9

Question 1

Циркуляция векторного поля:

Answer 1

Если линия L замкнутая, то криволинейный интеграл второго рода:
Γ = ∮_L (A ⋅ dr)

δΓ = A ⋅ dr = Ax dx + Ay dy + Az dz

Question 2

Физический смысл циркуляции

Answer 2

Физическая интерпретация
Рассмотрим в качестве векторного поля A(r) силовое поле, тогда интеграл Γ = ∮_L (A ⋅ dr) будет иметь смысл работы силы по замкнутой траектории L, а δΓ = A ⋅ dr = Ax dx + Ay dy + Az dz
— смысл элементарной работы.

Question 3

Ротор векторного поля

Answer 3

Ротор векторного поля A — это векторное поле, определяемое как:
curl A = ((∂Az/∂y) - (∂Ay/∂z), (∂Ax/∂z) - (∂Az/∂x), (∂Ay/∂x) - (∂Ax/∂y))

Векторное поле, проекция которого на направление нормали в точке r’ к поверхности S, ограниченной контуром L, равна пределу:
n ⋅ rot A = lim (S → r) [1/S ∮_L (A ⋅ dr)],
при условии, что поверхность S стягивается к точке r’, называется ротором векторного поля A в точке r’.

Question 4

Механический смысл ротора:

Answer 4

Пусть твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью ω. Тогда циркуляция вектора линейной скорости v точки, расположенной на расстоянии r от оси вращения, равна 2πr * v = 2πr^2 * ω. Отнеся циркуляцию скорости к площади, ограниченной траекторией точки и взяв предел при r → 0, получим, что |rot v| = 2ω.

Question 5

Вихревое векторное поле:

Answer 5

Поле называется вихревым, если его ротор не равен нулю: curl A ≠ 0.

В безвихревом поле отсутствуют замкнутые векторные линии.