Matemática 18 B Flashcards
(15 cards)
Qual é a fórmula do volume de uma esfera, e como o teorema de Pitágoras pode ser aplicado em um triângulo retângulo formado por um corte circular na esfera?
Como relacionar o raio de uma esfera com o lado de um cubo quando a esfera está inscrita no cubo e quando o cubo está inscrito na esfera?
Inscrição e circunscrição referem-se a colocar sólidos dentro ou fora de uma esfera. Para um cubo com uma esfera inscrita (esfera dentro do cubo), o raio da esfera é metade do lado do cubo (r = L/2). Se o cubo está inscrito na esfera (cubo dentro da esfera), a diagonal do cubo equivale ao diâmetro da esfera (2r = L * √3). Essas relações conectam o raio da esfera ao lado do cubo.
Como o raio de uma esfera se relaciona com o raio da base e a altura de um cilindro quando a esfera está inscrita no cilindro e quando o cilindro está inscrito na esfera?
Para relacionar o raio de uma esfera com os elementos de um cilindro:
Esfera inscrita no cilindro (esfera dentro do cilindro): O raio da esfera (r) é igual ao raio da base do cilindro (rc), ou seja, r = rc. A altura do cilindro (h) é igual ao diâmetro da esfera, então h = 2r.
Cilindro inscrito na esfera (cilindro dentro da esfera): O raio da base do cilindro (rc) e metade da altura do cilindro (h/2) formam um triângulo retângulo com o raio da esfera (r). Pelo teorema de Pitágoras: r^2 = rc^2 + (h/2)^2.
Como relacionar o raio de uma esfera com o raio da base e a altura de um cone, usando triângulos retângulos e semelhança, quando a esfera está inscrita no cone e quando o cone está inscrito na esfera?
Para relacionar o raio de uma esfera com os elementos de um cone:
Esfera inscrita no cone (esfera dentro do cone): O centro da esfera está na altura do cone. Forma-se um triângulo retângulo onde:
Um cateto é o raio da base do cone (rc).
O outro cateto é a diferença entre a altura do cone (h) e o raio da esfera (r), ou seja, h - r.
A hipotenusa é o raio da esfera (r).
Usando Pitágoras: r^2 = rc^2 + (h - r)^2. Cuidado: O cateto h - r não é h/3, a menos que o cone seja equilátero (indicado explicitamente).
Cone inscrito na esfera (cone dentro da esfera): O centro da esfera está na altura do cone, e o ponto de tangência forma um triângulo retângulo. Aqui:
Um cateto é o raio da base do cone (rc).
O outro cateto é h - r.
A hipotenusa é o raio da esfera (r).
Usa-se semelhança de triângulos entre o triângulo com altura (h), raio da base (rc), e geratriz (g), e o triângulo com catetos rc e h - r. Proporção: rc/r = (h - r)/g. Resolve-se com Pitágoras: r^2 = rc^2 + (h - r)^2.
Como calcular o volume e a área total de uma cunha esférica formada por um semicírculo que gira 60 graus, e qual é a área do fuso esférico correspondente?
Uma cunha esferica e formada quando um semicirculo gira 60 graus, criando um solido como um gomo de mexerica.
Volume da cunha esferica: O volume de uma esfera e (4/3) * pi * r^3. Como 6 gomos de 60 graus formam a esfera (360 / 60 = 6), o volume da cunha e:
Volume = [(4/3) * pi * r^3] / 6 = (2/9) * pi * r^3.
Area total da cunha esferica: Inclui:
Duas faces planas (cada uma e metade de um circulo de raio r, area (pi * r^2) / 2). Juntas: pi * r^2.
A face curva (fuso esferico). A area da superficie da esfera e 4 * pi * r^2. Para 60 graus (1/6 da esfera), a area do fuso e:
(4 * pi * r^2) / 6 = (2/3) * pi * r^2.
Total: pi * r^2 + (2/3) * pi * r^2 = (5/3) * pi * r^2.
Fuso esferico: E a face curva, com area (2/3) * pi * r^2. Nao tem volume, apenas area.
Como calcular o volume e a área total de um sólido de revolução formado por um quarto de círculo que gira 360 graus, com um cilindro removido, e como considerar a área da coroa circular e a lateral do cilindro?
O sólido é gerado pela rotação de 1/4 de círculo (360 graus) com um “buraco” cilíndrico, formando metade de uma esfera com um cilindro removido.
Volume:
Volume da esfera: (4/3) * pi * r^3. Como é metade da esfera (r = 3, suposto pelo contexto), volume = [(4/3) * pi * 3^3] / 2 = (2/3) * pi * 27 = 18 * pi.
Volume do cilindro removido (raio rc = 1, altura h = 3, suposta igual ao raio da esfera): pi * rc^2 * h = pi * 1^2 * 3 = 3 * pi.
Volume total: 18 * pi - 3 * pi = 15 * pi.
Área total (superfície a ser “pintada”): Inclui:
Superfície externa (metade da esfera): (4 * pi * r^2) / 2 = (4 * pi * 3^2) / 2 = 18 * pi.
Coroa circular (base do sólido): Área do círculo grande (r = 3) menos o círculo do cilindro (rc = 1): pi * 3^2 - pi * 1^2 = 9 * pi - pi = 8 * pi.
