5

Question 1

Векторное поле

Answer 1

Векторным полем называется правило, по которому каждой точке r из области V однозначно ставится в соответствие некоторый вектор A(r). Задание одного векторного поля в пространстве сводится к заданию трех скалярных полей – проекций векторного поля A(r) на координатные оси.

Question 2

Векторная линия и векторная трубка

Answer 2

Векторной линией (силовой линией) называется линия, касательным вектором к которой в каждой точке является вектор A(r).

Векторная трубка – поверхность, образованная векторными линиями, проходящими через
точки некоторой замкнутой линии.

Question 3

Поток векторного поля F через поверхность S определяется как

Answer 3

Потоком векторного поля A(r) через поверхность S называется поверхностный интеграл второго рода:

Φ = ∫ А dS, где dS = n(r)dS.

Question 4

Физический смысл потока

Answer 4

Пусть в пространстве задано векторное поле скоростей v жидкости плотностью ρ. Тогда интеграл: Φ = ∫(ρ v ⋅ dS), имеет смысл массы жидкости, протекающей через поверхность S за единицу времени.

Question 5

Поток векторного поля через замкнутую поверхность

Answer 5

Поток векторного поля F через замкнутую поверхность S определяется как:
Φ = ∮А · dS

Источником поля называется точка, из которой начинаются векторные линии. Точка, на которой векторные линии заканчиваются, называется стоком поля.

Если ∫(A ⋅ dS) > 0, то внутри замкнутой поверхности S источников больше стоков. Если ∫(A ⋅ dS) < 0, то внутри замкнутой поверхности S стоков больше источников. Если для любой замкнутой поверхности S ∫(A ⋅ dS) = 0, то у поля A нет ни источников, ни стоков.

Question 6

Дивергенция векторного поля

Answer 6

Дивергенция векторного поля F в точке r — это скалярная величина, равная потоку векторного поля через элементарную замкнутую поверхность, деленному на объем, ограниченный этой поверхностью:
∇ · F = lim(ΔV -> 0) [(∮S(ΔV) F · dS) / ΔV]
где ΔV — малый объем, S(ΔV) — поверхность, ограничивающая этот объем.

Пусть точка r находится в области V, ограниченной замкнутой поверхностью S, и внутри V задано векторное поле A. Дивергенцией векторного поля A в точке r называется скалярное поле, равное пределу: div A = lim (1/V) ∫(A ⋅ dS) при V → 0, при условии, что область V стягивается к точке r.