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Flashcards in Transfert thermiques Deck (43):
1

I/ Mode de transfert thermique
a) conduction thermique

Transfert d'energie a travers un milieu matériel (solide ou fluide) dans déplacement macroscopique de matière. Ce transfert d'énergie est dû a l'agitation thermique des particules microscopiques (atome ou molécules) existant dans le matériaux. Au cours des chocs qui en résultent, les particules des zones chaudes cèdent des de proche en proche de l'énergie aux particules des zones froides
ex: murs maison, fond d'ne casserole

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Mode de transfert thermique
b)convection thermique

TT du a un déplacement de matière, un fluide en mouvement transporte avec lui son énergie interne. Il y a deux types de convection. Convection naturelle et convection forcée.
On parle de conducto-conduction a l'interface fluide/solide

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Mode de transfert thermique
b)convection thermique
i)convection naturelle

Mouvement spontané du fluide, du fait de l'inégalité de température. Ex : chauffage par le sol dans une pièce, eau chauffé dans une casserole)

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Mode de transfert thermique
b)convection thermique
ii)convection forcée

Le mouvement est provoqué, par une cause extérieur
ex : refroidissement des composants d'un ordinateur par un ventilateur

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Mode de transfert thermique
c) rayonnement thermique

C'est un transfert d'énergie par l'intermédiaire d'un champ électromagnétique, a travers un milieu transparent. (rayonnement infrarouge)

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II/ Loi de Fourier
1)Flux thermique, ptés

La présence dans un milieu matériel sans mouvement macroscopique d'une inhomogénéité de température fait apparaître un TT par conduction qui possède les ptés suivantes ;
P1 : Le TT s'effectue des zones les plus chaudes vers les plus froides.
P2: Le TT est proportionnel à la surface a travers laquelle on évalue la puissance diffusée.
P3: Le TT croît linéairement avec la pente de la variation spatiale de la température.

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II/ Loi de Fourier
1)Flux thermique, expression

Flux thermique en Watt. Puissance thermique qui traverse une surface sigma pdt dt.
delta Q = Ødt en Joule
On définit le vecteur densité de flux thermique de conduction jq en W.m^-2 tq
Ø=DoubleIntegrale(sigma) jq(p).dS(P)
Ø prop a la surface donc delta Q aussi

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II/ Loi de Fourier
2) Loi de Fourier

jq=-@grad(T) avec @ = lambda = conductivité thermique
du matériau sup 0. en W.m-2 / K.m-1 = W.K-1m-1
En cartésiennes : grad(T(x))=dT/dx ux (jq est proportionnel a la pente de la variation spatiale de T donc Ø est deltaQ aussi. on retrouve TT du chaud vers froid.

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III/ Situation unidimensionnelle axiale T(z,t)
Equation de la diffusion thermique AVEC terme de source
Description + 1er principe

On a un cylindre métallique
de masse volumique mu
de capacité thermique c
Un tranche S=pia²
On considère une portion entre z et z+dz
1er principe appliqué a dto = Sdz entre t et t+dt
dU+deltaQ+deltaW

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III/ Situation unidimensionnelle axiale T(z,t)
Equation de la diffusion thermique SANS terme de source
Expression de chacun des termes du premier principe

dU=dmcdT=muSdzcdT=muSdzdrondT/drondt dt
deltaW=0
deltaQ= Øedt-Øsdt
jq=-@grad(T)=-@drondT/drondz uz (jq(z,t))
Øe=Ø(z)=DoubleIntégrale(PdeS)jq.dS=jq(z)S
Øs=Ø(z+dz)=jq(z+dz)S
deltaQ=Sdt[jq(z)-jq(z+dz)]=-Sdt drondjq/drondz dz
=@S dt drond²T/drondz² dz donc
mucSdzdtd drondT/drondt = @Sdtdz drond²T/drondz²
ie drondT/drondt = @/muc drond²T/drondz²
On pose D=@/muc = diffusité thermique en m²s-1

