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Flashcards in Optique Geometrique ☄🌈💎🔦💡🔭🔬 Deck (108):
1

Principe de retour inverse de la lumiere

Le trajet decrit par le rayon lumineux ne depend pas du sens de parcours dans un milieu homogene, la lumiere se propage en ligne droite

2

Les lois de Snell-Descartes

Contexte

Les lois de l'optique geometrique expriment cht de direction par reflexion ou refraction d'un rayon lumineux rectiligne a la traversé d'un dioptre separant deux milieux transparants d'indices n1 et n2

3

Propriété des lois de Snell-Descartes

-Les R reflechis et refractés € plan d'incidence def par le R incident et la normale au dioptre au point de contact (I,N)
-les angles d'incidence et de reflexion sont egaux en valer absolue (angle compté par rapport normale au dioptre)
-les R incidents et refractés sont tq n1sin(i1)=n2sin(i2)

4

Les trois systemes possibles avec les rayons associés

-Ds systeme dioptrique, les R ne subissent que des refractions
-Ds systeme catadioptrique, les R subissent des réfléxions et des refractions
-Ds syst centré, il existe un axe de symetrie commun aux dioptres ou miroirs du syst
Sens conventionnelle propa lumiere : gauche vers droite

5

Les deux conditions pour former une image par un S optique

-Stigmatisme (rigoureux) entre A et A' dit pt conjugués si tt rayon issu de A passe par A' (Reel ou Virt) apres traversé S optique
-Aplanétisme (pour S centrés) :
S applanetique si A'B' d'un obj AB plan situé ds plan de front est aussi plane perpendiculaire a 🔺

6

Conditionsde Gauss :

Aplanetisme et stigmatisme rigoureux, tres severe et en fait realisé que par miroir plan
Donc cond gauss se contente : Apla et stig approché. Ces conds supposent :
Des rayons peu inclinés sur axe optique (moins 15°) pour avoir alpha=sin(alpha)=tan(alpha) si alpha en RADIANS
Prendre des objets de hauteur faibles par rapport aux rayons de courbure des dipotres
=optique paraxiale

7

Les elts remarquables des S centrés :
C'est quoi S centré
Centre optique
Foyer principaux

S centré = S invariant par rotation autour de l'axe optique
Centre optique : pt d'intersection ac 🔺d'un rayon non devié par S
Foyer principal image F': pt image € 🔺d'un pt objet a l'infini sur 🔺
Foyer proncipal objet F: pt €🔺donnant un pt img a l'infini sur 🔺
Un S est afocal si F et F' sont a l'infini

8

Plan focaux :

Foyer secondaire :

Plan focal image : plan de front (ie ortho a🔺) contenant le foyer principal image F'
Plan focal objet : plan de front (ie ortho a🔺) contenant le foyer principal objet F
Foyer secondaire :
On apl foyer second image (objet) tt pt hors 🔺du pla focal image(objet)

9

Principe de constructions en optique de Gauss aka optique paraxiale

-les R emergents et incidente sont confondus s'ils passent par O
-tt R incident 🍿🔺emerge en passant reel ou virt par foyer principal img F'
-Tt rayon passant reel ou virt par foyer principal obj F emerge 🍿🔺
-en optique de G: img d'un obj plan est plan
-img faisceau incident de R 🍿 entre eux mais incliné par rapport 🔺est situé ds plan focal img, hors de 🔺
-img faisceau divergent issu d'un pt obj hors de 🔺situé ds pla focal obj est rejetée a l'infini hors de 🔺(donc donnant faisceau de R 🍿entre eux mais incliné par rapport 🔺)

10

Focale et vergence d'une lentille mince

On appelle f'=OF' la distance focale img et f=OF la distance focale objet. On a f=-f'
On appelle vergence d'une lentille V=1/f'. Pour LC v sup 0 et LD V inf 0

11

Relations de conjugaisons et de grandissement

Relations de Newton avec origine aux foyers

Formule de conjugaison :

FA.F'A'= -f'²

Formule de grandissement :

Gamma = A'B'/AB = f/FA = - F'A'/f'

12

Un milieu transparant est caracterisé par

Son ondice de regraction n=c/v avec c celerité de la lumiere ds le vide et v la vitesse de la lumiere ds le milieu

13

Relation de conjugaison et de grandissement

Relation de Descartes avec origine au centre

Formule de conjugaison :

1/OA' - 1/OA = 1/f'

Relation de grandissement :

Gamma = A'B'/AB = OA'/OA

14

Lentilles accolées :

En optique paraxiale, l'asso de deux lentilles minces accolées et de meme axe de vergence V1 et V1 est equivalente a une seule lentille mince de vergence V= V1+V2

15

Oeil, organe recepteur :

Un oeil normal voit nettement des objets situés au dela de 25cm (ponctum proximum) et jusqu'a l'infini (ponctum remotum). On parle de vision sans accomodation si l'oeil observe des objets situés a l'infini

16

Loupe principe

Objet a distance finie situé ds plan focal obj passe a travert LC et prod une image a l'infinie : Oeil observant sans accomoder
On def grossissement commerciale

17

Microscope ou viseur

AB a distance finie masse par L1 (objectif) image A'B' intermediaire ds plan focal obj de L2 puis L2 (occulaire) puis img A''B'' a l'infini Oeil observant sans accomoder
On def la puissance P=alpha/AB

18

Lunette astronomique

AB a l'infini passe par L1 (objectif) puis A'B' intermediaire ds plan focal img de L1 et plan focal objet de L2 puis L2 (occulaire) puis img A''B'' a l'infini (oeil observe sans accomoder)

19

Definition - vibration lumineuse

C'est une des composante quelconque du champ electrique par rapport a un axe perpendiculaire a la direction de propagation : elle est notée S(M,t)

20

Theoreme de superposition :

Si plusieurs vibrations si(M,t) se propagent simultanement dans l'espace, chacune se propage comme si elle etait seule et la vibration en M a l'instant t est s(M,t)=som si(M,t)
Resulte de la linearité des equations de Maxwell
Pour pouvoir additionner les vibrations lumineuses il faut que les plans d'ondes en M soient voisins ie direction de propa ui fassent de petits angles entre elles

21

Dans le cas d'une onde monochromatique, quelle est la forme de l'onde ?

