RACIOCÍCNIO Flashcards
(151 cards)
1
Q
Tipos de proposições
A
- Simples → Uma única proposição
- Composta → União de 2 ou mais proposições simples
2
Q
Proposição É uma sentença declarativa, que será expressa por meio de
A
palavras e números. Uma frase em que nós possamos atribuir a ela o valor VERDADEIRO ou FALSO.
3
Q
O modificador NÃO
A
A negação do NÃO pode aparecer de duas formas, na forma de um til ou numa forma de
cantoneira.
4
Q
O NÃO pode vir de forma disfarçada, termos em que se pode trazer a ideia de uma negação:
A
não é verdade, é falso, é mentira.
5
Q
montagem dessa tabela-verdade:
A
Descobrir o número de linhas dessa tabela-verdade – o número de linhas é = 2p
, onde “p” é o número das proposições simples que formam essa proposição composta.
6
Q
em qual situação a conjunção será verdadeira ?
A
quando seus valores lógicos forem todos verdadeiros.
7
Q
qual será o valor lógico da disjunção inclusiva ?
A
quando as duas forem falsa o valor da proposição será falso nos demais casos serão verdadeiros.
8
Q
QUAL O VALOR LÓGICO DA CONDICIONAL ?
A
VERA FICHER SERÁ FALSO.
9
Q
Na bicondicional qual situação terei senteça verdadeira ?
A
Quando ambas forem verdadeiras ou ambas falsas.
10
Q
na Disjunção Exclusiva (v) (OU…OU) para se ter uma sentença verdadeira quais valores lógicos devem ser assumidos?
A
verdadeiro e falso ou falso e verdadeiro.
11
Q
uma proposição composta formada pela mesma proposição simples é equivalente a
A
ela própria.
1ª) p ^ p = p
2ª) p v p = p
12
Q
A EQUIVALENTE DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA PODE SER UMA COMUTATIVA ?
A
PODE,
3ª) p ^ q = q ^ p
4ª) p v q = q v p
5ª) p ↔ q = q ↔ p
Ex.: “estudo e passo” é equivalente a “passo e estudo”.
13
Q
Qual a equivalente da bicondicional ?
A
(p → q) ^ (q → p)
14
Q
EQUIVALÊNCIA DE CONDICIONAL
A
“inverte e nega” ~Q → ~P; “troca pelo ou” ~P v Q; aplicação da propriedade comutativa.
15
Q
Enquanto alternativa, existe uma situação chamada de troca pelo “se então”, tratando-se de uma adaptação da própria troca pelo “ou”. No exemplo de troca pelo “ou”, inicia-se por uma condicional e se encerra em uma disjunção, negando a primeira e mantendo a segunda:
A
v
16
Q
Por outro lado, na regra do “se então”, ao invés de iniciar o processo por uma condicional, ele começará por uma disjunção e terminará em uma condicional, negando a primeira e mantendo a segunda:
A
Disjunção: p V q
Condicional: ~p → q
17
Q
Uma afirmação logicamente equivalente à afirmação: ‘Se planto no tempo certo, então
a colheita é melhor’, é:
a. A colheita é melhor ou não planto no tempo certo.
b. Não planto no tempo certo e a colheita é melhor.
c. Se não planto no tempo certo, então a colheita não é melhor.
d. Ou planto no tempo certo ou a colheita é melhor.
e. Se a colheita é melhor, então planto no tempo certo.
A
1ª Tentativa: inversão e a negação de ambos.
Se a colheita não é melhor (~CM) → Não planto no tempo certo (~PTC)
2ª Tentativa: troca pelo “OU” (nega-se a primeira e mantém-se a segunda).
Não planto no tempo certo (~PTC) OU a Colheita é Melhor (CM)
3ª Tentativa: aplicação da propriedade comutativa.
A colheita é Melhor (CM) OU Não planto no tempo certo (~PTC)
18
Q
QUAL A EQUIVALENTE DE Disjunção: p V q
A
Condicional: ~p → q
19
Q
- A frase “O atleta venceu a corrida ou a prova foi cancelada” de acordo com a lógica
proposicional é equivalente à frase:
A
~AVC → PC
“Se o atleta não venceu a corrida ~(AVC), então a prova foi cancelada (PC)”
20
Q
Considere a afirmação: “Mateus não ganha na loteria ou ele compra aquele carrão”.
Uma afirmação equivalente a essa afirmação é:
A
Mateus não ganha na loteria (~MGL) V Mateus compra aquele carrão (MCC)
Ocorre uma dupla negação:
~(~P) = P
MGL → MCC
“Mateus ganha na loteria (MGL) ou ele compra aquele carrão (MCC)”
21
Q
- Dizer que “Joaquim é músico ou Sheila é médica” é logicamente equivalente a dizer que:
a. Se Joaquim é musico, então Sheila é médica.
b. Se Sheila não é médica, então Joaquim é músico.
c. Joaquim é músico se e somente se Sheila é médica.
d. Sheila não é médica e Joaquim não é músico.
A
JM V SM
~JM → SM
“Se Joaquim não é músico (~JM), então Sheila é médica (SM)”
A proposição construída não consta dentre as opções da questão. A primeira forma de
se chegar à resposta é considerar a proposição condicional elaborada e aplicar a ela o
“inverte nega”:
~SM → JM
Se Sheila não é médica ~(SM), então Joaquim é músico (JM)”
A segunda forma de se alcançar a resposta é a aplicação da propriedade comutativa na
proposição original e a partir dela, considerar a troca pelo “se então”:
JM V SM
SM V JM
~SM → JM
22
Q
Negação da Conjunção e Disjunção
~(P^Q)
~(PvQ)
A
negar a primeira proposição e também a segunda. Após, deve ocorrer a troca do “e” pelo “ou” e vice-versa:
~(P^Q) = ~Pv~Q
~(PvQ) = ~P^~Q
Para tais situações, é possível utilizar a propriedade comutativa.
23
Q
Algumas bancas como o CESPE chamam a negação da conjunção e disjunção de
“leis de Morgan”.
A
V
24
Q
Negação da Condicional
~(p→q)
A
p^~q
Aplicação do procedimento “MANÉ”:
* Manter a primeira proposição;
* Negar a segunda proposição;
* Troca do “Se então” para o “E”.
25
negação ~(P^Q)
P → ~Q (Conjunção → Condicional)
26
1. Considere a sentença: “Se pratico esportes, então fico feliz”. A negação lógica dessa sentença é:
mantendo a primeira ‘‘pratico
esportes’’, nega a segunda, ‘não fico feliz’ e no lugar do “se...então”, troca-se pelo ‘’E’’:
Pratico esporte E NÃO fico feliz.
27
2. Considere a sentença: “Corro e não fico cansado”. Uma sentença logicamente equivalente à negação da sentença dada é:
a. Se corro então fico cansado.
b. Se não corro então não fico cansado.
c. Não corro e fico cansado.
d. Corro e fico cansado.
e. Não corro ou não fico cansado.
segue a negação do “E” para o “OU”. Não deu, então recorda-se da negação
do “E” trazendo para a condicional.* Neste caso, então, é a negação do OU transformar no “se...então”, utilizando-se o MANE:
Mantendo a primeira: Corro. Nega a segunda: negação de não fico cansado: Fico cansado.
No lugar do E coloca o “se então”. Se corro então fico cansado.
28
NEGAÇÃO DE ~ (A↔ B)
disjunção exclusiva ( ou....ou) A v B ( com tração abaixo do v)
29
Considere a sentença: “Se pratico esportes, então fico feliz”. A negação lógica dessa
sentença é:
a. “Se não pratico esportes, então não fico feliz.”
b. “Se não pratico esportes, então fico feliz.”
c. “Se pratico esportes, então não fico feliz.”
d. “Pratico esportes e não fico feliz.”
e. “Não pratico esportes e fico feliz.”
* A sentença é uma condicional.
* Para negar uma condicional, utiliza-se a regra do “MANE”, mantendo a primeira ‘‘pratico
esportes’’, nega a segunda, ‘não fico feliz’ e no lugar do “se...então”, troca-se pelo ‘’E’’:
Pratico esporte E NÃO fico feliz.
30
Considere a sentença: “Corro e não fico cansado”. Uma sentença logicamente equivalente à negação da sentença dada é:
a. Se corro então fico cansado.
b. Se não corro então não fico cansado.
c. Não corro e fico cansado.
d. Corro e fico cansado.
e. Não corro ou não fico cansado.
* Quando se pede uma questão de equivalência de negação, segue-se a linha da negação, pois toda negação é um tipo específico de equivalência.
* O raciocínio que se necessita ter é a negação do “E” que é o “OU”, negando ambas: ‘Não
corro’ e negação de não fica cansado é ‘fico cansado’ e no lugar do “E”, trocar por “OU”:
Não corro OU fico cansado.
Dentre as alternativas da questão, não há essa resposta: Não corro OU fico cansado. De
maneira que poderia se induzir o pensamento de ser a alternativa correta a letra c, porém
não é porque não há que se falar em E se está com o OU na frase.
* A ideia que se tem é que quando se tem a negação no “E”, pode-se ir pelos dois caminhos: para o “Ou” e para o “SE ENTÃO”. Normalmente, o caminho mais comum, diferente
do que se colocou na equivalência, de que quando não se faz um faz o outro, é mais comum, tem sido cobrado muito mais, a negação do “E” tanto do “OU”, estando na condicional que então segue a negação do “E” para o “OU”. Não deu, então recorda-se da negação
do “E” trazendo para a condicional.
* Neste caso, então, é a negação do OU transformar no “se...então”, utilizando-se o MANE:
Mantendo a primeira: Corro. Nega a segunda: negação de não fico cansado: Fico cansado.
No lugar do E coloca o “se então”. Se corro então fico cansado.
* É preciso ater bastante atenção aos detalhes. Seja a negação do “E”, “OU”, seja chegando no “Se então”
31
É necessário compreender que, se tem duas proposições, A e B e nega-se, utilizando o conectivo da bicondicional:~ (A↔ B).
Neste caso, repete-se o A, repete-se o B e se troca pelo “ou, ou”: A v B( disjunção exclusiva com traço embaixo do v) . Desta maneira, vai retirar da negação e ficará na afirmação, com as mesmas proposições simples.
32
Se a questão solicitar a ~ (A v B).
Mantém-se a proposição A, mantém-se a proposição B trocando o conectivo “Se, somente se”: A↔B.
33
A negação da bicondicional ↔ é a disjunção exclusiva v, negação da disjunção exclusiva v é a bicondicional ↔.
v
34
Analise a proposição composta a seguir: “Maria viaja para o Rio de Janeiro se e somente se Fernando viaja para São Paulo”. Assinale a alternativa que apresenta a negação
dessa proposição composta.
a. Maria não viaja para o Rio de Janeiro ou Fernando não viaja para São Paulo.
b. Maria não viaja para o Rio de Janeiro e Fernando não viaja para São Paulo.
c. Ou Maria viaja para o Rio de Janeiro ou Fernando viaja para São Paulo.
d. Ou Maria não viaja para o Rio de Janeiro ou Fernando não viaja para São Paulo.
e. Maria não viaja para o Rio de Janeiro ou Fernando viaja para São Paulo.
Busca-se a negação do se e somente se, preservando abas as proposições retirando o se somente se, colocando o ou, ou. “Ou Maria viaja para o Rio de Janeiro ou Fernando viaja
para São Paulo.”
35
“Ou cai o ministro da Fazenda, ou cai o dólar”. Acerca desse comentário, que constitui uma disjunção exclusiva, julgue o item seguinte. A negação da colocação do jornalista é equivalente a “Cai o ministro da Fazenda se, e somente se, cai o dólar”.
Na expressão “Ou cai o ministro da Fazenda, ou cai o dólar”, tem-se a disjunção exclusiva, com essa colocação.
* Quando se tem a negação e a equivalência na mesma questão trabalha-se com a regra
da negação.
* Para se fazer a negação da disjunção exclusiva, preserva-se as proposições e troca o “ou, ou” pelo ‘’se’’, e somente se.
36
A negação de “Se hoje não chove, então vamos pescar” é:
a. Hoje não chove e não vamos pescar
b. Se hoje não chove, então não vamos pescar.
c. Hoje chove e não vamos pescar.
d. Se hoje chove, então vamos pescar.
e. Chova ou não chova hoje, vamos pescar.
Na forma simbólica se tem a negação da condicional e tendo ela, aplica-se o MA NE. Ou seja, mantém a primeira ~de hoje chove, ~de vamos pescar, que é a segunda.
* No lugar do “se... então”, troca pelo “E”: ~HC ^ ~VP.
37
Considerando a proposição P: “Se o servidor gosta do que faz, então o cidadão-cliente
fica satisfeito”, julgue os itens a seguir.
A proposição “O servidor não gosta do que faz, ou o cidadão-cliente não fica satisfeito”
é uma maneira correta de negar a proposição P.
Para negar a proposição P, mantém a primeira proposição: Servidor gosta do que faz. Posteriormente, deve-se negar a segunda proposição: Cidadão-cliente não fica satisfeito e no lugar do “se... então”, e colocando o “E”: Servidor gosta do que faz e o cidadão cliente não fica satisfeito.
38
Uma afirmação que corresponde à negação lógica da afirmação: “Vou para Colômbia e
participarei de um congresso” é:
a. Se eu for para Colômbia, então participarei de um congresso.
b. Vou para Colômbia e não participarei de um congresso.
c. Se eu não for para Colômbia, então não participarei de um congresso.
d. Não vou para Colômbia e não participarei de um congresso.
e. Não vou para Colômbia ou não participarei de um congresso.
Negação lógica do “E”. Nega ambas e no lugar do “E” substitui pelo “OU”.
39
Certo dia Cesar disse: “Eu vim e venci”. Sabendo que a afirmação não é verdadeira, é correto concluir que César:
a. não veio e venceu.
b. veio e não venceu.
c. não veio e não venceu.
d. não veio ou não venceu.
e. se veio, não venceu.
A interpretação deve ser a seguinte:
2º Se essa informação é falsa, como é que ela fica verdadeira. – Quando se tem informação falsa e a deixa verdadeira? Quando negar essa proposição. A interpretação para essa questão tem que ser: Estou trabalhando com uma negação da conjunção.
* Nega-se ambas as proposições: Não vim, não venci. No lugar do “E” coloca o “OU”
40
Os advogados Miguel e Lucas conversam sobre determinado processo que vão receber:
– Miguel: Se esse processo é de “danos morais” então tem 100 páginas ou mais.
– Lucas: Não é verdade.
O que Lucas disse é logicamente equivalente a:
a. esse processo não é de danos morais e tem 100 páginas ou mais;
b. esse processo não é de danos morais ou tem menos de 100 páginas;
c. se esse processo não é de danos morais então tem 100 páginas ou mais;
d. se esse processo é de danos morais então tem 100 páginas ou menos;
e. esse processo é de danos morais e tem menos de 100 páginas.
A questão fala em logicamente equivalente, porém, o Lucas fala em não é verdade.
Nesse sentido, é como se Lucas dissesse: Não é verdade que se o processo é de danos
morais, então o processo tem mais de 100 páginas. (PDM→PT100). Essa é a interpretação. Esse ‘não é verdade’ dá a ideia de negação mesmo que o enunciado fale de equivalência porque a negação é um tipo específico de equivalência.
– Logo a sentença de negação é:~(PDM→PT100). Mantém-se a primeira sentença: PMD,
nega-se a segunda sentença: ~PT100 e se troca o “se...então” pelo “E”.
* Dizer que um processo não tem 100 páginas ou mais, é dizer que ele tem menos de 100 páginas.
* A situação quando se traduz, PDM e ~PT100, a leitura seria, esse processo é de danos morais e esse processo não tem 100 páginas ou mais. Busca-se essa questão, essa proposição de que “não tem”, tendo que se utilizar da interpretação de que quando se diz que um processo não tem 100 páginas ou mais, quer dizer que ele tem menos de 100 páginas.Obs.: São pegadinhas que podem aparecer na questão.
41
A proposição “Em uma pesquisa, foi constatado que cerca de 80% dos aprovados em concursos públicos são oriundos de escolas particulares de classe média” não é uma proposição simples.
Errado.
A sentença "Em uma pesquisa, foi constatado que cerca de 80% dos aprovados em concursos públicos são oriundos de escolas particulares de classe média" é declarativa, tem sentido completo, é possível atribuir um valor lógico (V ou F) e não pode ser dividida em mais de uma proposição.
Portanto é uma proposição, e é simples.
42
A sentença “𝑥 = 2.023” é uma proposição.
Para ser uma proposição, tem que ser uma oração declarativa onde podemos valorar como verdadeiro ou falso, dessa forma, ela tem que ter sujeito e predicado, aqui temos uma sentença e não uma proposição. Portanto, a afirmação está ERRADA
43
A frase “Natal é tempo de renovação!” é considerada uma proposição.
Lembremos que uma proposição é uma oração declarativa que pode ser valorada como verdadeira ou falsa, aqui temos uma oração exclamativa, logo não pode ser uma proposição. Portanto, a afirmação está ERRADA, letra E.
44
“Red Hot Chili Peppers é a maior banda de funk rock de todos os tempos!” é uma proposição.
e
Não são proposições, sentenças que são:
a) Interrogativas;
b) Exclamativas;
c) Imperativas;
d) Sem verbos;
e) Abertas;
45
A negação de “A barata sempre mente” é “A barata nunca mente”.
De forma simplificada, negar que "A barata SEMPRE mente", basta dizer que a barata NEM SEMPRE MENTE. Ou seja, segue a mesma lógica do TODO ou o NENHUM:
46
A proposição “Se a Bahia é a capital de Salvador, então o Brasil está localizado na Europa” é falsa.
P: Bahia é a capital de Salvador (F)
Bahia não é a capital de Salvador, mas, Salvador é capital da Bahia.
Q: Brasil está localizado na Europa (F)
O Brasil está localizado na América do Sul.
F ---> F = V
47
A frase “Eu quebrei o vaso!” é uma proposição exclamativa.
Sendo assim, uma proposição não pode ser frases:
- interrogativa;
- exclamativa;
- paradóxo;
- verdadeira e falsa ao mesmo tempo;
- imperativas;
- sem verbo;
- sentenças abertas
GABARITO: ERRADO
48
“Pelé é o maior jogador de futebol de todos os tempos!” é uma proposição.
Sendo assim, uma proposição não pode ser frases:
- interrogativa;
- exclamativa;
- paradóxo;
- verdadeira e falsa ao mesmo tempo;
- imperativas;
- sem verbo;
- sentenças abertas
GABARITO: ERRADO
49
A frase “A Terra é um geoide?” é opinativa e, portanto, não pode ser considerada uma proposição.
A frase "A Terra é um geiode?" na verdade é uma sentença interrogativa, diferente do que o enunciado afirma. No entanto, continua não sendo uma proposição, pois não podem ser consideradas proposições as frases: opinativas, exclamativas, interrogativas e imperativas.
Gabarito: ERRADO.
50
A proposição “Sarita é santista ou Sarita não é santista” é uma contradição.
P ou ~P é uma tautologia
51
A frase “2022 é o ano do tigre!” é uma proposição cuja negação é “2022 não é o ano do tigre!”.
2022 é o ano do tigre! é uma frase exclamativa e frases exclamativas não são proposições.
Portanto, item ERRADO.
52
Considere a proposição a seguir.
P: “A maioria dos seguidores não acredita que seu líder não mente.”
“A maioria dos seguidores acredita que seu líder não mente.” é uma maneira apropriada de se negar a proposição P.
Vamos para a nossa solução:
P: “A maioria dos seguidores não acredita que seu líder não mente.”
P é uma proposição simples e para negar uma proposição simples, colocamos ou retiramos o "NÃO" na ação principal.
~P: A maioria dos seguidores não acredita que seu líder não mente.” então:
~P: A maioria dos seguidores acredita que seu líder não mente.”
Portanto, item CERTO.
53
“Joinville é a cidade mais bonita do mundo” é a negação de “Florianópolis é a cidade mais bonita do mundo”.
E
54
“Waldir é o pai de Pedro ou Gael é neto de Sarita” é uma proposição sempre verdadeira.
Vamos para a nossa solução:
Pedro é o pai de Anderson = Verdadeira
Waldir é o pai de Pedro = Verdadeira
Roseana é neta de Rodolfo = Falsa
O conectivo Disjunção "Ou" é falso somente quando todas as proposições forem falsas, ou seja, se uma ou mais forem verdadeiras o "ou" será verdadeiro.
Voltando para a questão:
Waldir é o pai de Pedro ou Gael é neto de Sarita
Waldir é o pai de Pedro = Verdadeira
Não importa saber se "Gael é neto de Sarita" é verdadeiro ou falso. Se uma parte do "ou" é verdadeira então toda a proposição será verdadeira.
Portanto, item CERTO.
55
P: “Não basta que juízes sejam equilibrados nos seus votos, eles também precisam parecer equilibrados em público”.
A respeito da proposição P, julgue os itens seguintes.
Para que a proposição P seja verdadeira, é necessário que todas as suas proposições simples constituintes sejam verdadeiras.
Trata-se de uma questão com o conectivo "E" ( Conjunção)
P: “Não basta que juízes sejam equilibrados nos seus votos E eles precisam parecer equilibrados em público”
A conjunção é verdadeira somente quando todas as proposições simples que ela é formada são verdadeiras.
Portanto, item CERTO.
56
P: Nos processos de justificações administrativas, quando o segurado apresentar testemunhas com valor de prova, a agência fornecerá um servidor exclusivo para o atendimento.
-
A partir da proposição precedente, julgue os itens a seguir.
Há apenas uma possibilidade de combinação de valores lógicos para as proposições simples que compõem P que a tornam falsa.
C
Vamos para a nossa solução:
Temos um condicional ( Se..., então... ).
Reescrevendo a Frase:
Se o segurado apresentar testemunhas com valor de prova nos processos de justificações administrativas, então a agência fornecerá um servidor exclusivo para o atendimento.
O conectivo condicional (Se..., então...) é falso somente quando a primeira proposição for verdadeira e a segunda proposição for falsa.
Portanto, item CERTO.
57
Considere a proposição a seguir.
P: “A maioria dos seguidores não acredita que seu líder não mente.”
Admitindo que as palavras maioria e minoria signifiquem, respectivamente, mais de 50% e menos de 50%, julgue os itens seguintes, à luz da lógica sentencial.
Infere-se da proposição P que “uma minoria acredita que seu líder não mente”.
V
58
A frase “Mônica é a dona da rua!” é uma proposição.
E
FRASE EXCLAMATIVA
59
A negação da proposição “Azul é a cor mais quente” é “Azul é a cor mais fria”.
Azul NÃO é a cor mais quente.
