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Flashcards in Séries entieres Deck (47)
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Proposition- DSE et série de Taylor

Soit f une fonction de C8, au voisinage de 0. La fonction f est développable en série entière au vois de 0 ssi elle coïncide avec sa série de Taylor au voisinage de 0.

Sens direct, supposons que f admette un DSE au vois de 0,. Et r supstricte 0 et som anz^n de RDC R sup r, pt x de ]-r;r[, f(x)=som anx^n. COmme le RDC de som anz^n est st positif, pt p de N, S^(p)(0)=f^(p)(0), come f et S coincident au vois de 0, pt p, f^(p)(0)=S^(p)(0) d'où pt p, ap=f^(p)(0)/p!

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Comment montrer qu'une fonction (de C8 au vois de 0) est développable en série entière?

Assez souvent, on peut utiliser la robustesse de cette notion, par operation algébriques, intégrations, dérivations.
-La serie de Taylor de f suggère également un lien entre l'existence d'un DSE pour f et les formules de Taylor: de fait, f admet un DSE en 0 ssi son reste intégrale Rn CVS vers 0 sur un vois de 0 : il existe r de R+*, pt x de ]-r,r[, lim n8 int(0,x)(x-t)^n/n!f^(n+1)(t)dt = 0
Par contre, Taylor Young ne peut pas prouver qu'une fonction f admet un DSE du fait de son caractère locale.

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Exemple de développement en série entières :
exponentielle

pt z de C exp(z)=som(0,8)z^n/n!

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Exemple de développement en série entières :
Les fonctions hyperboliques

pt x de R, ch(x) = som(0,8) x^2n/2n!

sh(x)=som(0,8)x^2n+1/2n+1!

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Exemple de développement en série entières :
les fonctions circulaires

Pt x de R

cos (x) = som(0,8) (-1)^nx^20/20!

sin(x)=som(0,8) (-1)^n x^2n+1/2n+1!

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Exemple de développement en série entières :
La fonction arctangente

pt x de [-1,1] arctan (x)= som(0,8) (-1)^n x^2n+1/2n+1

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Exemple de développement en série entières :
la fonction x associe ln(1+x)

pt x de ]-1;1[

ln(1+x)=som(0,8) (-1)^n-1 x^n/n

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Exemple de développement en série entières :
x associe (1+x)^alpha

pt x de ]-1;1[

(1+x)^alpha = som(0,8)(n parmi alpha) x^n

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Donnez le rayon de convergence de som an (z/M)^n ou M est un complexe non nul. En fonction de R le rayon de convergence de som anz^n

Notons bn = an/M^n Soit r de R+, r appartient a Rb ssi (an(r/M)^n est bornée ssi (|an| |r/M|^n) est bornée ssi r/|M| appartient a Ba, donc Bb=|M|Ba puis Rb = |M| sup Ba = |M|R

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Comment montrer que som nanz^n et som anz^n ont le meme rayon de convergence

On pose pt n et pt epsilon supstricte 0 : bn=nan et cn = (1+epsilon)^nan ainsi
an=O(bn) donc Ra sup Rb et bn=O(cn) d'où Rb sup Rc
or Rc = Ra/(1+epsilon) donc Ra/(1+epsilon) inf Rb inf Ra en faisant tendre emsilon vers 0 on a Ra = Rb

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Développement en série entière d'une fonction rationnelle

Une fonction rationnelle F, n'admettant pas 0 pour pole est développable en série entière au voisinage de 0, de plus, le rayon de convergence de la série entière correspondant est le plus petit des modules des pôles de F (+8 si F est polynomiale)

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Que dire si f de C8(]-r;r[) ou r appartient a R+*. Si on suppose qu'il existe M de R+* tq pt n de N*, et pt x de ]-r,r[, |f(x))| inf M

Alors la fonction f admet un DSE sur ]-r;r[

Démo : Taylor avec reste intégrale. Il suffit de l'écrire.

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On a montré que Arctan admettait un DSE au voisinage de 0 sur ]-1,1[, comment montrer que le résultat reste vrai sur -1 et sur 1
1er piste : La continuité

Effectivement, arctan est continue en 1. Comment montrer que som(-1)^nx^(2n+1)/2n+1 est continue en 1?
Déjà, d'apres CSSA, puisque 1/2n+1 décroît et tend vers 0, la serie converge. Y-a t'il CVU sur un voisinage relatif de 1 ds [-1;1] du reste de la serie ? Oui: on major som(N,8)(-1)^nx^(2n+1)/2n+1 par son premier terme :
|som(N,8)(-1)^nx^(2n+1)/2n+1| inf x^2N+1/2N+1 inf 1/2N+1 qui tend vers 0 d'où la CVU sur [0,1] et de plus pt n,x associe x^2n+1/2n+1 est continue sur [0;1] d'où la continuité de la somme en 1. Ainsi, S et arctan sont continue sur [0,1] et coïncident sur [0;1[ d'où le résultat car elles coïncident en 1

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On a montré que Arctan admettait un DSE au voisinage de 0 sur ]-1,1[, comment montrer que le résultat reste vrai sur -1 et sur 1 .
2eme piste : Argument de convergence dominé

pt x de [0,1[, 1/(1+x²) = som(0,8) (-1)^nx^2n
A-t-on int(0,1)dx/(1+x²) = som(0,8)int(0,1)(-1)^nx^2ndx ?
1er test TITAT: som int(0,1)|(-1)^nx^2n|dx = som1/2n+1 ça va pas. On applique le T de CVD a la suite des sommes partielles : pt n, Un: x associe (-1)^nx^2n
SOit N de N, x de [0,1[ |som(0,N)Un|=|som(0,N)(-1)^nx^2n|=|som(0,N) (-x²)^n| = |1-(-x²)^N+1/1+x²| inf 2/1+x²
soit phi: x associe 1/(1+x²) pt x de [0,1[. l'hyp de domination est satisfaite pour chaque Un, de plus, som(0,8)Un et x associe 1/1+x² sont continues par morceaux que [0,1[. voila le résultat d'apres le TCD.

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Donner le rayon de convergence de la série suivante et exprimer la somme en terme de fonction usuelles
som (n+2)/(n+1) z^n

D'apres d'Alembert, si an=(n+2)/(n+1) pt n , alors |an+1/an| tend vers 1 donc RC = 1
Pt x de ]-1;1[, som(n+2)/(n+1)x^n = 1/(1-x) + som(0,8)x^n/n+1 = 1/(1-x) + 1/x som(0,8)x^(n+1)/n+1 = 1/(1-x) -1/x ln(1-x)

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som(0,8)x^n/n =

-ln(1-x)

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Donner le rayon de convergence de la série suivante et exprimer la somme en terme de fonction usuelles
som(-1)^(n+1)nx^(2n+1)

A = som(-1)^(n+1)nx^(2n+1)=som(-x)n(-x²)^n=(-x)somn(-x²)^n
or somnz^n=somznz^(n-1)=z d/dz som(z^n)=z d/dz (1/(1-z)
=-z/(1-z)² donc A=(-x)(-x²)/(1+x²)² = x^3/(1+x²)²