S(M,t)=A(M)cos(wt-phi(M)) A(M) amplitude de l'onde en M
Phi(M) retard de phase en M
w pulsation de l'onde ac w=2pic/lambda avec lambda la monguur d'onde dans le vide
_s(M,t)=_A(M)ei(wt)

22

Longueur d'onde
Violet
Rouge

400
750

23

Par quoi sont caracterisé les recepteurs

Le temps de reponse to, temps minimum qui doit separer deux signaux pour qu'ils soient perçus individuellement.
Oeil 0,1s
Photodiode 10^-6 s

24

Periodes temporelles des vibrations lumineuses

Elles sont generalement de l'ordre de 10^-15 s

25

Eclairement et intensité lumineuse

Il est inutile de receuillir direct la vibration lumineuse puisque (cos) = 0 donc
Tous les detecteurs de lumiere sont quadratiques, sensibles ainsi a la puissance moyenne rayonnée par l'onde, elles-meme proportionnelle a (s²(M,t))

26

Def eclairement

On appelle eclairement noté E la puissance lumineuse surfacique moyenne recu par une suface exprimé en W.m-2 E(M)=K(s²(M,t))t K=1

Ds la suite, la valeur de K ne sera pas utilisér parce que l'E sera tjrs interprété par rapport a un eclairement de reference. Ds ce cas il est equivalent de travailler ac l'intensité vibratoire I(M)=(s²(M,t)

27

I(M) dans le cas d'une onde monochromatique

I(M)=(s²)t=(A²(M)cos(wt-phi(M))t=1/2A²(M)=1/2s.s*=1/2|s|²=1/2|A|²=(s²(M,t))t

Car ss*=A(M)exp(jphi)exp(-jwt)A(M)exp(-jphi)exp(jw)=A(M)²

28

Onde et rayon lumineux

Les rayons lumineux de l'optique geometrique sont, en tt point, tangents a la direction de propagation de l'onde.

29

Propagation d'une onde monochromatique dans un milieu transparent homogene

Demo

On a une onde mumineuse monochromatique se propageant ds un milieu homogene transparent d'indice n a la vitesse v=c/n dans la direction u.
Vibration de l'onde en 0 a t
s(0,t)=A(0)cos(wt-phi(0))
Vibration a l'instant t en M
s(M,t)=A(M)cos(wt-phi(M)) c'est la meme qu'en 0 a t-tom=t-nOM/c
Donc s(M,t)=GA(0)cos(wt-(phi(0)+nwOM/c)) de la on obtient
A(M)=GA(0)
phi(M)=phi(0)+nwOM/c(=2pi nOM/lambda)

30

Propagation d'une onde monochromatique dans un mimieu transparent homogene

Resultat

Phi(M)-phi(0)=2pi/lambda nOM = 2pi/lambda (OM) avec (OM) le chemin optique entre 0 et M
Le chemin optique le long d'un rayon lumineux est egal a la longueur du rayon multiplié par l'indice du milieu transparent homogene qu'il traverse

31

Propagation d'une onde monochromatique dans une suite de mimieux transparents homogenes

On admet la continuité de la phase lors de la refraction (en effet, il y a continuité des amplitudes du champ elec a la traversé d'un dioptre, on le sait grace aux relations de passage)
Ainsi phi(M) = phi(0) + 2pi/lambda [ (OI) + (IJ) + (JM) ]

32

Chemin optique et dephasage

Ds le cas general, l'indice peut varier de facon continue et le rayon est courbe.
(AB)=int(A,B)n(M)dln en m
Pour une onde monochromatique de longueur d'onde lambda ds le vide la diff de phase entre A et B est phi(B) -phi(A) = 2pi/lambda (AB)

33

Remarque a propos du chemin optique et dephasage
Rq1: miroir plan
Rq2: angle limite

On a une reflexion sur un miroir plan, phi(B) = phi(A) +2pi/lambda[(AI) + (IB)] + pi
Pi: Dephasage introduit par la reflexion(sur conducteur parfait l'amplitude complexe du chp reflechie est opposé a celle du chp incident)
Rq2: on a pas le terme pi lorsque ca n'est pas miroir mais i superieur a ilimite et n1 sup n2 (cas de reflexion)

34

Definition - Surface d'onde

Soit S une source ponctuelle. On appelle surface d'onde relative a S, l'ensemble des points M de l'espace tels que (SM)=cste il s'agit aussi d'une surface equiphase car phi(M)=cste. C'est l'ensemble des points M atteints en meme temps par l'onde issue de S. La vibration a la meme valeur en tt points d'une surface d'onde.