60
A frase “Diga não às drogas!” não é um exemplo de proposição.
frases exclamativas, interrogativas e imperativas NÃO são proposições.
61
A frase “Dois mil mais vinte mais dois” não é uma proposição.
Não São Proposições:
1) Frases interrogativas
2) Frases exclamativas
3) Frases imperativas
4) Frases sem verbo
5) frases Optativas ( Vai com Deus )
6) Sentenças abertas ( uso de variáveis não definidas)
7) Uso de pronomes onde não identificamos de quem falamos ( Ela é bonita )
8) Paradoxos.
Portanto, item CERTO.
62
A sentença “Ele fez o pedido ao INSS” é uma sentença aberta.
Certo.
Sentenças abertas são expressões nas quais não podemos identificar o sujeito da ação, de modo que não se pode atribuir à sentença nem Verdadeiro nem Falso. No exemplo “Ele fez o pedido ao INSS”, você irá questionar quem é “ele”. Logo, a sentença citada se trata de uma sentença aberta.
Portanto, o item está CERTO.
63
A negação de “João come salada no almoço todos os dias” é “João nunca come salada no almoço”.
A negação de TODO é PELO MENOS UM, logo, a negação é:
"João não come salada no almoço em pelo menos um dia"
' FALTOU ENTENDER A FRASE COMPLETAMENTE'
64
A frase “Eu quero muito ouro!” é um exemplo de proposição lógica.
E
Não São Proposições:
1) Frases interrogativas
2) Frases exclamativas
3) Frases imperativas
4) Frases sem verbo
5) frases Optativas ( Vai com Deus )
6) Sentenças abertas ( uso de variáveis não definidas)
7) Uso de pronomes onde não identificamos de quem falamos ( Ela é bonita )
8) Paradoxos.
65
A frase “Hoje está frio?” não pode ser considerada uma proposição, porque não pode ser classificada como verdadeira ou falsa.
C
Não São Proposições:
1) Frases interrogativas
2) Frases exclamativas
3) Frases imperativas
4) Frases sem verbo
5) frases Optativas ( Vai com Deus )
6) Sentenças abertas ( uso de variáveis não definidas)
7) Uso de pronomes onde não identificamos de quem falamos ( Ela é bonita )
8) Paradoxos.
66
A negação da sentença “O Policial acredita que o suspeito é culpado” é “O policial acredita que o suspeito não é culpado”.
Errado.
A sentença “O Policial acredita que o suspeito é culpado” é uma proposição simples cuja negação é formada através da negação da ação do sujeito. Assim, a negação da sentença será expressa por “O policial não acredita que o suspeito é culpado”.
67
“Leia o enunciado com calma.” é uma proposição simples.
Errado.
Uma proposição é uma oração declarativa que pode ser classificada em verdadeira ou em falsa – possui sujeito, predicado e não é exclamativa, interrogativa, imperativa, não expressa desejo, não é um paradoxo e não é aberta.
“Leia” é um verbo imperativo, logo, o item está errado.
68
A negação da expressão “O delegado acredita que o suspeito será julgado em tempo recorde” é equivalente a “O delegado acredita que o suspeito não será julgado em tempo recorde”.
Errado.
A expressão em questão se trata de uma proposição simples e para negá-la basta negar a ação do sujeito, assim a negação da expressão “O delegado acredita que o suspeito será julgado em tempo recorde” será equivalente a “O delegado NÃO acredita que o suspeito será julgado em tempo recorde”. Portanto, o item é ERRADO.
69
Admitindo que as proposições “Pedro é o pai de Anderson” e “Waldir é o pai de Pedro” são verdadeiras e que a proposição “Roseana é neta de Rodolfo” é falsa, julgue os itens de 21 a 24.
“Waldir é o avô de Anderson” é uma proposição verdadeira.
Edimilson Lopes Dias Junior 22 de Março de 2023 às 08:37
"Pedro é o pai de Anderson” e “Waldir é o pai de Pedro”
Se Waldir é pai do pai de Anderson, então Waldir é avô de Anderson
Waldir ----> Pedro -----> Anderson
gabarito, certo
70
A negação de “Todo poodle sente grande ciúme de outros cães” é “Existe poodle que não sente grande ciúme de outros cães”.
V
71
“O fiador não toma uma decisão que não prejudica as finanças do devedor.” é uma maneira apropriada de negar a proposição “O fiador toma uma decisão que prejudica as finanças do devedor.”.
Veja que a frase que queremos negar é : O fiador toma uma decisão que prejudica as finanças do devedor.”.
Perceba que aqui, temos uma proposição simples e o verbo princiapal é dado pelo verbo tomar. Assim, a negação da proposição é feita mantendo o sujeito ( O fiador) e negando o verbo principal( Verbo tomar)
Dessa forma, a negação da frase é : “O fiador não toma uma decisão que prejudica as finanças do devedor.”
gabarito, errado
72
A seguinte afirmação é uma proposição: A quantidade de formigas no planeta Terra é maior que a quantidade de grãos de areia.
V
73
Princípio da Identidade:
Uma proposição verdadeira é sempre verdadeira, e uma proposição falsa é sempre falsa.
74
Princípio da Não Contradição:
Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
75
Princípio do Terceiro Excluído:
Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa. Não existe um terceiro valor "talvez".
76
A lógica bivalente não obedece ao princípio da não contradição, segundo o qual uma proposição não assume simultaneamente valores lógicos distintos.
O princípio da não contradição enuncia que uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo
tempo. A lógica bivalente obedece a esse princípio e também aos outros dois: identidade e terceiro excluído.
Gabarito: ERRADO.
77
(TRE-ES/2011) Segundo os princípios da não contradição e do terceiro excluído, a uma proposição pode ser atribuído um e somente um valor lógico.
O princípio da não contradição nos diz que uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo
tempo. Somente com esse princípio, poderíamos ter uma proposição ao mesmo tempo com o valor lógico V e com um outro valor lógico que não seja o F. Poderíamos, por exemplo, ter uma proposição ao mesmo tempo V e T ("talvez").O princípio do terceiro excluído nos diz que uma proposição ou é verdadeira ou é falsa. Ele exclui a existência de um terceiro valor lógico, como o “talvez”.Assim, juntando os dois princípios, conclui-se que a uma proposição pode ser atribuído um e somente um valor lógico.
Gabarito: CERTO
78
Negação de proposições simples
A negação de uma proposição simples p gera uma nova proposição simples ~p.
Uso do "não" e de expressões correlatas: "não", "não é verdade que", "é falso que".
A nova proposição ~p sempre terá o valor lógico oposto da proposição original p.
79
Se a proposição original é uma sentença declarativa negativa, a negação dela será uma sentença
declarativa afirmativa.
q: "Taubaté não é a capital do Mato Grosso."
~q: "Taubaté é a capital do Mato Grosso."
80
Negação usando antônimos:
nem sempre o uso de um antônimo nega a proposição original. "O Grêmio venceu o jogo". É errado dizer que a negação é "o Grêmio perdeu o jogo", porque o jogo poderia ter empatado. Sempre evite o uso de antônimos para negar uma proposição. Lembre-se que uma das formas tradicionais
de se negar uma proposição sem utilizar antônimos é incluir "não é verdade que" no início dela.
81
Número par de negações:
proposição equivalente a original
82
Número ímpar de negações:
nova proposição é a negação da proposição original.
83
a negação de p é representada por ~p ou ¬p (lê-se: "não p"). Exemplo:
p: "Porto Alegre é a capital do Ceará."
~p: "Porto Alegre não é a capital do Ceará."
Uma outra forma de se negar a proposição original sugerida é inserir expressões como "não é verdade
que...", "é falso que..." no início:
~p: "Não é verdade que Porto Alegre é a capital do Ceará."
~p: "É falso que Porto Alegre é a capital do Ceará."
