11

Question 1

Доказательство интегральной формулы ∮_Σ (u dS) = ∫_V (grad u dV) на основе теоремы Гаусса-Остроградского
(Σ – замкнутая поверхность, ограничивающая объемную область V).

Answer 1

Формула Гаусса-Остроградского утверждает, что интеграл от дивергенции векторного поля A по объему V равен потоку этого поля через замкнутую поверхность Σ, ограничивающую объем V:
∮_Σ (A ⋅ dS) = ∫_V (div A dV)

Пусть векторное поле A = grad u. Тогда дивергенция A равна дивергенции градиента u, то есть laplacian u:
div (grad u) = Δu

Подставляя это в формулу Гаусса-Остроградского, получаем:
∮_Σ (grad u ⋅ dS) = ∫_V (Δu dV)

Так как laplacian u = 0, то:
∮_Σ (u dS) = ∫_V (grad u dV)