a le graphe |ksi(x,t)|² en ordonnée et x en abscisse, courbe)

On a l'histogramme (nbr de particules en ordonnée, x en abscisse, des batons) on détermine la valeur moyenne (x) = somxi/N
ecart type : Dx=amplitude de fluctuation statistique autour de la valeur moyenne, Dx=( (x²) - (x)² )^1/2 avec (x²)=somxi²/N
Pour |ksi(x,t)|² on def valeur moyenne (x)=int(-8,8)x|ksi(x,t)|²dx = int(-8,8)xdP et Dx = indétermination de la position = ( (x²)-(x)²)^1/2 ac (x²)=int(-8,8)x²dP

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Def - Indétermination de qté de mvt

Dpx = ( (px²) -(px)² )^1/2 avec (px)=int(-8,8)pxdP(x,t) et (px²)=int(-8,8)px²dP(x,t)

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Inégalité de Heisenberg (1927)
Principe d'indétermination de Heisenberg

La mesure a l'instant t de la position x et de l'impulsion px (qté de mvt) présente des indéterminations fondamentales Dx, et Dpx tq DxDpx sup _h/2 : On ne peut pas gagner en précision sur la position sans perdre en certitude sur l'impulsion au même instant.

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Equation de Schrödinger

On s'intéresse au mvt d'une particule quantique de masse m sans spin ds un référentiel R. La particule est en interaction avec d'autres système physique ce que l'on traduit par une énergie potentiel V(M,t) appelée potentiel par abus de langage. L'équation de Schrödinger décrit l'évolution de la fonction ds l'espace et le temps.
i_h drondKsi(M,t)/drondt = -_h²/2m Dksi(M,t)+V(M,t)Ksi(x,t)
et _h=h/2pi = 1,05.10-34JS

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Ds le cadre du programme, on est limité a une fonction d'onde spatialement unidimensionnelle dans un potentiel indépendant du temps.
Que devient l'équation de Schrödinger

i-h drondksi(x,t)/drondt = -_h²/2m drond²ksi(x,t)/drondx² + V(x)ksi(x,t)

RQ: La linéarité de (*) est cohérent avec la superposition possible des fonctions d'ondes
RQ : V(X) rpz energie potentiel
-_h²/2mdrond²/drondx² rpz l'énergie cinétique
i_hdrond/drond t rpz l'energie totale

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Etat stationnaire et équation de Schrödinger

Jusqu'à l'expression de ksi(x,t) (equation temporelle résolu)

On appelel état stationnaire tt état caractérisé par ksi(x,t)=f(t)phi(x)
L'équation de S devient i_hphi(x) df(t)/dt = -_h²/2mf(t) d²phi(x)/dx² + V(x)f(t)phi(x) donc
i_h 1/f(t) df(t)/dt = -_h²/2m 1/phi(x) d²phi(x)/dx² +V(x) = E car =cste et homogène a une énergie.
D'apres l'ETemporel, f(t)=f(0)exp( -i(E/_h)t ) et on choisit f(0)=1 car le module de ksi se trouve ds phi(x) aussi.