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III/ Situation unidimensionnelle axiale T(z,t)
Equation de la diffusion thermique AVEC terme de source
Description + 1er principe

On suppose qu'au seins du barreau cylindrique il y a création d'énergie et on note pv (W.m-3) la puissance volumique associée a cette création d'énergie.
1 er principe appliqué à z et z+dz entre t et t+dt
dU = delta Q + delta W

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III/ Situation unidimensionnelle axiale T(z,t)
Equation de la diffusion thermique AVEC terme de source
Expression de chacun des termes du premier principe

dU=dm c dT = mu c dz dt drond T/drond t
delta W=0
delta Q = deltaQconduction + deltaQcréation=
@Sdzdt drond²T/drondz² + pvSdzdt
Le premier principe nous donne
mu c dz dt drond T/ drond t = @Sdzdt drond²T/drondz² + pvSdzdt
ie mu c drond T/drondt = @drond²T/drondz² + pv
ie drondT/drondt = @/muc drond²T/drondz² + pv/muc

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III/ Situation unidimensionnelle axiale T(z,t)
Equation de la diffusion thermique SANS terme de source
COMMENTAIRE SUR L'EQUATION DE LA DIFFUSION

drondT/drondt = @/mu c drond²T/drondz²
Si To l'ordre de grandeur de la temperature
Si to le temps caractéristique de l'étude
So L la longueur caracteristique de l'étude
To/to ~@/mu c To/L² donc to~muc/@ L² donc L~(Dto)^1/2
L est d'autant plus grand que D est grand. L prop a to^/2 pour passer de L a 10L il faut passer de to a 100to

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III/ Situation unidimensionnelle axiale T(z,t)
4/Cas du régime stationnaire permanent

T(z,t)=T(z) On applique tjrs au meme système le premier principe a dto=Sdz entre t et t+dt
dU=u(t+dt)-U(t) = 0 et deltaW=0 (V=cste)
Donc delta Q = 0 ie Øe(z)=Øs(z+dz)=Ø

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III/ Situation unidimensionnelle axiale T(z,t)
4/Cas du régime stationnaire permanent
a)Profil de temperature ( T(z) )

On a Ø=cste =jqS=-@SdrondT/drondz
drondT
donc dT/dz = A ie T(z)=Az+B
On a To=B et TL=AL+B donc T(z)=(TL-To)/L z + To
Courbe : pente droite
Rq : on obtient la meme en considerant :
drondT/drondt = @/mu c drond²T/drondz² = 0

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III/ Situation unidimensionnelle axiale T(z,t)
4/Cas du régime stationnaire permanent
b) Notion de résistance thermique

Ø=-@S dT/dz donc dT = -Ødz/@S (séparation des variables)
On intègre entre le début et la fin du cylindre :
TL-To=-ØL/@S
donc To-TL=L/@S Ø = Rth Ø avec Rth en K.W-1

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En régime stationnaire, analogie éléctrique

D'abord thermo puis elec
Densité de courant : jq=-@gradT, j=-gammadradV
conductivité : @, gamma
flux : Ø=DoubleIntegrale(PdeS)jq(P).dS(P), I=DoubleIntégrale(PdeS)j(P).dS(P)
Loi d'Ohm : DT=RthØ, DV=U=RI
Résistance : Rth, R=L/gammaS

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Association de résistances

Si on commence par 1 plaque P1 d'epaisseur e1 de conductivite @1 de surface S. Tint avant, Text apres.
Rth=e1/@1S et Tint-Text=Ø1Rth donc Ø1=(Tint-Text)/Rth
On accole 2 plaques P2 et P3.
On a le circuit série equivalent. En sortie Text, en entrée Tint. Donc Rth=Rth1+Rth2+Rth3
Ø'=(Tint-Text)/Rth inf Ø

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Association parallèle de résistances