35

Theoreme de Malus

Les surfaces d'onde relatives au point source D sont orthogonales aux rayons lumineux issus de S

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Onde spherique dans un milieu transparent homogene

On a s(M,t)=s(r,t) verifie
🔺s-1/c²drond²s/drondt²=0 qui admet pour solution s(M,t)=f(t-r/v)/r + g(t+r/v)/r
Premier terme caracterise une onde qui se propage selon +ur a la vitesse v=c/n

37

Surface d'onde pour les ondes spherique monochromatique divergente issue de S :

s(M,t) = Acos(wt-wr/v-phi(s))/r donc s(M,t)=cste a t fixé pour r=cste ie les surface d'onde sont les spheres de rayon r
Rq : en posant k=kur = 2pin/lambda ur vecteur d'onde on a s(M,t)=Acos(wt-k.r-phi(S))/r on pose pour le reste so=A/r
Donc s(M,t)=socos(wt-phi(M)) avec phi(M)=phi(S)+2pi/lambda (SM) = phi(S) + k.r

38

Onde plane

Une onde plane est une onde ayant les caracteristiques suivantes : les rayons lumineux sont des droites paralleles entre elles. Les surfaces d'onde sont les plans paralleles entre eux appelés plans d'onde

39

Rq a propos des ondes planes et onde spherique

On ne sait faire des calculs que sur des ondes planes, donc on s'y ramene:
Tres loin de S, les ondes sont localement des ondes planes
Ou alors on fait passer les rayons de l'onde spherique dans une LC

40

La vibration associé a une onde plane monochromatique

s(M,t)=s0cos(wt-phi(M)) avec phi(M) = phi(0) + k.OM

O etant un point d'origine quelconque

41

Lentille mince dans l'approximation de Gauss

S une source ponctuelle placé en F emmet une onde spherique.
Les surfaces d'onde (sphere) sont ortho aux rayons lumineux (th Malus). Les R lumineux sortent 🍿 a 🔺(opt geometrique). Les surfaces d'ondes sont ortho aux rayonx lumineux (Malus) ce sont des plan d'onde: ONDE PLANE.
S point objet. M point image. (SM) independent du rayon choisi
Si S est sur plan focal obj, meme chose (on trace le rayon qui passe par 0 et les autres R emergents sont 🍿 a lui)

42

Lentille mince ds lnapprox de Gauss, cas ou S est quelconque pas sur le plan focal objet :

Lorsque deux points S et S' sont conjugué par un SO, le chemin optique (SS') est independent du rayon choisit.
A la sortie de la lentille, on a une image en S' mais les plans d'onde sont des spheres

43

Emisison de lumiere
Modele du train d'onde
Contexte

Ds une assemblée d'atomes excités tous identiques, il est rigoureusement impossible de predire a quel instant l'emission d'un d'entre eux, designé, va se produire. Seule prediction precise est celle d'une proba d'emission ou celle de la duree de vie du niveau d'energie

44

Modele du train d'onde
💗

Les atomes d'une source lumineuse emettent des impulsions de radiation d'une durée 🔺t=toc appelé temps de cohérence (toc = 10-19s typiquement). Chaque train d'onde contient typiquement N oscillations de periode T (typiquement N=10^4 et T=10^-14s)(N=toc/T=10^4)
Chaque impulsion d'un seul atome est constituée d'un train d'onde quasimonochromatique possédant une amplitude et une phase a l'émission données. L'amplitude et la phase a l'emission sont des grandeurs qui varient aleatoirement d'un train d'onde a l'autre.

45

Fourier

La theorie de Fourier permet de passer du signal f(t) associé au train d'onde a sa representation spectrale par f(mu)=int(-8,+8)f(t)exp(-i2pivt)dt

La largeur spectrale 🔺v et le temps de cohérence sont (ou durée du train d'onde 🔺t) verifient 🔺v.toc~=1

v=c/lambda d'ou dv=-c/lambda²dlambda soit 🔺lambda=lambdam²/c 🔺v = lambdam²/ctoc

46

Definition - longueur de cohérence

On appelle longueur de cohérence la distance que parcourt la lumiere dans le vide pendant la durée d'un train d'onde : lc=c.toc
A un instant donné le train d'onde a une extension spatiale de lc dans sa direction de propagation

47

Ordre de grandeur
lc pour la lumiere blanche:
lc pour le laser He-Ne:

0,9 micrometre =0,9.10^-6m
400m

Donc interference lumiere blanche compliqué

48

Lorsque un recepteur recoit l'onde

On a toc inffff to le temps de reponse du recepteur donc celui ci realise un moyennage temporel sur plusieurs trains d'onde emis par plusieurs atomes.
Pour une onde mono: s(M,t)=A(M)cos(wt-phi(S)-2pi/lambda (SM)) ac A(M) representant la moyenne des amplitudes des differents trains d'onde et phi(S) le retard de phase a l'emission qui peut prendre toutes les valeurs possibles entre 0 et 2pi et qui change de valeur au bout de toc

49

Emission spontanée

Lorsqu'un aime se trouve ds etat excité d'energie En (ie hors de son etat fondamental, de moindre energie) il finit par se desexciter vers un etat de plus basse energie Ep en emettant photon. Energie dispo (En-Ep) est emporté par un photon dont la freq nu est donnée par En-Ep=hnu=hc/lambda lambda la longueur d'onde de la radiation emise et h cste de Planck.
Photon part vers n'importe quelle direction

50

Emission stimulée : les laser

Si un photon d'une energie egale a celle des photons emis lors d'un processus d'emission spontanée rencontre un atome excité, il provoque desexcitation de celui ci donc emission d'un autre photon. C'est sur ce phenomene que repose principe laser. Une particule (atome, molecule, ion) excitée emet photon grace a stimulation que provoque l'arrivée d'un photon de meme energie que celui qu'il pourrait potentiellement emettre.
Emission spontannée agit comme une duplication de lumiere

