10

Question 1

Формула Стокса-Грина

Answer 1

Формула Стокса-Грина:
∮ (A * dl) = ∫ (curl A * dS)
Здесь левая часть — циркуляция векторного поля по контуру, а правая часть — поток ротора через поверхность, ограниченную этим контуром.

Question 2

Выражение для ротора в декартовых координатах:

Answer 2

Выражение для ротора в декартовых координатах:
curl A = ((∂Az/∂y) - (∂Ay/∂z), (∂Ax/∂z) - (∂Az/∂x), (∂Ay/∂x) - (∂Ax/∂y))

Question 3

Свойство потока ротора:

Answer 3

Поток ротора через любую замкнутую поверхность равен нулю:
∮ (curl A * dS) = 0

Question 4

Свойства ротора:

Answer 4

1. Линейность:
   curl (A + B) = curl A + curl B
   curl (cA) = c (curl A), c- const

2) rot(uA) = u rot A + [grad u, A]

3) rot grad u = 0 ⇒ ∮ grad u ⋅ dr = 0

4) div rot A = 0 ⇒ ∮ rot A ⋅ dS = 0

5) div [A, B] = B ⋅ rot A - A ⋅ rot B

Question 5

Тождество для ротора от произведения скалярного поля на векторное:

Answer 5

curl (φA) = (grad φ) × A + φ (curl A)