On les accole sur le coté et non sur leur face.
P1 : S1, @1 et P2: S2,@2
Circuit équivalent: circuit de 2 résistances en parallèles.
Ainsi Ø=Ø1+Ø2=(Tint-Text)/Rth1 + (Tint-Text)/Rth2 =(Tint-Text)/Rth avec 1/Rth = 1/Rth1 + 1/Rth2

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V/ Autre profil de température :
1)T(r) en coordonnées cylindriques
a) Description

On a une gaine, en dehors Fluide a T2, premiere couche de masse volumique mu, de conductivité @, de capacité thermique massique c, puis a l'intérieur un fluide a T1

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V/ Autre profil de température :
1)T(r) en coordonnées cylindriques
b) Jusqu'au 1er principe

Hypothèse: RP donc T(r,theta,z,t)=T(r,theta,z)
Par symétrie de révolution autour de Oz, et par invariance par translation selon Oz (Ou pas d'effets de bord) on a T(r,theta,z,t)=T(r)
On considère le volume dto de longueur L entre r et r+dr

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V/ Autre profil de température :
1)T(r) en coordonnées cylindriques
b) 1er principe:

On applique le premier principe au système de longueur L entre r et r+dr entre t et t+dt
dU=U(t+dt)-U(t)=0 RP
delta W = 0 (V=cste)
deltaQ=0 donc Øe(r)=Øs(r+dr)=Ø=cste
On a jq=-@ dT/dz ur et Ø(r)=jq(r)S(r)=cste
Ø=-@dT/dr 2pirL. Séparation var. dT=-Ø/2piL@ dr/r
On intègre entre 1 et 2 d'où T2-T1=-Ø/2piL@ ln(r2/r1)
Donc T1-T2 = Ø ln(r2/r1)/2pi@L =ØRth

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V/ Autre profil de température :
1)T(r) en coordonnées cylindriques
Obtention de T(r)

Si on souhaite T(r), on repart de dT=-Ø/2pi@L dr/r et on intègre entre 1 et r: T(r)-T1 = -Ø/2pi@L ln(r/r1)
donc T(r) =T1 - (T1-T2)ln(r/r1)/ln(r2/r1)

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V/ Autre profil de température :
1)T(r,t) en coordonnées cylindriques

dU=deltaQ+deltaWext entre t et t+dt a dto le volume de longueur L entre r et r+dr
du = dm c dT = mu 2pirLdrc drondT/drondt dt
deltaW=0 et deltaQ=2pi@Ldrond/drond r( rdrondT/drondr) dr dt
donc drondT/drondt = @/mucr drond/drond r (rdrondT/drondr))
Rq: si on se place en RP, on retrouve T(r)=Aln(r) + B

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Généralisation a un problème 3D de la recherche de l'équation vérifié par T

Introduction, premier principe et calcul de deltaQ

1er principe a tt un volume V entre t et t+dt.
U(t+dt)-U(t)=delta Q +deltaw (=0)
deltaQ=deltaQconduction + deltaQ creation =
deltaQconduction=-Øsdt=-dt DoubleIntegrale jq(P).dS(P) = -dt TripleIntégrale div(jq(P)).dtoP
deltaQcréation=dtTripleIntégrale(pv(P).dtoP)
deltaQ=dt TripleIntégrale (-div(Jq(P))+pv(P)).dtp(P)

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Généralisation a un problème 3D de la recherche de l'équation vérifié par T

Calcul de dU et conclusion

dU=tripleIntégrale dU.dTo(P)=tripleIntégrale mu dto(P) c dT =tripleIntégrale mu c dto(P) drondT/drondt dt = dt tripleIntégrale mu c dto(P) drondT/drondt

d'où mu c drondT/drondt = -div(jq) + pv et div(grad)=Laplacien d'où
mucdrondT/drondt=@LaplacienT + pv eq de la diffusion généralisé a un pb 3D