51

Definition - Interference

On s'interesse a la superposition en M de plusieurs ondes lumineuses (2 ds ce chapitre) il y a interference en M si l'intensité en M diffère de la somme des intensités en M associées aux ondes 1 et 2. I(M) diff I1(M)+I2(M)

52

Superposition de deux ondes monochromatique, terme d'interference

s12(M,t)=s012 cos(w12t-phi12(M)) ac phi12(M)=phi12(S12) + 2pi/lambda (S12M)
I=(s²(M,t))t=(s1(M,t)² + s2(M,t)² +2s1(M,t)s2(M,t))t
(s est la superposition de s1+s2 car ce sont des composantes du chp E)
La moyenne temporelle est lineaire et (2(s1(M,t)s2(M,t))t est le terme d'interference = I12(M) interference si me terme d'interference dif de 0

53

Cas de deux ondes de pulsations differente w1 diff w2

I12(M)=s01s02((cos((w1+w2)t-(phi1(M)+phi2(M)))t + (cos((w1-w2)t-(phi1(M)-phi2(M)))t

Donc ici I12(M)=0 pas d'interference

54

Cas de 2 ondes de meme pulsation

I12(M)=s01s02((cos((w1+w2)t-(phi1(M)+phi2(M)))t + (cos((w1-w2)t-(phi1(M)-phi2(M)))t
Le second terme vaut cos(phi2(M)-phi1(M)) = phi(M)
I12(M)=s01s02 (cos(phi(M))t avec phi(M)=phi2(S2)-phi1(S1)+2pi/lambda (delta(M)) avec delta(M)=(S2M)-S1(M) difference de marche entre 2 ondes

55

Dans le cas ou phi2(S2)-phi1(S1) est constant ou varie tres lentement
Bilan theorique

(Cos(phi(M))t diff de 0 et donc il y a interference
Il y a interference entre les deux ondes si :
-elles sont de meme pulsation (coherence temporelle, les ondes sont synchrones)
-phi2(S2)-phi1(S1) est constant ou varie lentement

56

Realisation d'interferences

Soit S1 et S2 deux sources secondaires tq les trains d'onde qui interfèrent en M soient issues d'un unique train d'onde emis par la source principale S. On a alors
-w1=w2 coherence temporelle.
-pour chaque train d'onde, phi1(S)=phi2(S) donc phi(M)=2pi/lambda delta(M)
Si delta(M) sup lc, alors les 2 trains d'onde qui arrivent en M ne sont pas issues du meme train source, pas d'interference.
Delta(M)inf lc, il y a interference. Car 2 trains sont issus du meme train source

57

Dans le cas ou il y a interference

I(M)=I1 +I2+ s01s02cos(phi(M)) et s01s02=2(I1I2)^1/2
Donc I=I1+I2+2(I1I2)^1/2cos(Phi(M))
Phi(M)=2pi/lambda delta(M)=2pi/lambda ( (SM)2-(Sm)1)

58

Formule de Fresnel

En complexe :
s12(M,t)=s012ej(wt-phi12(M))
Vibration resultante=s1+s2 =e(jw)[s01e(-jphi1(M)) + s02e(-jphi2(M)]
s*=e(-jw)[s01e(jphi1(M)+s02e(-jphi2(M)]
I(M)=1/2ss* =1/2(s01²+s02²+s01s02(e(j(phi2-phi1))+ej(-phi2+phi1))=1/2 (s01² +s02² +s01s02cos(phi2-phi1))
I(M)=I1+I2+2(I1I2)^1/2 cos(phi), phi=phi2(M)-phi1(M)

59

Difference de marche

Phi1(M)=phi1(S1)+2pi/lambda (S1M) = phi1(S)+2pi/lambda[(SS1) +(S1M)] =phi1(S)+2pi/lambda (SM)1 idem
Phi2(M)=phi2(S)+2pi/lambda (SM)2
Phi(M)=2pi/lambda delta(M) avec delta(M)=(SM)2-(SM)1 diff de marche
Donc delta(M)=lambda/2pi phi(M)
On def p(M)=delta(M)/lambda = phi(M)/2pi ordre d'interference en M

60

Tracé de I(M) en fonction de phi(M)

Si I1+I2 inf I (cos(phi) sup 0) alors interferences constructives

Sinon, interferences destructrices
Imax pour cos (phi) = 1 donc phi(M)=2pim donc p=phi(M)/2pi = m
Imin pour cos(phi)=-1 donc phi(M)=pi+2mpi donc p= 1/2+m

61

Notion de contraste

On definit le contraste C=(Imax-Imin)/(Imax+Imin)
On pose U=I2/I1 ainsi C=2U^1/2/1+U
Le contraste est max pour I1=I2 apres l'etude de la fonction dans ce cas
I(M)=2I(1+phi(M)) avec phi(M)=2pi/lambda [(SM)2-(SM)1] (delta(M))

62

Dispositif interferentiel par division du front d'onde: trous d'Young

On a S sur l'axe, a une distance d une plaque ac 2 trous distant de a/2 de l'axe et plus loin un ecran a une distance D. ainfffD et dinfffD
Le dispositif offre a la lumiere 2 trajets possibles. Dispositif a 2 voies. On parle de dispositif interferentielle par division du front d'onde lorsque les rayons qui viennent interferer en un point M donné, sont issus de 2 rayons distincts qui emmergent de la source.

