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Flashcards in Analyse Vectorielle 🌐 Deck (39):
1

Champ uniforme

Champ indépendant de la position r

2

Champ stationnaire (permanent)

Champ indépendant du temps

3

Champ constant

Champ uniforme et permanent

4

Tube de champ

On appelle tube de champ d'un champ vectoriel g(r,t) a t donne la surface formée par l'ensemble des lignes de champs de g qui s'appuient sur une courbe fermée déterminée

5

Contour

On appelle contour C toute courbe reliant deux points de l'espace
Quand A=B le contour est fermée et défini alors une surface orienté en définissant un sens de parcours positif

6

Circulation élémentaire de _g le champ

Puis circulation

dC = _g(M)._dlm

Pour la circulation on intègre sur le contour

7

dC en coordonnées cartésiennes

(_g(M)._dlM)

gxdx + gydy +gzdz

8

dC en coordonnées cylindriques

(_g(M)._dlM)

dC = gpdp + pgødø + gzdz

9

dC en coordonnées sphériques

(_g(M)._dlM)

dC = grdr + rgø dø + rsinøgphi dphi

10

Dans le cas où le champ vectoriel est un champ de force _g=_F

La circulation

dC = F(M).dLM = SW

11

Si intégrale gauss g(M).dLM= 0

Intégrale (M1,M2) g(M).dlM indépendant du chemin suivi pour aller de M1 a M2 g est a circulation conservatrice

12

Champ scalaire et champ vectorielle définition

On appelle champ d'une grandeur g dans une région de l'espace E a t donné l'ensemble des grandeurs g aux divers points M de E.

13

Flux du vecteur g à travers la surface S

₩= double intégrale g(M).dSM

14

Si le flux est nulle

Alors g est a flux conservatif

15

Opérateur Gradient

Transforme un scalaire f en vecteur _grad f tq df= _grad (f) . dl

16

Grad f est orthogonal

aux surfaces equi-f

17

Opérateur divergence

Transforme un vecteur _a en scalaire div(_a)

18

Div(_a) en cartésiennes

Div _a = drond (ax) / drond x + drond (ay)/drond y + drond (az) / drond z

19

Théorème de Green Ostrogradski

DoubleOintégrale _a(M,t)._dSM= triple intégrale div(_a(P,t)).dTop

20

Conséquence du théorème de Green Ostrogradski

Flux de E = Qint/Eo = triple intégrale ro(p).dTop / Eo = tripleIntegrale div(_E(p)) dTop donc

Div( _E) =ro(p)/Eo

21

Opérateur rotationnel

Opérateur qui transforme un vecteur _a en vecteur _rot(_a)

22

Opérateur rotationnel en coordonnées cartésiennes

_a= ax(x,y,z),ay...az...idem
On a _rot(_a) =
az/y - ay/z
ax/z - az/x
ay/x - ax/y
Avec des drond a chaque terme

23

Comment trouver _rot(_a) en cartésiennes

(drond / drond x) ^ (ax(x,y,z))
(drond / drond y) (ay(x,y,z))
(drond / drond z) (az(x,y,z))

24

Théorème de Stokes-Ampère =

Ointégrale _a(M)._dlM = double intégrale _rot(_a(P))._dSp

25

Conséquences du théorème de Stokes-Ampere en électrostatique

Flux de E = Ointegrale dV = 0 = double intégrale rot(E(p)).dSp donc rot E= 0

26

Conséquences du théorème de Stokes-Ampere en magnétostatique

Rot B= muo J

(Ointégrale _B(M)._dlM = double intégrale _rot(_B(P))._dSp )

27

Cas d'un champ à rotation nulle
_rot(_a(P)) = 0

_a est a circulation conservative

28

Opérateur Laplacien vectoriel

Opérateur qui transforme un vecteur _a en un vecteur🔺(_a)

29

Opérateur Laplacien vectorielle en coordonnées cartésiennes

_🔺(_a) =
🔺ax = drond2 ax/drond x^2 +drond2 ax/drond y^2 + drond2ax/drond z^2
🔺ay = idem avec ay
🔺az = idem avec az

30

Opérateur Laplacien

Transforme un scalaire f en scalaire 🔺f

31

Opérateur Laplacien en coordonnées cartésiennes

🔺f = drond2f/drondx^2 + drond2f/drond y^2 + drond2 f / drond z^2

32

Propriétés des opérateurs :

Ils sont linéaires

33

Propriétés des opérateurs :

Divergence

Div (grad f) = 🔺f (opérateur laplacien)

Div( _rot (_a)) = 0

34

Propriétés des opérateurs :
Rotationnel

_rot(_gradf) = _0

_rot( _rot(_a)) = _grad(div(_a)) - _🔺(_f) (opérateur laplacien vectoriel)

35

_( a^(b^c) =

_(a.c)b - (a.b)c

36

Opérateur Nabla 💎

Opérateur de dérivation spatiale

37

Nabla en coordonnées cartésiennes

💎=
(drond/drond x)
(drond/drond y)
(drond/drond z)

38

Avec Nabla
_grad (f) =
Div (_a) =

_💎f

_💎._a

39

Avec Nabla

_rot(_a) =

🔺f =

_💎 ^ _a

_💎^2 f