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Flashcards in Espaces Vecoriels Normés Deck (41)
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Image continue d'une partie connexe par arc

Soit f de A dans F continue ou A est connexe par arc de E. L'image f(A) de f est une partie connexe par arc

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Applications a valeurs réelles (f continue de A dans R avec A connexe par arc de E)

Nouvelle extension du TVI : l'image continue d'un connexe par arc est un intervalle

33

Continuité des appliçations lineaires en dimension finie

Si E est de dimension fini, toute application lineaire de E dans F est continue

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Comment montrer que toutes les applications linéaires de E (dim finie) dans F sont continues ?

Toutes les normes dans E étant équivalentes on montre fixe une norme sur F et sur E puis on construit une norme sur E tq pt x ||f(x)||F inf 1 ||x||E2 et puisque c'est vrai pour cette norme c'est vrai pour ttes

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Comment montrer que F ss ev de E de dim fini est un fermé

G le supplémentaire de F dans E donc E=F☮G
P projecteur (linéaire) sur G parallèlement a F, P continue car E de dim finie et F = P^-1 ({Oe}) fermé donc F fermé relatif de E

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Det A =

Sigma (sigma de Sn) E(sigma) a (sigma1,1)...a (sigma n,n)

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Formule qui relie A de Mn(K) à la transposé de la comatrice etc

A t(ComA) = t(ComA) = det (A) In

Com A = la matrice dont les coefs sont les cofacteurs de A
(coma)ij= (-1)^i+j det (mineur ij)

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Comment justifier la transitivité de la notion de chemins

Soit a, b, c de A

Phi [0,1] dans [a,b]
Ksi [0,1] dans [b,c] on relie a et c par
Suchi [0,1] dans [a,c]
Phi(2t) si t de [0,1/2]
Ksi(2t-1) si t de [1/2,1]

39

Que dire d'une partie fermé d'un compact ?

Une partie fermé d'un compact est compact

40

Une suite bornée de E (de dim finie) converge ssi

Elle admet une unique valeur d'adherence

41

Pour montrer qu'une application est une norme, il peut etre interessent d'utiliser les demi-normes, en effet :

Si N(f)= ||f||8 + |f(x)-f(y)|/(|x-y| (x diff y)

Il peut etre interessent de montrer que le second terme est une demie-norme ! Ainsi on peut ne pas montrer la separation. Cela repose sur le fait qu'une somme d'une norme et d'une demie norme est une norme