63

Champ d'interference

Le champ d'interference correspond a tout le volume de l'espace ou les ondes diffractés par les 2 trous se recouvrent
Ds exemple, on constate des franges d'interferences sur un ecran d'observation, quelque soit sa position au dela des 2 trous: les interferences ne sont pas localisés. Elles sont observables en tt points du chp d'interference.

64

Difference de marche, ordre d'interference

Jusqu'a delta(M)

Phi2(M)-phi1(M)=phi2(S)+2pi/lambda [(SS2)+(S2M)] -phi1(M) -2pi/lambda [(SS1)+(S1M)] or phi1(M)=phi2(M) car issu du meme train d'onde. Donc =2pi/lambda[(SM)2-(SM)1] (delta(M))
Delta(M)=n(SS2+S2M -SS1 -S1M) =n(S2M-S1M)

65

Difference de marche, ordre d'interference

Calcul de delta(M)

Delta(M)=n(S2M-S1M)
On a S1(a/2;0;0) S2(-a/2;0;0) M(x;y;D) donc
S1M=((x-a/2)²+y²+D²)^1/2
S2M=((x+a/2)²+y²+D²)^1/2 donc apres DL1 on a
S1M=D(1+1/2(y/D)²+1/2((x-a/2)/D)²)
S2M=D(1+1/2(y/D)²+1/2((x+a/2)/D)²)
Dc la diff = ax/D d'ou delta(M)=nax/D

Ainsi p(M)=delta(M)/lambda =nax/Dlambda

66

Figure d'interference, interfrange

I(M)=(s²(M))t=2I(1+cos(2pinax/Dlambda) donc pour x fixé tous les points ont meme itensité, frange rectiligne, I ne dep que de x
Frange brillante: cos(phi(M))=1
Frange sonbre : cos(phi(M))=-1
i=interfrange = periode spatiale de figure d'interference. I(x+i)=I(x)
Donc 2pinai/Dlambda =2pi ie i=LambdaD/na

67

Montage de Fraunhofer

On a une source S sur un axe en F0 le foyer objet d'une LCV, puis une plaque ac 2 trous a equidistance de O (a/2)le centre de la plaque, puis une deuxieme lentille Lp et un ecran placé ds plan focal objet ou on a placé M

68

Etude du montage de Fraunhofer

I(M)=2I(1+cos(Phi(M)) avec phi(M)=2pi/lambda [(SM)2-(SM)1] =2pi/lambda delta(M)
Delta(M)=(SS2)+(S2M)-(SS1)-(S1M)
-S1 et S2 meme plan d'onde pour onde onde incidente donc phi2(S2)=phi1(S1) is (SS1)=(SS2)
-apres 1er lentille, on voit des plan d'onde donc H et S1(sur meme plan) verifient phi2(H)=phi1(S) ie (S2M)-(S1M) = (S2H)+(HM)-(S1M) = (S2H) donc delta(M)=(S2H)=nS2H=nS1S2sin(aplha) =nasin(alpha) or tan(alpha)=x/f'p donc delta(M)=nax/f'p et I(M)=2I0(1+cos(2pinax/lambdaf'p)) donc i=lambdaf'p/na

69

Influence de la position du point source : coherence spatiale
Y

Si ys varie: (SS1)=(SS2) delta reste inchangé
Si zs change, delta reste inchangé

70

Influence de la position de la source : coherence spatiale
x
d la distance source lentille
D la distance lentille ecran

Si xs varie: delta=(SM)2-(SM)1 = (SS2)-(SS1)+nax/D = nax'/d + nax/D
I(M)=2I0(1+cos(2pinax'/lambdad + 2pinax/lambdaD) donc i =lambdaD/na
La figure a ete translaté: frange d'ordre 0: cas ou xs=0 delta=nax/D; p= delta:lambda donc p=0 donne x=0
xsdiff0, delta=na(x'/d+x/D) d'ou p=na/lambda(x'/d+x/D) p=0 donne x=-x'D/d

71

Source constitué de deux points sources :
SA en x= h/2 et SB en
x=-h/2

IAB(M)=2I0(1+cos(2pi/lambda deltaAB)

DeltaA=na(h/2d + x/D)
DeltaB=na(-h/2d+x/D)
Incoherence spatiale des 2 sources
Pas d'interferences
I(M)=4I0(1+cos(2pinax/lambdaD)cos(pinah/lambdad)) le second cos est la visibilité V
Imax=4I0(1+|V|)
Imin=4I(1-|V|) si Vinf 0, centre sombre
C=|V|

72

Quand a t-on un contraste nul ? On a I(M)=4I0(1+cos(2pinax/lambdaD)cos(pinah/lambdad))

Lorsque cos(pinah/lambdad)=0 donc h=lambdad/2na + lambdadm/na
On a Pa-Pb=nah/lambdad donc V=cos(pi(Pb-Pa)) on aura un bon contraste pour deltap inf 1/2

73

Extension au cas d'une fente source :

on a pmax = nax/D + nah/2lambdad p0=nax/D
Ordre d'interference pour Smax=source deltap=pmax-p0 (associé a la demi etendu de la source
Deltap= nah/2lambdad
Contraste satisfaisant pour deltap inf 1/2

74

Influence de la largeur spectrale de la source
Cas d'un double de longueur d'ondes voisines

