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Flashcards in Espaces Vectoriels Normés Deck (131)
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121

Quelle propriete vérifie la norme d'algebre ?

Pour tout u,v de E

||uv|| inferieur ou egale a ||u|| ||v||

122

Definition de la distance dans R

Pour tous x,y de r d(x,y)=|arctan(y) -arctan(x)|

123

Un intervalle I de R est d'interieur vide ssi

I est vide ou est un singleton ssi
I est fini

124

Combinaison linéaire de normes sur l'espace vectoriel normée E

Si N1,...,Nn sont des normes sur E? alors pour tous @1,...,@n de R+, non tous nuls, som(1,n)@kNk est une norme sur E.

125

Que dire de la composée d'une norme et d'une application linéaire phi, dont on sait que |phi| est une semi norme.

Nophi est une norme ssi phi est injective

126

Quels sont les ensembles de E a la fois fermé et ouvert ?

{OE} et E tout entier

127

Caractérisation des ouverts relatifs

Soit B une partie de A, B est un ouvert relatif de A ssi pour tout b de B, B est un voisinage relatif de b dans A.

128

Continuité des applications bilinéaires en dimension infinie

Nous avons caractérisé la continuité des applications linéaires en dimension quelconque.
En fait, il existe une caractérisation analogue pour les applications bilinéaires ne figurant pas au programme : soit E; F;G trois EVN, et B de ExF dans G
une application bilinéaire. Les assertions suivantes sont équivalentes :
(1) B est continue sur ExF (pour la structure d'evn produit).
(2) Il existe C de R+ tel que pt (x,y) de ExF, ||B(x,y)|| inf C||x||||y||

129

Comment montrer la continuité du produit scalaire en dimension infnie

Pour la continuite de phi qui a (x,y) de E préhilbertien associe (x|y) , le plus simple est d'utiliser encore la caractérisation séquentielle, et d'imiter la preuve de convergence du produit de deux suites convergentes :
|(xn|yn) - (a|b)| = |(xn|yn) - (xn|b) + (xn|b) - (a|b)|
= |(xn|yn - b) + (xn - a| b)|
inff |(xn|yn - b)| + |(xn - a|b)|
inff ||xn|| ||yn - b|| + ||xn - a|| ||b||

130

Que dire de la boule unité fermé d'un EVN E de dimension infinie

Elle n'est jamais compact, d'après le théorème de Riesz, hors programme

131

GLn(C) est il connexe par arc ? GLn(R) ?

Oui et non.
Pour le premier, on le montre en considérant une application phi qui a @associe @A + (1-@)In et le det.. ( On montre que detophi n'est pas identiquement nulle. Puis que les racines de phi est un ensemble fini et on utilise la connexité par arc de C\Z.