4

Question 1

Скалярное поле

Answer 1

Скалярным полем называется правило, по которому каждой точке, определяемой радиусом-вектором r, из области V однозначно ставится в соответствие некоторый скаляр u(r). Поле называется стационарным, если его значения в каждой точке r не зависят от времени: ∂u/∂t = 0. Поле называется однородным в области V, если его значения в каждой точке r этой области одинаковы: ∂u/∂r = 0.

Question 2

Дифференцирование скалярного поля по направлению

Answer 2

Предел

∇_τ u = lim (dr → 0) [(u(r + dr) - u(r)) / |dr|]

где dr – шаг в направлении единичного вектора τ, называется производной скалярного поля u(r) по направлению τ.

Question 3

Градиент скалярного поля

Answer 3

Градиентом скалярного поля u(r) в точке r называется вектор, проекция которого в этой точке на произвольное направление, определяемое единичным вектором τ, равна производной скалярного поля u(r) по направлению τ:
τ ⋅ grad u = ∇_τ u

Question 4

Вычисление производной по направлению с помощью градиента

Answer 4

Таким образом, производная функции по заданному направлению равна скалярному произведению градиента функции на единичный вектор этого направления: