7

Question 1

Теорема Гаусса-Остроградского:

Answer 1

Поток векторного поля F через замкнутую поверхность равен интегралу от дивергенции F по объему, ограниченному этой поверхностью:
∮ (F * dS) = ∫ (div F) dV

Question 2

Доказательство теоремы Гаусса-Остроградского

Answer 2

Доказательство:
1. Теорема о среднем утверждает, что для непрерывной функции g на области D существует точка x в D, такая что g(x) равно среднему значению функции по области:
g(x) = (1/|D|) ∫ g(x’) dx’
2. Теорема Лагранжа утверждает, что значение функции в некоторой точке можно представить как сумму её градиента и значения в начальной точке:
f(b) = f(a) + (grad f(ξ) * (b - a))
3. Рассмотрим малый объём V, внутри которого можно применять теорему о среднем и теорему Лагранжа.
4. С помощью этих теорем можно показать, что поток через элементарную поверхность равен интегралу от дивергенции по элементарному объему.
5. Интегрируя по всему объему, получаем теорему Гаусса-Остроградского.

Question 3

Дивергенция в декартовых координатах

Answer 3

div F = (∂Fx/∂x) + (∂Fy/∂y) + (∂Fz/∂z)