S emet 2 radiations : @1 et @2 voisines
On a les memes amplitudes.
I12(M)=2Io(1+cos(2pidelta/@12))=2Io(1+cos(2pip12)
Donc I(M)=4Io(1+cos(pi(p1+p2))cos(pi(p1-p2))
Cos(pi(p1+p2))=cos(pidelta(@1+@2)/@1@2) on pose @m=@1+@2/2 d'ou @1+@2/@1@2 ~= 2@m/@m^2 = 2/@m donc cos(pi(p1+p2))=cos(2pidelta/@m)
Et cos(pi(p1-p2))=cos(pidelta Delta@/@m^2)
On note V(delta)=cos(pi(p1-p2))=cos(pidelta Delta@/@m^2)

75

Zone de brouillage

On a brouillage pour V(delta)=0 soit cos(pi(p1-p2))=0 ie p1-p2=1/2
On aura pas de brouillage si Deltap inf 1/2

76

Extension au cas d'une source a spectre continue

On a @max, @min et @m
P=delta/@
Deltap associé a la 1/2 etendue spectrale Deltap=delta/@m-delta/@max = delta (@max-@m)/@max@m = delta Delta@/2@m^2
Brouillage pour Deltap inff 1/2 ie delta Delta@/2@m if 1/2 ie delta inff @m^2/Delta@ =lc

77

Interference a deux ondes

I(M)=2I(1+cos(phi(M))
Imax=4I
Imin=0
On utilise la representation dd Fresnel pour avoir direct le resultat :
s1=s0e(jwt) = sm1e(jwt)
s2=s0ejphiejwp=sm2e(jwt)
s=s1+s2=so(1+ejphi)ejwt = sme(jwt)
Et I(M)=1/2ss*=1/2|sm|^2 les valeurs extremes de I sont celles de |sm|
On a bien dans le plan complexe Imax pour phi(M)=2kpi et Imin pour phi(M)=(2k+1)pi

78

Interference a N ondes

On suppose qu'on peut faire interferer N ondes de meme amplitudes avec le meme dephasage phi(M) entre 2 ondes
Il apparait que l'intensité est max qd phi(M)=2kpi pour kdsZ et l'itensité min pour phi=2kpi/m avec kdsZ non multiple de N

79

Calcul de l'intensité resultante pour N ondes

On note
Sk=soe(jwt)e(j(k-1)phi)=_skme(jwt)
On a s=som(1,N)sk=soe(jwt)som(1,N)e(j(k-1)phi)= soejwt (1-ejNphi)/(1-ejphi)
=soej(wt+phi(N-1)/2) sin((Nphi/2)/sin(phi/2)
Et I(M)=1/2ss*=1/2|sm|^2 = 1/2so^2 (sin(Nphi/2)/sin(phi/2))^2j

80

Representation de l'intensité en fonction de phi
I(M)=Io[sin(Nphi/2)/sin(phi/2)]^2

On pose f(phi)=(sin(Nphi/2)/sin(phi/2))^2j
f'(Phi)=sin(Nphi/2)[N/2cos(Nphi/2)sin(phi/2)-1/2cos(phi/2)sin(Nphi/2)]/sin(phi/2)^3
Annulation de phi' pour sin(Nphi/2)=0 soit phi=k2pi/N soit f(phi)=[sin(kpi)/sin(kpi/N)]^2
k non multiple de n : f(phi)=0 I=0
k = mN : phi=2mpi et f(phi)=[sin(mNpi)/sin(mpi)]^2 =N^2
I minimal pour phi=2kpi/N et k non multiple de N
I max pour phi=2mpi
Le second terme du numerateur donne les seconds pics plus bas
Largeur d'un pic: Deltaphi=2*2pi/N=4pi/N donc plus N augmente plus les pics sont sérrés

81

Definition et caracteristiques réseaux plans

Un reseau est une surface diffractante sur laquelle un motif est répété un grand nombre de fois. La periode spatiale a est appelée pas (ou periode) du réseau

82

Definition d'un reseau plan, dans la suite, c'est quoi ?

Nous raisonnerons sur un reseau plan constitué d'un ensemble de fentes fines identiques de largeur epsilon de longueur l. Ces fentes sont les traits du réseau, la distance entre deux fentes voisines est le pas du reseau noté a. On a n=1/a traits par metre.
Le reseau possède une epaisseur e.
Les fentes sont numerotés a l'aide d'entiers q de 1 a N centré en Oq
Le reseau peut fonctionner en transmission ou en reflexion.
Lumiere incidente diffractée par les differentes fentes.

83

Cas des reseaux en transmission

On choisit un repere (0,xp,yp,z) acec Oz la direction normal au plan du reseau et les traits distants de a paralleles a l'axe Oyp
Le reseau est eclairé par une OPM de lo @o emise par S8 en faisant angle ø0 avec 0z. Les fentes sont perpendiculaires au plan de la figure.

84

Interference a N ondes, cas du reseau en transmition, Imax pour quels valeurs de øk

Les angles øk pour lesquels intensité est max sont tq phi(M)=2pi/@o [(SM)1-(SM)2] =2kpi or delta=(SO1+O1K+KM)-(SH+HO2+O2M)
=O1K-H02=asin(ø)-asin(ø0) donc sin(øk)=sin(ø0)+k@/a donne les directions des max d'intensités

85

Interference a N ondes avec un reseau en transmission en lumiere MONOCHROMATIQE , interpretation qualitative

@ fixé ici. D'apres ce qui precede
Sin(øk)=sin(ø0)+@k/a
Ordre observables?
-1 inf sin (øk) inf 1
a/@(-1-sinø0) inf k inf a/@(1-sin(ø0)

86

Interference a N ondes avec un reseau en transmission en lumiere BLANCHE , interpretation qualitative

