17

Question 1

Потенциальное векторное поле.

Answer 1

Векторное поле F(r) называется потенциальным, если оно является полем градиента некоторого скалярного поля u(r), которое называется скалярным потенциалом поля F.

F = -grad u

Question 2

Доказательство необходимого и достаточного условия потенциальности поля

Answer 2

Для того чтобы векторное поле F(r) было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым, то есть:

rot F = 0

Необходимость

Пусть поле F(r) является потенциальным. Тогда по определению существует скалярное поле u(r), такое что:

F = -grad u

Применяя ротор к обеим частям этого выражения и используя то, что ротор градиента любого скалярного поля равен нулю, получаем:

rot F = rot (-grad u) = 0

Следовательно, F(r) является безвихревым.

Достаточность

Пусть F(r) является безвихревым, то есть:

rot F = 0

Мы должны показать, что существует скалярное поле u(r), такое что:

F = -grad u

Рассмотрим интеграл:

u(r) = -∫(r0)^(r) F · dr

Этот интеграл зависит только от начальной и конечной точек, поскольку F является безвихревым. Это следует из теоремы о среднем значении для интегралов.

Таким образом, F = -grad u является достаточным условием потенциальности поля.

Question 3

Выражение потенциального поля через скалярный потенциал

Answer 3

Векторное поле F выражается через скалярный потенциал u следующим образом:

F = -grad u