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Flashcards in Espaces Vectoriels Normés Deck (131)
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91

Une intersection quelconque et une union finie de fermés relatifs de A

En est encore un

92

Soit B une partie de A.

B est un fermé relatif de A ssi

Pour toute suite xn de points de B, convergeant dans A, la limite de (xn) est dans B

93

1 ère et deuxième reformulations de la limite d'une fonction dans un EVN

f de A dans F

1 f admet l pour limite en a
2 pt boule B de rayon non nul centrée en l, il existe une boule de rayon non nul B' centrée en a tel que f(AinterB') C B

94

3 et 4 eme reformulation de la limite d'une fonction dans un EVN

f de A dans F

Pour tout voisinage V de l dans F, il existe un voisinage relatif V' de a dans A tel que f(V')CV
Pour tout voisinage V de l dans F, f-1(V) est un voisinage relatif de a dans A

95

Caractérisation séquentielle de la limite d'une fonction

f admet l pour limite en a ssi pour toute suite Un de point de A qui tend vers a, limite quand n tend vers l'infini de f(Un) tend vers l

96

Limite d'une fonction dans un EVN produit

Soit F un EVN produit F1x...xFp et l=(l1,...,lp) et f=(f1,...,fp)
La fonction f tend vers l en a ssi pour tout k la fonction fk tend vers lk en a

97

f est dite continue en a si

f admet une limite en a

98

Caractérisation séquentielle de la continuité en un point

f est continué en a ssi pour toutes suites Un de points de A de limite a, f(Un) converge vers f(a)

99

Opération algébrique sur les applications continues

Si f et g de A dans F sont continue en a, alors leurs combinaisons linéaires le soir aussi.

Si F est une K algèbre normée, le produit fg l'est

100

Prolongement par continuité

Si f admet une limite finie l en un point b adhérent à son domaine, alors on définie le prolongement par continuité de f en b comme la fonction f~ def sur AU{b}

101

Continuité globale

La fonction f de A dans F est dite continue sur A si elle est continué en chaque point de A. On note C°(A,F) ou C(A,F) l'ensemble des fº continues

102

C(A,F) structure

Kev et meme

K-algebre lorsque F est une K-algebre normee

103

Caractère locale de la continuité

Soit f de A dans F, f continue sur A ssi pour tout a de A, il existe un voisinage relatif V de a (dans A) tel que f|v soit continue sur V

104

Caractérisation des applications continues
Les assertions suivantes sont équivalentes

f est fontine sur A ssi
Pour tout ouvert X de F, f-1(X) est un ouvert relatif de A ssi
Pour tout fermé X de F, f-1(X) est un fermé relatif de A

105

Prolongation d'une égalité par densité

Deux applications continues qui coïncident sur une partie dense sont égales

106

Toutes fonction lipschitzienne sur un domaine bornée est

Bornée

107

Toute application lipschitzienne est

Uniformément continue

108

Lorsque F est une K algèbre normee, le produit de fonction lipschitzienne

n'est pas tjrs lipschitzien, une condition suffisante pour qu'il le soit est que f et g soient en outre bornée

109

L'application norme de E dans R est

1 lipschitzienne

110

Caractérisation de continuité des applications linéaires

Pour que u linéaire de E dans F sor continue, il faut et il suffit qu'il existe C supérieur à 0 tq pt x de E, ||u(c)|| inf C||x||

111

Une application linéaire est continue ssi

Elle est lipschitzienne ssi
Elle est UC ssi
Elle est continué en 0E

112

Caractérisation de continuité des applications bilinéaires
Soit E,F,G 3 EVN, et B: ExF dans G une application bilinéaire les assertions suivantes sont équivalentes

B est continué sur ExF (pour la structure d'evn produit
Il existe C de R+ tel que pt x,y de ExF
||B(x,y)|| inf C||x|| ||y||

113

Définition normes équivalentes

Soir N1 et N2 des normes sur le meme Kev, on dit qu'elles sont équivalentes s'il existe b et c strictement positif tq pt x de E, aN1(x) inf N2(x) inf bN1(x)

114

Pte normes équivalente

Cela définit une relation d'équivalence sur l'ensemble des normes de E

115

Pour montrer que deux normes ne sont pas équivalentes

On trouve une suite Un d'éléments tous non nuls de E tq N1(Un)/N2(Un) tende vers 0 ou l'infinie

116

Boules et normes équivalentes

Dire que deux normes sont équivalente, c'est dire que la boule unité de chacune contient une boule de rayon non nul pour l'autre centrée en 0E

117

Équivalences sur les boules et normes équivalentes

Pt x de E N2(x)inf bN1(x)
B1(0,1) inclu dans B2(0,b)
Pour tout a de E, pt r de R+, B1(a,r)incluB2(a,br)

118

Caractérisation de l'équivalence de deux normes

N1 et N2 sont équivalentes ssi

La boule unité pour chacune de ces normes est un voisinage de 0E pot l'autre ssi
Ces normes définissent les mêmes parties bornées, voisinages, ouverts, fermées

119

L'existence de b supérieur stricte a 0 tq N1(x) inf bN2(x) signifie que

Tout voisinage d'un point pour N1 est un voisinage de ce point pour N2
(E possède plus de voisinage pour N2 que pour N1) on dit que N2 est plus fine

120

Une fonction de R dans R est continue sur R ssi

Sa restrictions à tout segment est continue