2

Question 1

Скалярное произведение векторов.

Answer 1

Скалярное произведение (или внутреннее произведение) двух векторов a и b в R^n определяется как:
a · b = a1 * b1 + a2 * b2 + … + an * bn
где a = (a1, a2, …, an) и b = (b1, b2, …, bn).

Question 2

Аксиомы евклидова пространства

Answer 2

Евклидово пространство — это векторное пространство, в котором введено скалярное произведение, удовлетворяющее следующим аксиомам:
1. Линейность: a · (c1 * b + c2 * c) = c1 * (a · b) + c2 * (a · c)
2. Коммутативность: a · b = b · a
3. Положительная определенность: a · a >= 0 и a · a = 0 <=> a = 0

Question 3

Ортонормированный базис

Answer 3

Базис {e1, e2, …, en} векторного пространства R^n называется ортонормированным, если:
1. Все векторы базиса ортогональны: ei · ej = 0 при i ≠ j
2. Каждый вектор базиса имеет единичную длину:
ei · ei = 1

Question 4

Норма вектора

Answer 4

Норма (или длина) вектора a определяется как:
||a|| = sqrt(a · a) = sqrt(a1^2 + a2^2 + … + an^2)

Question 5

Вычисление угла между векторами с помощью скалярного умножения

Answer 5

Угол θ между двумя векторами a и b может быть найден с использованием скалярного произведения:
cos(θ) = (a · b) / (||a|| * ||b||)