84
Valor lógico da negação de uma proposição
A nova proposição ~p sempre terá o valor lógico oposto da proposição original p. Isso significa que se p é
falsa, ~p é verdadeira, e se p é verdadeira, ~p é falsa.
85
Negação de proposições que são sentenças declarativas negativas
"Taubaté não é a capital do Mato Grosso."
Sua negação pode ser escrita das seguintes formas:
~q: "Não é verdade que Taubaté não é a capital do Mato Grosso."
~q: "É falso que Taubaté não é a capital do Mato Grosso."
~q: "Taubaté é a capital do Mato Grosso."
86
(IDAM/2019) A negação de uma negação, na lógica proposicional, é equivalente a:
Comentário Por "negação de uma negação", entende-se que a questão quis se referir à negação de uma proposição do tipo sentença declarativa negativa.
Ao se negar uma sentença declarativa negativa, obtém-se uma sentença declarativa afirmativa, ou uma
"afirmação", conforme a letra B. Exemplo:
p: "Pedro não é engenheiro."
~p: "Pedro é engenheiro."
Uma possível "pegadinha" seria a alternativa A. Ocorre que verdade é um valor lógico (V), e não sabemos
se a proposição original é verdadeira ou se é falsa.
Gabarito: Letra B.
87
Negação de período composto por subordinação
p: "Pedro respondeu que estudou todo o edital."
Perceba que temos dois verbos, "respondeu" e "estudou" e, portanto, estamos diante de duas orações. Para negar a proposição corretamente, nega-se a oração principal.
~p: "Pedro não respondeu que estudou todo o edital."
Para negar uma proposição simples formada por uma oração principal e por orações
subordinadas, devemos negar o verbo da oração principal.
Em um período composto por subordinação, nem sempre a oração principal aparece primeiro.
Isso significa que nem sempre é o primeiro verbo que deve ser negado.
88
(TCDF/2014) A negação da proposição “O tribunal entende que o réu tem culpa” pode ser expressa por “O
tribunal entende que o réu não tem culpa”.
'
Comentários:
Estamos diante de uma proposição simples, que pode ser reescrita como:
p: “O tribunal entende que o réu tem culpa.”
p: “O tribunal entende isso.”
Para negar a proposição, nega-se o verbo da oração principal:
~p: “O tribunal não entende isso.”
Retornando para os termos da proposição original:
~p: “O tribunal não entende que o réu tem culpa.”
Gabarito: ERRADO.
89
Condição suficiente e condição necessária
Quando temos uma condicional p→q, podemos dizer que:
* p é condição suficiente para q;
* q é condição necessária para p.
Considere a condicional abaixo:
p→q: “Se Pedro vai ao parque, então Maria vai ao cinema.”
Podemos reescrevê-la dos seguintes modos:
p→q: “Pedro ir ao parque é condição suficiente para Maria ir ao cinema.”
p→q: “Maria ir ao cinema é condição necessária para Pedro ir ao parque.”
90
(BB/2008) A proposição "Se as reservas internacionais em moeda forte aumentam, então o país fica
protegido de ataques especulativos" pode também ser corretamente expressa por "O país ficar protegido de
ataques especulativos é condição necessária para que as reservas internacionais aumentem".
Comentários:
Veja que a proposição original é uma condicional com o tradicional conectivo “se... ,então”. Para reescrever
na forma “q é condição necessária para p”, devemos escrever invertendo a ordem entre p e q:
p→q: “Se as reservas internacionais em moeda forte aumentam, então o país fica protegido de ataques
especulativos.”
p→q: “O país ficar protegido de ataques especulativos é condição necessária para que as reservas
internacionais em moeda forte aumentem.”
Observe que a questão omitiu a expressão “em moeda forte”, que qualifica as “reservas internacionais”. Isso
em nada altera o gabarito.
Gabarito: CERTO.
91
(PGE PE/2019) Se uma proposição na estrutura condicional — isto é, na forma p→q, em que p e q são
proposições simples — for falsa, então o precedente será, necessariamente, falso.
Comentários:
A questão afirma que, para uma condicional p→q ser falsa, devemos ter o precedente p necessariamente
falso.
Da tabela-verdade condicional, sabemos que a condicional é falsa somente no caso V→F, isto é, somente
quando o precedente é verdadeiro ao mesmo tempo em que o consequente é falso.
O gabarito, portanto, é ERRADO.
Gabarito: ERRADO.
92
(CM Maringá/2017) Uma proposição condicional tem valor falso se ambos, antecedente e consequente,
forem falsos.
Comentários:
Da tabela-verdade condicional, sabemos que a condicional é falsa somente no caso V→F, isto é, somente
quando o antecedente é verdadeiro ao mesmo tempo em que o consequente é falso.
Gabarito: ERRADO.
93
(CM Cabo de Sto. Agostinho/2019) Considere a seguinte proposição condicional:
“Se você usar a pasta dental XYZ, então seus dentes ficarão mais claros”.
Por definição, a recíproca dessa proposição condicional será dada por:
a) “Se você não usou a pasta dental XYZ, então seus dentes não estão mais claros.”
b) “Se você não usou a pasta dental XYZ, então seus dentes estão mais claros.”
c) “Se seus dentes não estão mais claros, então você usou a pasta dental XYZ.”
d) “Se seus dentes ficaram mais claros, então você usou a pasta dental XYZ.”
Comentários:
Sejam as proposições simples:
p: "Você usa a pasta dental XYZ."
q: "Seus dentes ficam mais claros."
O enunciado deu a condicional p→q e pede a sua recíproca q→p.
q→p: "Se seus dentes ficaram mais claros, então você usou a pasta dental XYZ."
Gabarito: Letra D.
94
Obtenção da recíproca da condicional
A recíproca da condicional é uma nova proposição composta completamente distinta da condicional
original, em que os termos antecedente e consequente são trocados.
Em resumo, para uma condicional qualquer p→q, a sua recíproca é dada por q→p. Considere, por exemplo,
a seguinte condicional p→q:
p→q: "Se Pedro vai ao parque, então Maria vai ao cinema."
A sua recíproca é dada por q→p:
q→p: "Se Maria vai ao cinema, então Pedro vai ao parque."
95
(CM Gramado/2019) Se P e Q são proposições falsas, então o valor lógico da proposição PQ é verdadeiro.
Comentários:
A bicondicional é verdadeira quando ambas as proposições apresentam o mesmo valor lógico. Para o caso
em questão, temos duas parcelas falsas. Logo, a bicondicional é verdadeira.
Gabarito: CERTO.
96
Condição necessária e suficiente
Em uma bicondicional, dizemos que p é condição necessária e suficiente para q, bem como dizemos que
q é condição necessária e suficiente para p.
Considere novamente a seguinte bicondicional:
pq: “Pedro vai ao parque se e somente se Maria vai ao cinema.”
Podemos representar essa bicondicional também desses dois modos:
* p é condição necessária e suficiente para q
pq: "Pedro ir ao parque é condição necessária e suficiente para Maria ir ao cinema."
* q é condição necessária e suficiente para p
pq: "Maria ir ao cinema é condição necessária e suficiente para Pedro ir ao parque."
97
(MME/2013) A representação simbólica correta da proposição "O homem é semelhante à mulher assim
como o rato é semelhante ao elefante" é
a) PQ
b) P
c) P∧Q
d) P∨Q
e) P→Q
Comentários:
Se definirmos as proposições simples P: "O homem é semelhante à mulher." e Q: "O rato é semelhante ao
elefante", o conectivo “assim como” une as duas proposições em uma bicondicional PQ.
PQ: "O homem é semelhante à mulher assim como o rato é semelhante ao elefante."