On retrouve toutes nos équations a partir de celle ci

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T(r,t) en coordonnées sphériques

on considère dto = coquille entre r et r+dr. On y applique le 1er principe entre t et t+dt
dU=mu 4 pi r² dr c dT= 4pimur²dr cdrondT/drondtdt
deltaQ=Ø(r)dt-Ø(r+dt)dt=-drondØ/drondr dr dt = -drond/drondr (jqS) dr dt = 4pi@ dt dr drond/drondr (r² drondT/drondr)
donc mur²c drondT/drondt = @drond/drondr (r²drondT/drondr)

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T(r,t) en coordonnées sphériques
on a
mur²c drondT/drondt = @drond/drondr (r²drondT/drondr)
REMARQUE

en RP
drond/drondr (r²drondT/drondr) =0 ie drondT/drondr =A/r² ie
T(r)=-A/r + B

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Conducto-convection- Loi de Newton

Contexte

Pb unidimensionnelle donc invariance par translation selon y et z (surface de contacte infini)
on a une surface, en bas un solide, dont la surface est a Tp et en haut un fluide a Tf (x ascendant)
Tsolide(0)=Tp(aroi)
On regarde le graphe T en fonction de x, on a vers 0, Tp sup Tf et il rejoint Tf
au vois paroi, fluide considéré immobile est siège TT de nature conductive

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Conducto-convection- Loi de Newton

LOI DE NEWTON

Øcc = hS(Tp-Tf)

Si Tp sup Tf, Øcc sup 0 etc..
h coef de Newton en W.m-2.K-1
h solide/liquide sup 100 W.m-2.K-1
h solide/gaz ~ 10 W.m-2.K-1
On peut def Rcc = resistance de conducto-convection = 1/hS

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Conducto-convection/Exemple

Ailette de refroidissement-Contexte

on a un boitier B, une ailette (barreau(mu,c,@)) de longueur L et de rayon a. Exterieur a T=Ta et B a T=Tb
On est en RP et on suppose que ds le barreau T(x)

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Conducto-convection/Exemple

Ailette de refroidissement-1 er principe

on applique le 1er P a dto=dxS entre t et t+dt
deltaQ=0 (RP pour un solide)
deltaQ=Øecdt-Øscdt-Øcc dt = 0
jq(x)pia² - jq(x+dx)pia²-h2piadx(T-Ta)=0 donc
-pia²djq/dx dx - h2piadx(T-Ta)=0 donc
a@d²T/dx² = h2T - h2Ta donc
d²T/dx² -2h/a@ T = -2h/a@Ta on pose #=(a@/2h) en m

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Conducto-convection/Exemple

Ailette de refroidissement
Résolution de
d²T/dx² -2h/a@ T = -2h/a@Ta on pose #=(a@/2h) en m

donc d²T/dx² - T/#² = -Ta/#²
T(x)=Aexp(-x/#) + Bexp(x/#) + Ta (grace a eq)
cond limites :
T(0)=A + B + Ta =Tb
lim (x,8) T(x) =+8 impossible donc B=0 et A=Tb-Ta
T(x)=(Tb-Ta)exp(-x/#) + Ta

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Vérification de l'efficacité de l'ailette

Sans ailette :
Øboite a air = pia²h(Tb-Ta)
Avec Ailette :
Øboite a air = integrale(0,L(8)) h2piadx(T-Ta)=2hpia integrale(0,8) (Tb-Ta)exp(-x/#)dx =2piha(Tb-Ta)[-#exp(-x/#)](0,8)=2piha(Tb-Ta)#
Øavec/Øsans = 2#/a = (2@/ah)^1/2

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Onde thermiques
Description du problème

On a l'atmosphère en haut et le sol en bas de l'axe z (z=0 a la frontière). Sol (mu, @, c)
pas de terme de prod d'energie
Modélisation de la variation temporelle de Tair(t) par
Tair(t)=To+thêtao(cos(wt))
Variation journaliere : T=1j=24h
Variation annuelle : T=365j ...

