6

Question 1

Соленоидальное поле

Answer 1

Векторное поле называется соленоидальным, если всюду выполняется условие: div A = 0.

Question 2

Теорема о постоянстве потока соленоидального поля вдоль векторной трубки:

Answer 2

Теорема 2.2. Поток соленоидального поля через поперечное сечение векторной трубки является постоянной величиной.
Пусть область V ограничена поверхностью векторной трубки S. Так как векторное поле A является соленоидальным, то div A = 0.

По теореме Гаусса-Остроградского: ∫(A ⋅ dS) = 0.

По свойству аддитивности: ∫(A ⋅ dS) = ∫(A ⋅ dS1) + ∫(A ⋅ dS2) + ∫(A ⋅ dS_bok), где S1, S2 – площадки сечений трубки, S_bok – боковая поверхность векторной трубки, n – внешний нормальный орт к поверхности векторной трубки. По определению векторной линии в каждой точке боковой поверхности n ⊥ A. Поэтому ∫(A ⋅ dS_bok) = 0.

Подставляя это в уравнение, получаем для векторной трубки: ∫(A ⋅ dS1) + ∫(A ⋅ dS2) = 0.

Если на втором сечении S2 определить внутренний нормальный орт как -n, то уравнение преобразуется к виду: ∫(A ⋅ dS1) = ∫(A ⋅ dS2).