Gabarito: Letra A
98
(TRF 1/2006) Se todos os nossos atos têm causa, então não há atos livres. Se não há atos livres, então todos
os nossos atos têm causa. Logo,
a) alguns atos não têm causa se não há atos livres.
b) todos os nossos atos têm causa se e somente se há atos livres.
c) todos os nossos atos têm causa se e somente se não há atos livres.
d) todos os nossos atos não têm causa se e somente se não há atos livres.
e) alguns atos são livres se e somente se todos os nossos atos têm causa.
Comentários:
Observe que, se tratarmos como uma única proposição composta as frases do enunciado, temos a forma
alternativa da bicondicional se p, então q e se q, então p, onde p e q são:
p: "Todos os nossos atos têm causa."
q: "Não há atos livres."
Gabarito: Letra C.
99
(SEFAZ CE/2021) Julgue o item seguinte, considerando a estrutura lógica das situações apresentadas em
cada caso.
Suponha que a afirmação “Carlos pagará o imposto ou Ana não comprará a casa.” seja falsa. Nesse caso, é
correto concluir que Ana comprará a casa.
Comentários:
Considere as seguintes proposições simples:
c: "Carlos pagará o imposto."
a: "Ana comprará a casa."
Note que a afirmação do enunciado é dada pela disjunção inclusiva c∨~a:
c∨~a: “(Carlos pagará o imposto) ou (Ana não comprará a casa).”
Para que a disjunção inclusiva seja falsa, ambas as parcelas, c e ~a, devem ser falsas. Como ~a é falso, temos
que a é verdadeiro. Portanto:
"Ana comprará a casa." é verdadeiro.
Logo, é correto concluir que Ana comprará a casa.
Gabarito: CERTO.
100
(PGE PE/2019) Se as proposições “A afirmação foi feita pelo político” e “A população acredita na afirmação
feita pelo político” forem falsas, então a proposição “Se a afirmação foi feita pelo político, a população não
acredita na afirmação feita pelo político” também será falsa.
Comentários:
Considere as proposições simples:
a: "A afirmação foi feita pelo político."
p: "A população acredita na afirmação feita pelo político."
O exercício pergunta se a proposição composta a→~p é falsa.
a→~p: "Se [a afirmação foi feita pelo político], [a população não acredita na afirmação feita pelo político]."
Sabemos proposição a é falsa. Além disso, temos que a proposição ~p é verdadeira, pois p é falsa.
Consequentemente, a condicional a→~p apresentada é da forma F→V, que é uma condicional verdadeira.
Isso porque, conforme visto na teoria, a condicional é falsa somente no caso V→F.
Logo, a assertiva está errada, pois ela diz que a condicional proposta é falsa.
101
(Pref. Bagé/2020) Se A e B são proposições simples verdadeiras, então o valor lógico de (A∧~B)→~A é falso.
Vamos substituir os valores lógicos das proposições simples A e B em (A∧~B)→~A.
(A∧~B)→~A
(V∧~(V))→~(V)
A negação transforma aquilo que é verdadeiro em falso. Ficamos com:
(V∧F)→F
A conjunção é verdadeira somente quando ambas as parcelas são verdadeiras. Logo, (V∧F) é falso. Ficamos
com:
F→F
O condicional é falso somente quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso. Logo, temos um
condicional verdadeiro.
Portanto, para A e B verdadeiros, (A∧~B)→~A é verdadeiro.
Gabarito: ERRADO.
102
(PM AM/2022) Sabe-se que a sentença “Se o sapato é preto, então a meia é preta ou o cinto é preto” é
FALSA.
É correto concluir que
a) o sapato é preto, a meia não é preta, o cinto não é preto.
b) o sapato é preto, a meia é preta, o cinto não é preto.
c) o sapato é preto, a meia é preta, o cinto é preto.
d) o sapato não é preto, a meia não é preta, o cinto não é preto.
e) o sapato não é preto, a meia é preta, o cinto é preto.
Comentários:
Considere as proposições simples:
s: "O sapato é preto."
m: "A meia é preta."
c: "O cinto é preto."
Note que a sentença apresentada corresponde a s→m∨c.
s→m∨c: “Se [o sapato é preto], então [(a meia é preta) ou (o cinto é preto)].”
O enunciado afirma que a condicional anterior é falsa. Isso significa que o antecedente da condicional é
verdadeiro e o consequente da condicional é falso. Logo:
* s é verdadeiro; e
* m∨c é falso.
Para que a disjunção inclusiva m∨c seja falsa, é necessário que ambos os termos sejam falsos. Logo:
* m é falso; e
* c é falso.
Consequentemente, temos:
* ~m é verdadeiro; e
* ~c é verdadeiro.
Portanto, podemos concluir corretamente que:
* "O sapato é preto." (s é verdadeiro);
* "A meia não é preta." (~m é verdadeiro); e
* "O cinto não é preto." (~c é verdadeiro).
Gabarito: Letra A.
103
Ordem de precedência da negação e dos conectivos
1. Realizar a negação abrangendo o menor enunciado possível (~);
2. Conjunção (∧);
3. Disjunção inclusiva (∨);
4. Disjunção exclusiva (∨);
5. Condicional (→);
6. Bicondicional ().
No exemplo dado, "~ p → q ∧ r ", devemos observar que a negação se refere exclusivamente a p. Em seguida,
realiza-se a conjunção e, por último, a condicional. Desse modo, o exemplo pode ser melhor escrito da
seguinte forma:
(~ p) → (q ∧ r)
104
(Pref. Farroupilha/2018) Dada a proposição
(p∨¬q)→(p∧q)
Indique o termo com maior prioridade.
a) ¬q
b) p
c) p∧q
d) →
e) q
Comentários:
Vimos que, na ordem de precedência, a negação apresenta a maior prioridade.
O gabarito, portanto, é letra A.
Gabarito: Letra A.
105
(TCU/2004) Suponha que P represente a proposição “Hoje choveu”, Q represente a proposição “José foi à
praia” e R represente a proposição “Maria foi ao comércio”. Com base nessas informações, julgue o item
seguinte.
A sentença “Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia” pode ser corretamente
representada por:
~P→(~R∧~Q)
Comentários:
Observe que a banca omitiu o "Se" da condicional apresentada, de modo que podemos entender a sentença
original do seguinte modo:
“Se hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia”
A principal dúvida que surge na questão é se a sentença apresentada deve ser representada por
(~P→~R)∧~Q ou por ~P→(~R∧~Q).
106
(EBSERH/2018) Considere as seguintes proposições: P: O paciente receberá alta; Q: O paciente receberá
medicação; R: O paciente receberá visitas.
Tendo como referência essas proposições, julgue o item a seguir, considerando que a notação ~S significa a
negação da proposição S.
A proposição ∼P→[Q∨R] pode assim ser traduzida: Se o paciente receber alta, então ele não receberá
medicação ou não receberá visitas.
Comentários:
Vamos montar a condicional ~P→(Q∨R) para ver se ela corresponde àquilo que o enunciado diz.
~ P: "O paciente não receberá alta"
Q∨R: "(O paciente receberá medicação) ou (o paciente receberá visitas)."
Assim, a condicional fica assim:
~P→(Q∨R): "Se [o paciente não receber alta], então [(o paciente receberá medicação) ou (o paciente
receberá visitas)]"
Note que tradução da proposição está errada, pois o enunciado descreveu em língua portuguesa outra
proposição: P→(~Q∨~R).
P→(~Q∨~R): "Se [o paciente receber alta], então [(ele não receberá medicação) ou (não receberá
visitas)]."
Gabarito: ERRADO.
107
(AFT/2013) Julgue o item subsequente, relacionado a lógica proposicional.