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Ondes thermiques, mise en équation

On considère le cylindre dans la terre de longueur dz et de rayon a.
dU=dmcdT=mucpia²dzdrondT/drondtdt
deltaQ=(Ø(z)-Ø(z+dz))dt=-drondØ(z)/drondzdzdt=@Sdzdtdrond²T/drondz²
Donc drondT/drondt = @/muc drond²T/drondz²

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Ondes thermiques, résolution de
drondT/drondt = @/muc drond²T/drondz² soit
drondT/drondt = D drond²T/drondz²

On cherche T(z,t) = To + thêtao(z,t) avec thêta(z,t)=f(z)eiwt
en injectant thête ds l'eq on a
d²f(z)/dz²- iw/D f(z) = 0 or i=(eipi/4)²=(w/2D)^1/2(1+i) d'où
d²f(z)/dz² - ( (w/D)^1/2 eipi/4 )² f(z) =0
donc f(z)=alpha exp(((w/2D)^1/2(1+i)z) + beta exp(-(w/2D)^1/2(1+i)z)

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Ondes thermiques, résolution de
drondT/drondt = @/muc drond²T/drondz² soit
drondT/drondt = D drond²T/drondz²

Détermination de f

Donc thêta(z,t)=alpha exp((w/2D)^1/2 z)exp i(wt+(W/2D)^1/2 z) + beta exp(-(w/2D)^1/2 z)exp i(wt-(W/2D)^1/2 z)
Finalement T(z,t)=To+alpha exp((w/2D)^1/2z)cos(wt+(W/2D)^1/2z) + beta exp(-(w/2D)^1/2z)cos(wt-(W/2D)^1/2z)
pas de divergence de temperature donc alpha = 0
De plus T(0,t)=To+beta cos(wt) = Tair(t) donc beta = thêtao
Ainsi : T(z,t)=To + thêta e(-(W/2D)^1/2 z) cos(wt-(W/2D)^1/2 z)

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Ondes thermiques :
Commentaire sur l'expressions T(z,t)

T(z,t)=To + thêta e(-(W/2D)^1/2 z) cos(wt-(W/2D)^1/2 z)

Onde progressive grace au cos
Décroissance exponentielle de l'amplitude avec z en -z/# avec #=(2D/W)^1/2
si z supppp #alors T(z,t)=To

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Rq a propos de la resolution de
drondT/drondt = D drond²T/drondz²

On peut résoudre ça avec un maillage de l'espace en abscisse et du temps en ordonnée
On fait Taylor Young et on obtient

Ti+1,j - Ti,j / pas de tps = D/pas de temps² (Ti,j+1 + Ti,j-1 -2Ti,j)

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Irréversibilité

équation de la chaleur : drondT/drondt = @/muc drond²T/drondz²
Second principe a dto entre t et t+dt, ds=deltaSe+deltaSc
dU=TdS-PdV dS=dU/T = mucSdzdt/T drondT/drondt
deltaSe=deltaQe/Te -deltaQs/Ts = (jq(z)Se/Te - jq(z+dz)Ss/Ts)dt=-drond(jqS/T)/drondz dzdt=@Sdzdt drond/drondz(1/T drondT/drondz))=@Sdzdt(-1/T²(drondT/drondz)²+1/Tdrond²T/drondz²)
donc deltaSc=Sdzdt(muc/TdrondT/drondt + @/T²(drondT/drondz)²-@/Tdrond²T/drondz²)
DeltaSc=Sdzdt@/T²(drondT/drondz)² sup 0 irreversible

42

Expliqué le signe moins de la loi de Fourier

On a j=-grad(T)

j le vecteur densité de flux thermique est dirigé ds le sens des températures décroissantes conformément au deuxième principe

43

Les lignes de flux sont des courbes tangentes, en chaque instant, au vecteur densité de surface de flux thermique j. Montrer que les lignes de sont perpendiculaires aux isothermes

On prend dl un élément de longueur d'une isotherme.
On a dT=grad(T).dl=0 en multipliant par -@ on a j.dl=0