Matemática 18 A Flashcards
(14 cards)
Qual é a diferença entre o cálculo do volume e da área lateral de um cone circular reto, e por que é importante planificar ao calcular a área lateral?
O texto explica conceitos relacionados ao cone circular reto, destacando que sua base é um círculo e que ele se eleva perpendicularmente ao chão. Para o cone, é essencial saber calcular o volume, que é dado pela fórmula: área da base × altura ÷ 3. Além disso, aborda a área lateral do cone, enfatizando que, para calculá-la, é necessário planificar a superfície lateral, ou seja, representá-la em um plano bidimensional. O texto reforça a importância de prestar atenção nesse processo de planificação quando se trata de cálculos envolvendo a área lateral.
Como calcular o ângulo da planificação de um cone circular reto e sua relação com a geratriz e o teorema de Pitágoras?
A planificação de um cone circular reto forma um setor circular, onde o raio é a geratriz (G) e o comprimento do arco é 2πr (circunferência da base). O ângulo da planificação, em radianos, é calculado por 2πr ÷ G. O teorema de Pitágoras relaciona geratriz, raio da base e altura. O ângulo da planificação não deve ser confundido com outros ângulos do cone.
Como calcular a área lateral de um cone circular reto usando a planificação e uma regra de três?
Para calcular a área lateral de um cone circular reto, usa-se a planificação, que é um setor circular. O comprimento do arco do setor é 2πr (circunferência da base do cone), e o raio do setor é a geratriz (G). A área total de um círculo com raio G seria πG². Usando uma regra de três, relaciona-se o comprimento total do círculo (2πG) com sua área (πG²) ao comprimento do arco (2πr) e a área lateral desejada. Assim, a fórmula derivada é: Área lateral = πrG.
O que é a seção meridiana de um cone circular reto, e como provar que a planificação de um cone equilátero resulta em um semicírculo?
A seção meridiana de um cone circular reto é o triângulo obtido ao cortá-lo verticalmente, passando pelo eixo. Em um cone equilátero, essa seção é um triângulo equilátero, onde a geratriz (G) é igual a 2r (duas vezes o raio da base). Para provar que a planificação de um cone equilátero é um semicírculo, calcula-se o ângulo da planificação: θ = 2πr ÷ G. Como G = 2r, temos θ = 2πr ÷ 2r = π radianos (ou 180 graus), caracterizando um semicírculo.
Quais são as relações de semelhança entre os elementos de um cone pequeno formado por uma seção transversal paralela à base e o cone grande, e como essas relações se aplicam às áreas das bases e aos volumes?
Vale para cones e pirâmides.
A taça é um cone com volume total de 8 litros. O líquido forma um cone menor com altura 19 cm (metade de 38 cm). Pela relação de volumes, V_menor/8 = (1/2)^3 = 1/8, logo V_menor = 1 litro. O volume do espaço vazio é 8 - 1 = 7 litros. Ao inverter a taça, o líquido (1 litro) forma um cone menor na ponta. Usando 1/8 = (x/38)^3, temos x = 19 cm. Para o espaço vazio (7 litros), 7/8 = ((38 - x)/38)^3, logo 38 - x ≈ 36.29 cm, e x ≈ 1.71 cm. Resposta final: Volume do líquido: 1 litro. Altura do líquido (invertida): ~1.71 cm.
Equalizamos o volume do cone pequeno (V) ao volume do tronco (V_maior - V_menor). O cone grande tem volume 2x, e o cone pequeno tem altura x/3. Pela semelhança, V/2x = ((x/3)/h_maior)^3. O tronco tem volume 2x - V, e como V = 2x - V, temos V = x. Substituímos: x/2x = 1/2 = ((x/3)/h_maior)^3, logo (x/3)/h_maior = (1/2)^(1/3). Assumindo h_maior = 3, temos x/9 = (1/2)^(1/3), x = 9/(2^(1/3)). Racionalizando: x = (9 (4^(1/3)))/2. Resposta final: x = (9 (4^(1/3)))/2.
A área da base original é A, e a área projetada é 3A. Pela relação de semelhança, 3A/A = 3 = (x/h_original)^2, com h_original = 8. Assim, x/8 = sqrt(3), logo x = 8sqrt(3). Resposta final: x = 8sqrt(3).
Como calcular o volume e a área total de uma pirâmide, e qual é a diferença entre o apótema da pirâmide e o apótema da base?
Pirâmide tem vértices da base convergindo para o ápice. Volume: V = (área da base × h)/3, h é altura. Área total: base + área lateral (triângulos: (base × g)/2), g (apótema da pirâmide) é altura da face. Apótema da base (a): centro da base à metade do lado. Pitágoras: h² + a² = g². Usa g para área lateral, h para volume.
Como calcular o volume de uma pirâmide triangular, especialmente em um triedro retângulo, e qual a melhor estratégia para escolher a base?
Pirâmide triangular tem faces triangulares. Volume: V = (área da base × h)/3, h é altura perpendicular à base. Qualquer face pode ser base, mas escolha facilita altura. Em triedro retângulo (três faces retângulas, 90°), como pirâmide de um cubo, use face retângula como base; área = (base × altura)/2, altura é aresta do cubo. Evite bases que dificultem altura.
O que é o apótema da base em pirâmides com bases tradicionais (quadrado, triângulo equilátero, hexágono regular), e como calculá-lo?
Apótema da base é a distância do centro ao meio de um lado. Quadrado: apótema = L/2. Triângulo equilátero: apótema = (L√3)/6, 1/3 da altura (L√3)/2. Hexágono regular: divide em seis triângulos equiláteros, apótema = (L√3)/2. Usado para área da base ou relação com apótema da pirâmide por Pitágoras.
Como calcular a área total, o volume e a altura de um tetraedro regular, e qual é a relação entre a soma das distâncias de um ponto interno às faces e o raio de uma esfera inscrita?
Tetraedro regular tem faces como triângulos equiláteros. Área total: 4 × (L²√3)/4 = L²√3. Volume: V = ((L²√3)/4 × h)/3, h é altura. Usa Pitágoras: h² = ((L√3)/3)² - ((L√3)/6)² = L²/4, h = L√2/2. Volume: (L³√2)/12. Soma das distâncias de um ponto às faces = h. Esfera inscrita: 4r = h, r = h/4 = L√2/8. Resposta final: Área total: L²√3. Volume: (L³√2)/12. Altura: L√2/2. Raio da esfera: L√2/8.
https://www.youtube.com/watch?v=7_P-WnW1U4Q
