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Flashcards in Espaces Vectoriels Normés Deck (131)
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31

Définition (fermé d'un espace normé)

Une partie A de E est dite fermée si sin complémentaire est un ouvert de E

32

A propos des Fermé

Une intersection quelconque de fermés est un fermé
Une union finie de fermés de E est un fermé de E
Une union quelconque de fermé de E n'est pas toujours un fermé de E

33

Définition point adhérent

Un point a de E est adhérent à une partie A de E si A rencontre tout voisinage de a

34

a est adhérent à A ssi

Pt epsilon B(a,epsilon) inter A dif ø

ssi

D(a,A) = 0

35

Def intérieur de A

Et on note A° l'ensemble des points intérieurs a A

36

Def adhérence de A

L'adhérence de A est l'ensemble des points adhérents à A on note _A

37

Def frontière de A

L'ensemble des points adhérents à A dt a son complémentaire (on note parfois Fr(A)

38

Un point appartient à Fr(A) ssi

Il est a distance nulle de A et de E\A son complémentaire

39

Soit A une partie de E

L'intérieur de A est

L'adhérence de A est

Le plus grand ouvert de E contenue dans A

Le plus petit fermé de E contenant A

40

Lien entre A, A°, et _A

A° C A C _A

41

Pour tout r sup 0, pt a de E,
Adhérence, intérieur, frontière de _B(a,r) et B(a,r)

C'est la meme, _B(a,r) pour l'adhérence
B(a,r) pour l'intérieur
Meme frontière S(a,r)

42

Une Norme sur le K-ev E est une application ||.|| de E dans R+ vérifiant :

1) Axiome de séparation
2) inégalité triangulaire
3) homogénéité

43

La norme associé au produit scalaire vérifie l'identité du parallélogramme ie :

Pt x,y de E

||x+y||^2 + ||x-y||^2 = 2 (||x||^2 + ||y||^2)

44

Norme 1: || ||1

Pt x= (x1, .... , xn) de K^n

||x||1 = som (1,n) |xi|

45

Norme 2: || ||2

Pt x = (x1, ... ,xn) de K^n

||x||2 = racine ( som (1,n) |xi|^2)

46

La norme infinie : || ||8

Pt x= (x1,...,xn) de K^n

||x||8 = sup ( |xi| )

47

Un vecteur d'un evn E est unitaire si

Il est de norme 1

48

Définition distance associé à une norme

Étant donné une norme ||.|| sur E, l'application

D: E^2 dans R+
(x,y) associe ||x-y||

C'est la distance associé à la norme ||.||

49

Espace métrique

Ensemble muni d'une distance

50

Définition : distance d'un point a une partie non vide

Soit x de E, et A une partie non vide de E. On appelle distance de x a A le réel d(x,A) = inf ( d(x,a) à de A)

51

Équivalence des normes en dimension finie

Sur un K-ev de dimension finie, toutes les normes sont équivalente

52

Comment montrer qu'un K-ev n'est pas de dimension finie

On exhibe 2 normes qui ne sont pas équivalente

53

Une fonction numérique de C1 dont la dérivé est bornée sur I

Est k lipschitzienne

54

La composée d'une application k-lipschitzienne et d'une application k'-lipschitzienne est

kk'-lipschitzienne

55

L'espace vectoriel normé (B(E,N), || ||8) est noté

l8(E)

56

L'ensemble des suites convergentes de (E,|| ||) est un ss-ev de

l8(E) et l'application qui a tte suite convergente associe sa limite est linéaire est 1-lipschitzienne

57

Soit un une suite d'éléments de E. On dit que un converge vers le vecteur b de E pour la norme || || lorsque

La suite réelle || Un - l || converge vers 0

58

Toute suite convergente est

Bornée

59

Soit Un et Vn qui convergent respectivement vers b et c pour la norme N alors :

La suite (Un + Vn) converge vers b+c pour la norme N

Pour lambda de R, la suite lambdaUn converge vers lambda b pour la norme N

60

Convergence des suites d'un espace vectoriel normé produit

E = E1 x ... x Ek muni de || ||8

Soit xn = (xn1, ... Xnk) une suite d'elts de E. Soit b = (b1, ... , bk) de E. Alors xn converge vers b si pt i de 1 à k, xni converge vers bi