On a tjrs sin(øk)=sin(ø0)+k@/a

On a selon les ordres des differences d'angles øk par exemple le reseau disperse plus le rouge que le violet :
Sin(ø1)=sin(ø0)+@/a or @v inf @r donc sin(øv)inf sin(ør) donc øv if ør
Il y a recouvrement de spectre

87

Interference a N ondes avec un reseau en transmission : etude quantitative
Pouvoir dispersif

La sensibilité du dispositif est caracterisée par le pouvoir de dispersion drond ø/ drond@ donné par drondø/drond@ = k/acos(ø) (on derive sin(ø)=sin(ø)+k@/a
On observe que plus k augmente, plus |ø| est grand donc plus cos(ø) diminue donc le pouvoir de dispersion augmente qd l'ordre augmente.
Cependant le nbr d'ordre observable est limité. Il faut savoir que l'intensité decroit qd l'ordre augmente. Dispersion du reseau est plus grande que celle du prisme en general

88

Interference a N ondes avec un reseau en transmission : minimum de deviation

Comme ds le cas du prisme on fait les mesures du min de deviation Dm=ø-ø0 donc drondD/drondø0=dø/dø0 -1 il y a extremum de D pour dø=dø0
En differenciant la relation du reseau il vient Dk=øk-ø0 on derive: drondDk/drondø0=drondøk/drondø0-1
Or cos(øk)drondøk/drondø0 =cos(ø0) donc drondDk/drondø0 = cosø0/cos(øk)-1 extremum de deviation (minimum admis) pour cos(øk)=cos(ø0) d'on ø0=+-øk ordre 0

89

Au minimum de deviation
Relation entre Dm,k,a,@

Ø0=-Øk donc Dm=2Øk=-2Ø0
Sin(Øk)==-sin(Øk)+k@/a donc 2sin(Dmk/2) =k@/a

90

Interferences de N ondes, cas du reseau en mode reflexion :

On a le meme schema que precedemmen mais les rayons sont reflechis au contact des fentes
Phi(M)=2mi/@[(SM)1-(SM)2] =2kpi
Delta=(S01+O1k+kM)-(SM+H02+O2M) =O1K-HO2 =asin(Ø1)-asin(Ø0) donc sin(Øk)=-sin(Ø0)+@k/a

91

Principe interferometre de Michelson

L'interferometre de Michelson est basé sur un dispositif d'interferences a deux ondes, par division de l'onde primaire grace a une mame separatrice(Sp) comportant une face semi-reflechissante. Celle ci divise un rayon incident en deux rayons qui suivent deux voies differentes 1 et 2. Les miroirs placés entre eux perpendiculairement, sont legerement orientable. La lame separatrice est orienté environ a 45° par rapport aux miroirs. Le tt baigne ds l'aire.

92

La lame separatrice du Michelson

L'epaisseur necessairement nn nulle de la separatrice entraine dissymétrie de principe : le rayon passant par M1 traverse 3 fois ma separatrice alors que l'autre ne le traverse qu'une fois.
On compense cette dissymetrie en plaçant parallelement a la separatrice une lame identique mais nn traitée: la compensatrice. Grace a elle, les rayons traversent 3 fois une epaisseur e de meme indice.

93

Michelson-
Utilisation d'une source etendu, interference localisées

Lorsqu'un dispositif interferentiel est utiliséen source etendu, on peut constater l'existence d'une surface ou la visibilité des franges d'interferences est max. Cette surface est appelée surface de localisation et on dit qu'on a des franges localisées. La surface de localisation est constituée de l'ensemble des points M qui correspondent a l'intersection des deux rayons emergents de l'interferometre qui sont issus d'un seul et meme rayon emergent de la source. En ces points, le dispositif interferentiel foncionne par division d'amplitude.

94

Michelson en lame d'air avec source étendue.

On dit que l'interferometre de Michelson est configuré en lame d'air lorsque les deux miroirs M1 et M2 sont parfaitement orthogonaux.

95

Michelson en lame d'aire avec source etendue.
Trajet des rayons

Soit S une source ponctuelle appartenant a la source etendu, on etudie les trajectoires des deux ondes lumineuses qui interferent en M.
Voie 2: (en haut) reflexion sur la separatrice: on note S' l'image de S par Sp. Reflexion par M2: on note S2 l'image de de S' par M2. On a
(SM)2=(SI2)+(I2J2)+(J2M)=(S'I2)+(I2J2)+(J2M)=(S'J2)+(J2M)=(S2J2)+(J2M)=(S2M)
Voie 1: transmission par la separatrice, reflexion par M1, on note S1 l'image de S par M1. Reflexion par la separatrice : on note S'1 l'image de S1 par Sp. S'1 est aussi l'img de S' par M'1 l'image de M1 par Sp. On a (SM)1=(SI1)+(I1J1)+(J1M)=(S1I1)+(I1J1)+(J1M)=(S1J1)+(J1M)=(S'1J1)+(J1M)=(S'1M)
Grace a ces miroirs, l'interferometre de Michelson fabrique deux sources corrélées S'1 et S2 a partir d'une source ponctuelle S. Si M2 et M'1 sont parfaitement paralleles et forment une lame d'air a faces paralleles d'epaisseur e, les images S2 et S'1 de S sont distantes de 2e

96

Michelson- localisation des interferences

Dans le cas ou les miroirs sont rigoureusement paralleles, un incident quelconque donne deux emergents paralleles, ils interferent a l'infini, ou sont donc observable les interferences. Les interferences de lame d'air a faces paralleles avec source etendu sont localisées a l'infini.