A sentença “O crescimento do mercado informal, com empregados sem carteira assinada, é uma
consequência do número excessivo de impostos incidentes sobre a folha de pagamentos” pode ser
corretamente representada, como uma proposição composta, na forma P→Q, em que P e Q sejam
proposições simples convenientemente escolhidas.
Comentários:
Embora o período seja longo, nesse caso estamos diante de uma única oração. "Do número excessivo de
impostos incidentes sobre a folha de pagamentos" somente complementa "consequência" e pode ser
substituído por "disso".
Podemos remover também a expressão "com empregados sem carteira assinada", que somente explica o
"mercado informal".
“O crescimento do mercado informal, com empregados sem carteira assinada, é uma consequência do
número excessivo de impostos incidentes sobre a folha de pagamentos."
“O crescimento do mercado informal é uma consequência disso."
Trata-se, portanto, de uma proposição simples.
Gabarito: ERRADO.
108
(MEC/2015) Considerando que as proposições lógicas sejam representadas por letras maiúsculas e utilizando
os conectivos lógicos usuais, julgue o item a seguir a respeito de lógica proposicional.
A sentença “A aprovação em um concurso é consequência de um planejamento adequado de estudos” pode
ser simbolicamente representada pela expressão lógica P→Q, em que P e Q são proposições adequadamente
escolhidas.
Comentários:
Embora o período seja longo, nesse caso estamos diante de uma única oração. "De um planejamento
adequado de estudos" somente complementa "consequência" e pode ser substituído por "disso".
"A aprovação em um concurso é consequência de um planejamento adequado de estudos."
" A aprovação em um concurso é consequência disso."
Trata-se de uma proposição simples.
109
Dizemos que uma proposição p implica q quando a condicional p→q é uma tautologia. A representação da
afirmação "p implica q" é p ⇒ q.
p→q é uma condicional com o antecedente p e o consequente q.
p⇒q significa "p implica q", isto é, significa afirmar que "a condicional p→q é uma
tautologia".
110
(PC SE/2014) Diz-se que uma proposição composta A implica numa proposição composta B, se:
a) a conjunção entre elas for tautologia
b) o condicional entre elas, nessa ordem, for tautologia.
c) o bicondicional entre elas for tautologia
d) A disjunção entre elas for tautologia.
Comentários:
Dizer que uma proposição composta A implica numa proposição composta B significa dizer que a condicional
A→B é uma tautologia.
Gabarito: Letra B.
111
Equivalências lógicas
Duas proposições A e B são equivalentes quando todos os valores lógicos (V ou F) assumidos por elas são
iguais para todas as combinações de valores lógicos atribuídos às proposições simples que as compõem.
112
Equivalências fundamentais p→q
p→q ≡ ~q→~p
Contrapositiva
p→q ≡ ~p∨q
Transformação da condicional em disjunção inclusiva
113
Para negar "e":
negar ambas as proposições e trocar por "ou".
~ (p∧ q) ≡~p ∨~q
114
Para negar "ou":
negar ambas as proposições e trocar por "e".
~ (p∨q) ≡~p ∧~q
115
Negação da condicional
~ (p→q) ≡ p∧~q
116
Negação da bicondicional
O QUADRADO SIGNIFICA BICONDICIONAL
~(pq) ≡ p∨q( DISJUNÇÃO EXCLUSIVA)
~(pq) ≡ (~ p)q
~(pq) ≡ p(~ q)
~(pq) ≡ ( p∧~q) ∨ (q∧~p)
117
Equivalência do conectivo bicondicional
pq ≡ (~p)(~q)O QUADRADO SIGNIFICA BICONDICIONAL
118
Negação da conjunção para a forma condicional
~(p∧q) ≡ p→~q
~(p∧q) ≡ q →~p
119
Quando o termo comum é o consequente, a equivalência apresenta uma disjunção inclusiva no antecedente.
(p→r)∧(q→r) ≡ (p∨q)→r
120
Conjunção de condicionais Quanto o termo comum é o antecedente, a equivalência apresenta uma conjunção no consequente.
(p→q)∧(p→r) ≡ p→(q∧r)
121
O que é uma equivalência lógica
Quando duas proposições apresentam a mesma tabela-verdade dizemos que as proposições são equivalentes.
122
a equivalência fundamental da disjunção
A terceira equivalência fundamental para sua prova é a transformação da disjunção em uma condicional:
p∨q ≡ ~p→q
A equivalência é realizada do seguinte modo:
1. Nega-se o primeiro termo;
2. Troca-se a disjunção inclusiva (∨) pela condicional (→); e
3. Mantém-se o segundo termo.
123
(Pref. Campinas/2019) Uma afirmação equivalente a: “Os cantadores da madrugada saíram hoje ou eu não
ouço bem”, é
a) Os cantadores da madrugada não saíram hoje ou eu ouço bem.
b) Os cantadores da madrugada saíram hoje e eu ouço bem.
c) Se os cantadores da madrugada saíram hoje, então eu não ouço bem.
d) Os cantadores da madrugada não saíram hoje e eu ouço bem.
e) Se os cantadores da madrugada não saíram hoje, então eu não ouço bem.
Comentários:
Sejam as proposições simples:
m: "Os cantadores da madrugada saíram hoje."
o: "Eu ouço bem."
A afirmação original é dada pela disjunção inclusiva m∨~o.
m∨~o: "[Os cantadores da madrugada saíram hoje] ou [eu não ouço bem]."
Sabemos que a disjunção apresenta uma equivalência fundamental dada por p∨q ≡ ~p→q. Isto é, deve-se
realizar o seguinte procedimento:
* Nega-se o primeiro termo;
* Troca-se a disjunção inclusiva (∨) pela condicional (→); e
* Mantém-se o segundo termo.
Aplicando essa equivalência para proposição em questão, ficamos com:
m∨~o ≡ ~m→~o
A equivalência obtida é descrita por:
~m→~o: "Se [os cantadores da madrugada não saíram hoje], então [eu não ouço bem]."
Gabarito: Letra E.
124
Antes de adentrarmos no assunto, é importante esclarecer que não se deve confundir equivalência com negação.
Ao se construir negação de uma proposição, constrói-se uma nova proposição com valores lógicos sempre opostos aos da proposição original.
Veremos mais adiante, por exemplo, que a negação de p∧q é ~p∨~q. Nesse caso:
* Não podemos dizer que p∧q é equivalente a ~p ∨~q,
* Podemos dizer que ~(p∧q) é equivalente a ~p ∨~q, isto é, ~(p∧q) ≡ ~p ∨~q.
V
125
Dupla negação da proposição simples
Um resultado importante que pode ser obtido da tabela verdade é que a negação da negação de p sempre
tem valor lógico igual a proposição p, ou seja, é equivalente a p.
~(~p) ≡ p
126
Negação da condicional
A negação de p→q é realizada por meio da seguinte equivalência:
~ (p→q) ≡ p∧~q
A negação da condicional é realizada do seguinte modo:
1. Mantém-se o primeiro termo;
2. Troca-se a condicional (→) pela conjunção (∧); e
3. Nega-se o segundo termo.
Como exemplo, considere a condicional:
p→q: "Se [eu beber], então [dou gargalhadas]."
A negação dessa expressão pode ser escrita como:
~ (p→q) ≡ p∧~q: "[Eu bebo] e [não dou gargalhadas]."
127
Não confunda as seguintes equivalências
p→q ≡ ~p∨q
~(p→q) ≡ p∧~q
V
128
(EPE/2022) A negação da afirmativa “Se João vai ao jogo, então o Flamengo perde” é
a) João vai ao jogo e o Flamengo não perde.
b) João não vai ao jogo e o Flamengo perde.
c) João não vai ao jogo e o Flamengo não perde.
d) Se João não vai ao jogo, então o Flamengo perde.
e) Se João não vai ao jogo, então o Flamengo não perde.