Área lateral do cilindro (interna): 2 * pi * rc * h = 2 * pi * 1 * 3 = 6 * pi.
Alternativa: A coroa circular (8 * pi) já inclui a base do cilindro (pi * 1^2 = pi). Assim, soma-se apenas a lateral do cilindro (6 * pi) à meia esfera (18 * pi): 18 * pi + 8 * pi = 26 * pi.
Cuidado: Não subtrair o círculo pequeno da coroa e depois somá-lo, pois a coroa já contabiliza a base exposta.
Nota sobre sólidos de revolução: Rotação de figuras planas gera esfera, cone ou cilindro, nunca cubo ou pirâmide.
Como calcular o raio de uma esfera que circunscreve um cone com raio da base 6 e altura 8, usando semelhança de triangulos ou propriedades de tangentes?
Dado um cone inscrito em uma esfera, com raio da base rc = 6, altura h = 8, e geratriz g = 10 (verificado por Pitagoras: sqrt(6^2 + 8^2) = 10), queremos o raio da esfera r.
Metodo 1: Semelhança de triangulos
O centro da esfera esta na altura do cone. Forma-se um triangulo retangulo com:
Cateto: rc = 6.
Outro cateto: h - r = 8 - r.
Hipotenusa: r.
Um triangulo maior (g = 10, h = 8, rc = 6) e semelhante ao menor. Proporcao:
rc/r = (h - r)/g => 6/r = (8 - r)/10.
Resolvendo: 60 = r * (8 - r) => r^2 - 8r + 60 = 0.
Discriminante: 64 - 240 = -176 (sem solucao real, indicando erro ou outro metodo).
Metodo 2: Propriedades de tangentes
A linha do centro da esfera ao ponto de tangencia na base do cone e perpendicular a geratriz. Tangentes do ponto de tangencia a esfera sao iguais. Na base do cone (circulo de raio 6):
Distancia do centro do circulo a reta tangente e 6.
Geratriz tem comprimento 10, entao distancia restante: 10 - 6 = 4.
Triangulo retangulo com:
Cateto 1: 4.
Cateto 2: 8 - r.
Hipotenusa: r.
Pitagoras: r^2 = 4^2 + (8 - r)^2.
Expandindo: r^2 = 16 + (64 - 16r + r^2) => 0 = 80 - 16r => r = 5.
Verificacao com triangulo 3-4-5: Se r = 5, entao 8 - r = 3. Catetos 3 e 4 dao hipotenusa sqrt(3^2 + 4^2) = 5, confirmando r = 5.
Solucao: O raio da esfera e r = 5. O metodo das tangentes e mais direto, reconhecendo o triangulo 3-4-5.
Nota: Caracteres ajustados (expoentes como “^2”, fracoes como “8-r”, operadores como “*”, raiz como “sqrt”, sem acentos) para evitar desconfiguracao ao colar. Se houver problemas, informe o editor (ex.: Word, Notepad). O discurso sugere r = 3 como erro, mas calculos confirmam r = 5.
Como calcular o volume de uma calota esférica formada pela rotação de 360 graus de uma figura com altura 2 e raio da base 4, e determinar o raio da esfera correspondente?
A figura representa uma calota esférica, parte de uma esfera de raio r, obtida pela rotação de 360 graus de uma seção com altura h = 2 e raio da base 4.
Volume da calota: Fórmula: V = (pi * h^2 * (3r - h)) / 3, onde h é a altura da calota e r é o raio da esfera.
Determinar o raio da esfera (r):
Forma-se um triângulo retângulo com:
Cateto 1: raio da base da calota (4).
Cateto 2: r - h = r - 2.
Hipotenusa: r (raio da esfera).
Aplica-se Pitágoras: r^2 = 4^2 + (r - 2)^2.
Expandindo: r^2 = 16 + (r^2 - 4r + 4) => r^2 = 16 + r^2 - 4r + 4 => 0 = 20 - 4r => r = 5.
Alternativa: Reconhece-se o triângulo 3-4-5 (cateto 4, r - 2 = 3 => r = 5).
Cálculo do volume:
Com r = 5, h = 2:
V = (pi * 2^2 * (3*5 - 2)) / 3 = (pi * 4 * (15 - 2)) / 3 = (pi * 4 * 13) / 3 = (52 * pi) / 3.
Observação: Não é metade de uma esfera (volume de meia esfera seria (2/3) * pi * r^3). A interpretação correta é essencial para identificar a calota e usar a fórmula adequada.
A questão 1 envolve calcular quantas bolinhas de gude de 1 cm de diâmetro cabem em uma caixa cúbica de 10 cm de aresta, organizadas em camadas superpostas. A solução é simples: como cada bolinha ocupa 1 cm, a caixa comporta 10 bolinhas por aresta (10 x 10 x 10 = 1000 bolinhas). A alternativa correta é a “C”. O apresentador explica que, contando 10 fileiras de 100 bolinhas cada, chega-se a 1000, e que essa questão é resolvida rapidamente. A questão 2, mencionada no final, é descrita como mais complicada, mas o enunciado não é detalhado no trecho fornecido.
se fosse pelo equador seria uma círculo como na letra A
https://www.youtube.com/watch?v=JIZ_6_RzIHA
