1

Question 1

Аксиомы векторного пространства

Answer 1

Векторное пространство V над полем F определяется следующим набором аксиом:
1. Ассоциативность сложения:
∀u, v, w ∈ V, (u + v) + w = u + (v + w).
2. Коммутативность сложения: ∀u, v ∈ V, u + v = v + u.
3. Существование нулевого вектора:
∃0 ∈ V такое, что ∀v ∈ V, v + 0 = v.
4. Существование противоположного вектора:
∀v ∈ V, ∃−v ∈ V такое, что v + (−v) = 0.
5. Ассоциативность умножения на скаляр:
∀a, b ∈ F, ∀v ∈ V, (ab) ⋅ v = a ⋅ (b ⋅ v).
6. Дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов:
∀a ∈ F ∀u, v ∈ V, a ⋅ (u + v) = a ⋅ u + a ⋅ v.
7. Дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения скаляров:
∀ a, b ∈ F
∀ v ∈ V
(a + b) ⋅ v = a ⋅ v + b ⋅ v.
8. Умножение на единичный скаляр: ∀v ∈ V, 1 ⋅ v = v.

Question 2

Базис векторного пространства

Answer 2

Базис векторного пространства V — это множество векторов {e1, e2, …, en}, удовлетворяющее следующим условиям:
1. Линейная независимость: Векторы e1, e2, …, en линейно независимы, то есть ни один из этих векторов не может быть выражен как линейная комбинация остальных.
2. Порождают всё пространство: Любой вектор v ∈ V может быть представлен как линейная комбинация векторов базиса:
v = c1e1 + c2e2 + … + cnen, где c1, c2, …, cn ∈ F.

Question 3

Размерность пространства

Answer 3

Размерность векторного пространства V — это число векторов в любом базисе этого пространства. Если векторное пространство имеет конечный базис, то оно называется конечномерным и его размерность обозначается как dim(V). Например, если векторное пространство имеет базис из n векторов, то dim(V) = n.

Question 4

Теорема о разложении вектора по базису

Answer 4

Если {e1, e2, …, en} — базис конечномерного векторного пространства V, то любой вектор v ∈ V единственным образом представляется в виде линейной комбинации векторов базиса:
v = c1e1 + c2e2 + … + cnen,
где c1, c2, …, cn — скаляры из поля F. Коэффициенты c1, c2, …, cn называются координатами вектора v в данном базисе.