Comentários:
Sejam as proposições simples:
j: "João vai ao jogo."
f: "O Flamengo perde."
A sentença original pode ser descrita por j→f:
j→f: “Se [João vai ao jogo], então [o Flamengo perde]”.
Para realizar a negação de uma condicional, usa-se a equivalência ~(p→q) ≡ p∧~q. Para aplicar essa
equivalência, devemos seguir o seguinte procedimento:
* Mantém-se o primeiro termo;
* Troca-se a condicional (→) pela conjunção (∧); e
* Nega-se o segundo termo.
Para o caso em questão, temos:
~(j→f) ≡ j∧~f
Logo, a negação pode ser descrita por:
j∧~f: "[João vai ao jogo] e [o Flamengo não perde]."
Gabarito: Letra A.
129
Negação da disjunção exclusiva
A negação da disjunção exclusiva mais comum é equivalente a própria bicondicional.
~(p∨q) ≡ pq( QUADRADO E UMA BICONDICIONAL)
Como exemplo, considere a disjunção exclusiva:
p∨q: "Ou jogo bola, ou jogo sinuca."
A negação dessa expressão é dada pelo bicondicional abaixo:
~(p∨q) ≡ pq: "Jogo bola se e somente se jogo sinuca."
130
(Pref. Vila Lângaro/2019) A negação da proposição “João passa no concurso público se e somente se João
estuda” é:
a) João não passa no concurso público se e somente se João não estudou.
b) João não passa no concurso público e João não estudou.
c) João passa no concurso público e João estuda.
d) Ou João passa no concurso público ou João estuda.
e) Se João passa no concurso público, então João estuda.
Comentários:
A proposição composta original é uma bicondicional pq cujos termos são:
p: " João passa no concurso público."
q: " João estuda."
As principais formas de se negar a bicondicional são:
~ (pq) ≡ p∨q EXCLUSIVA
~ (pq) ≡ (~ p)q QUADRAO BICONDICIONAL
~ (pq) ≡ p(~ q)
~ (pq) ≡ (p∧~ q) ∨ (q∧~p)
A primeira forma apresentada corresponde à letra D:
p∨q: " Ou [João passa no concurso público] ou [João estuda]."
As demais formas apresentadas nas alternativas não correspondem à negação da bicondicional. Especial
atenção deve ser dada à alternativa A, que apresenta uma equivalência do bicondicional, não uma negação:
pq ≡ (~p)(~q)
Gabarito: Letra D.
131
aula 2 de conjuntos pcce
132
CONJUNTO
é uma reunião de elementos (coleção de elementos).
133
Quando um elemento pertence a um conjunto, utilizamos o símbolo:
∈, que se lê:
“pertence”.
134
Elementos
são as partículas que estão dentro de cada conjunto.
135
Para afirmar que -7 é um número real, escrevemos
-7 ∈ IR.
136
Para afirmar que -5 não é um número natural, escrevemos
-5 ∉ IN.
137
D = {x ϵ Z*|-1 < x ≤ 7 }
O conjunto D é definido como o conjunto dos números inteiros, representado por Z*. Isso significa que, devido ao asterisco no “Z”, o conjunto inclui todos os números inteiros, exceto o zero. Assim, o conjunto D consiste nos números {-1, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7}.
138
Se todos os elementos de um conjunto A são também elementos de um conjunto B, dizemos que:
A está contido em B (A ⊂ B );
B contém A (B ⊃ A);
A é subconjunto de B;
A é parte de B.
139
Dado o conjunto A = { 2, 4, 6 }, temos os seguintes subconjuntos:
{ }, { 2 }, { 4 },{ 6 },{ 2,4 },{ 2,6 },{ 4,6},{ 2,4,6}
No total, temos 8 subconjuntos.
Os conjuntos { } e {2,4,6}, são chamados de subconjuntos triviais de A.
A tem n elementos, então A tem 2 n subconjuntos
140
(ALERO ANALISTA LEGISLATIVO/FGV/2018) O número de subconjuntos do conjunto {2,3,4,5,6,7,8} que têm, pelo menos, um número ímpar é
a. 112.
b. 113.
c. 114.
d. 115.
e. 116.
Ao analisar o enunciado da questão, normalmente, seria 2 elevado a 7, mas há uma condição adicional aqui: pelo menos um número ímpar deve estar presente em cada subconjunto, ou seja, cada subconjunto deve conter pelo menos um número ímpar. Para resolver isso, pode-se usar uma técnica chamada “pelo menos um”, que é útil em diversas
situações, como análise combinatória e probabilidade. A técnica consiste em calcular o total de possibilidades e subtrair aquelas que não satisfazem a condição. Voltando para a questão, primeiro, calcula-se o total, que é 2 elevado a “n”, onde “n” é o número de elementos. Então, 2 elevado a 7 é igual a 128. Isso mostra todos os subconjuntos
possíveis. Agora, precisa-se calcular quantos desses subconjuntos contêm apenas números pares, já que é necessário excluir esses casos. Para isso, é necessário contar os subconjuntos que
contêm apenas números pares, que são 2, 4, 6 e 8. Portanto, são 4 subconjuntos.
Calcula-se então 2 elevado a 4, que é igual a 16. Agora, subtraindo 16 de 128, encontra se a resposta: há 112 subconjuntos que contêm pelo menos um número ímpar. Isso inclui
também o conjunto vazio.
141
aula 2.1 de conjuntos pc ce
142
A união de conjuntos A e B é ...
conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.
A ∪ B = { x / x ∈ A ou x ∈ B }
143
A interseção de conjuntos A e B é
conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.
A ∩ B = { x / x ∈ A e x ∈ B }
144
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que ....
pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
A - B = { x / x ∈ A e x ∉ B }
145
A diferença entre os conjuntos A e B, representada por ...
A−B, consiste nos elementos que pertencem a A e não pertencem a B
146
O complementar do conjunto B contido no conjunto A, denotado por CAB, é ...
a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
CAB = A - B = { x / x ∈ A e x ∉ B }
147
Para o caso em que há dois conjuntos, é possível utilizar uma fórmula para calcular a união entre eles.
𝒏(𝑨∪𝑩)=𝒏(𝑨)+𝒏(𝑩)−𝒏(𝑨∩𝑩)
148
(EMBASA/TÉCNICO EM SEGURANÇA DO TRABALHO/AOCP/2022) No setor de transportes da EMBASA, há 235 servidores habilitados e que possuem permissão para dirigir qualquer
veículo da frota da empresa. Desses, 221 possuem habilitação do tipo B e 197 habilitação do tipo A. Nesse caso, quantos servidores desse setor possuem habilitação do tipo AB?
a. 197
b. 221
c. 235
d. 183
e. 38
Considerando que o conjunto universo possui 235 elementos, e dado que todos estão habilitados, pode-se representar isso como 235 - 0. O número de elementos do conjunto A é 197, e o número de elementos do conjunto B, é
221. Agora, subtrai-se o número de elementos da interseção entre A e B (representado por x), pois alguns servidores possuem habilitação tanto para A quanto para B.
Portanto, substituindo os valores na fórmula, teremos:
235 - 0 = 197 + 221 - x
235 = 418 - x
x = 418 - 235
x = 183
149
aula 2.3 conjuntos pc ce
150
(PC-BA/ESCRIVÃO/IBFC 2022) Numa assembleia havia 50 escrivães, sendo que 32 eram destros e 16 eram ambidestros. Nessas condições, e sabendo que todos sabiam
escrever, o total de canhotos na assembleia era igual a:
a. 2
b. 8
c. 22
d. 34
e. 16
𝒏(𝑨∪𝑩)=𝒏(𝑨)+𝒏(𝑩)−𝒏(𝑨∩𝑩)
50=32+c-16
c= 34
151