97

Michelson- calul de la difference de marche

delta=(SM)2-(SM)1=SI2+I2J2+J2M-SI1-I1J1-J1M=S'I2+I2J2+J2M-S1I1-I1J1-J1M=S2J2+J2M-S'1J1-J1M=S2M-S'1M
=S2H+HM-S'1M=S2H=2ecosi

Deuxieme methode: delta=IJ+JK+KM-IM=IJ+JK+KM-IH-HM=IJ+JK-IH=2e/cosi -siniIK = 2e/cosi -2IHsini=2e/cosi-2etanisini =2ecosi

98

Michelson- observation des interferences

Les interferences etant localisées a l'infini, on utilise une lentille de projection de L convergente de distance focal f' et on place l'ecran d'observation dans le plan focal image de L. Les points M d'egale intensité sont tq delta(M)=cste d'ou i=cste on parle d'anneaux ou frange d'egale inclinaison. (anneaux de Haidinger) centrés en F'.
Anneau de rayon R=f'tani

99

Michelson-Rayon des anneaux.

L'ordre d'interference en M est p(M)=2ecosi/@o il est max au centre pour i=0 et pmax=2e/@o
Le premier anneau brillant compté a partir du centre admet un ordre entier m1=E(pmax)
Le kieme anneau brillant est caracterisé par un ordre mk entier tq mk=m1-k+1 on a alors 2ecos(ik)/@o = 2e/@o (1-ik^2/2) = 2e/@o (1-rk^2/2f'^2) le rayon rk du kieme anneau brillant compté a partir du centre est :rk=f'(2(1-mk@o/2e))^1/2
Le rayon des anneaux brillants croit comme k^1/2 les anneaux sont de plus en plus rapprochés au fur et a mesure qu'on s'eloigne de l'ecran. De plus, le nombre N de franges brillantes observable depend de imax et de e.

100

Michelson- observation experimentale des anneaux

Ns avons vu que pour obtenir des anneaux, les miroirs doivent etre parfaitement orthogonaux. De plus la diff de marche dependant de i, les anneaux seront d'autant plus nombreux que i variera beaucoup: pour reduire le nombre d'anneaux observable, il est interessant de condenser la lumiere sur les miroirs. On forme l'image de la source par une Lc sur M1. Les anneaux sont ramenére a distance finie par observation dans le plan focal d'une LC mais on peut s'en passer si l'ecran est infini.

101

Michelson- methode de recherche du contact optique

Le contact optique est la position particuliere de l'interferometre reglé en lame d'air pour laquelle e=0
Lorsqu'on se rapproche du contact optique en chariotant le miroir M1, e diminue. Si l'on construit l'evolution d'un anneau brillant def par l'ordre p=2ecosi/@ entier fixé, cosi augmente donc i diminue: les anneaux sont absorbés par le centre. Inversement, si on fait defilier les anneaux vers l'ext, e augmente.
ON se rapproche du contact optique en faisant defiler les anneaux vers l'interieur, le nbr d'anneaux diminue jusqu'a observer teinte uniforme lorsque e=0 : teinte plate

102

Michelson en coin d'air - schema equivalent

Si M2 et M'1 se coupent en 02 (e=0) en faisant angle alpha tres faible, formant ainsi un coin d'air d'angle alpha.
Typiquement : 02S2 =02S'1 =d=50cm et alpha=10^-3 rad=3' alors S'1S2=2alphad=1mm
Les img S2 et S'1 de S sont quasi alignées sur un axe ortho a l'axe optique. Ac un ecran placé orthogonalement a cet axe, on se retrouve ds configu trous d'Young : franges d'interferences quasi rectilignes paralleles a l'intersection des miroirs.

103

Michelson en coin d'air-Localisation des interferences

Un rayon incident quelconque donne 2 rayons emergents qui se coupent en un point tres proche des miroirs. On montre que l'ensemble de ces pts forment un plan, lui meme voisins de ceux des miroirs: les interferences de coin d'air avec source etendue sont localisées au voisinage des mirors.

104

Michelson en coin d'aire- calcul de la difference de marche

On prend le schema qui zoom sur M2 et M'1. On a delta=2e(x)=2xtanalpha=2xalpha

105

Michelson en coin d'air-projection des franges

Les franges en coin d'air etant localisées au voisinage des miroirs, leur observation exige de faire l'image de ces miroirs sur un ecran par une lentille de projection. Les miroirs devant en outre etre eclairés en incidence quasi-normale, la source est placée au foyer objet d'une lentille convergente. Rq: Les franges rectilignes de coin d'air ne sont obtenues qu'au vois du contact optique ie e=0 et alpha diff 0, il faut au prealable que les miroirs soient quasi symetriques par rapport a la separatrice.

106

Michelson en coin d'air- calul de l'interfrange

On construit l'image de M2 par Lp la lentille de projection.
E etant le conjugué de Lp par O2, 1/0E-1/002 = 1/f'
I=2I0(1+cos(phi(4pixalpha/@o))
I cste si x=cste ie frange d'egales epaisseur rectilignes. Interfrange au vois des miroirs: i=@/2alpha
Interfrange a l'ecran: ie=|gamma|i

107

Bilan Michelson:
Lame d'aire : Anneaux

Interferences localisées a l'infini
Observation sur un ecran :
-tres eloigné
-dans le plan focal image d'une Lc
Condensation de la lumiere incidente sur les miroirs, l'image de la source par une Lc est sur M1

108

Bilan Michelson- Franges rectilignes

Interferences localisées au niveau des miroirs
Observation sur un ecran conjugué du miroir M2 par une lentille convergente
Eclairage en lumiere parallele: source dans le plan foca d'une lentille convergente