Wiskunde - Algebra: Matrices (theorie)

Question 1

Hoe stellen we een matrix voor?

Answer 1

Met een hoofdletter

Question 2

Wat is de dimensie ve matrix?

Answer 2

Het aantal rijen x aantal kolommen

Question 3

Hoe noem je elk getal in de matrix?

Answer 3

een element vd matrix

Question 4

Welke vorm heeft een matrix?

Answer 4

een rechthoekig rooster

Question 5

In de elementen van een matrix ‘a_ij’ wat is dan de rij en wat de kolom?

Answer 5

de rij is i
kolom is j

bv: a_23: 2e rij 3e kolom

Question 6

Hoe noem je een matrix met m rijen en n kolommen?

Answer 6

een matrix met dimensie mxn of een mxn-matrix
-> dim A = mxn

Question 7

Wat is een vierkante matrix?

Answer 7

een matrix met evenveel rijen als kolommen

Question 8

Hoe noem je een nxn-matrix? (2)

Answer 8

een matrix van de n-de orde of van orde n

Question 9

Wat zijn de diagonaalelementen?

Answer 9

de elementen a11, a22, a33; …

Question 10

Wat vormen alle diagonaalelementen samen?

Answer 10

de hoofddiagonaal

Question 11

Wat is een diagonaalmatrix?

Answer 11

een vierkante matrix waarvan de elementen die niet op de hoofddiagonaal staan, 0 zijn.

Question 12

Wat geldt er bij een diagonaalmatrix voor aij = 0?

Answer 12

dat a_ij = 0 als i =/= j

Question 13

Wat is een symmetrische matrix?

Answer 13

Een vierkante matrix waarbij de elementen die symmetrisch liggen tov de hoofddiagonaal, gelijk zijn.

(a12=a21, a13=a31, …)

Question 14

Wat is een rijmatrix?

Answer 14

een matrix met slechts 1 rij

Question 15

Wat is een kolommatrix?

Answer 15

een matrix met slechts 1 kolom

Question 16

Wat is een nulmatrix?

Answer 16

een matrix waarvan alle elementen 0 zijn

Question 17

Hoe noteren we een nulmatrix?

Answer 17

als O

Question 18

Wat is er voor elke dimensie ivm nulmatrices?

Answer 18

een nulmatrix

Question 19

Eigenschap gelijke matrices in woorden

Answer 19

We noemen 2 matrices gelijk als en slechts als ze dezelfde dimensie hebben en hun overeenkomstige elementen gelijk zijn.

Question 20

eigenschap gelijke matrices in symbolen

Answer 20

als A, B E IR^mxn, dan geldt: A=B <=> aij = bij voor elke i en j

Question 21

Wat is een graaf?

Answer 21

Een schematische voorstelling van knopen en bogen

Question 22

Wat is een knoop bij een graaf?

Answer 22

een punt uit de schematische voorstelling

Question 23

Wat is een boog bij een graaf?

Answer 23

een verbindingslijn die 2 knopen verbindt

Question 24

Wanneer zijn knopen buren?

Answer 24

Wanneer ze verbonden worden door een boog

Question 25

Hoe noem je de bogen tussen 2 knopen?

Answer 25

veerdiensten

Question 26

Wat zijn lussen bij een graaf?

Answer 26

De bogen die beginnen en eindigen in dezelfde knoop

Question 27

Hoe kan je het aantal bogen tussen elke paar knopen ve graaf weergeven?

Answer 27

met een directewegenmatrix

Question 28

Definitie optelbare matrices in woorden

Answer 28

2 matrices A en B kun je enkel optellen als ze dezelfde dimensie hebben. We noemen ze dan optelbare matrices

Question 29

Wat is de som van 2 optelbare matrices A en B?

Answer 29

de matrix C met dezelfde dimensie als die van A en B, en waarvan elk element de som is van de overeenkomstige elementen van A en B

Question 30

Definitie optelbare matrices in symbolen

Answer 30

Als A, B E IR^mxn, dan is C=A+B E IRmxn met cij=aij+bij voor elke i en j

Question 31

Wat zijn de 4 eigenschappen van optelbare matrices in woorden en symbolen?

Answer 31

- de optelling van matrices is commutatief: V A, B E IR^mxn: A+B=B+A - de optelling van matrices is associatief: V A, B, C E IR^mxn: (A+B)+C=A+(B+C) - er bestaat een neutraal element voor de optelling van matrices: O E IR^mxn en V A E IR^mxn: A+O=A - de matrix waarvan de elementen de tegengestelde getallen zijn van de overeenkomstige elementen van een matrix A noemen we de tegengestelde matrix van A, genoteerd als -A. Elke matrix heeft een invers element vo de optelling, namelijk zijn tegengestelde -A: V A E IR^mcn: -A E IR^mxn en A+(-A)=0

Question 32

eigenschap verschil van 2 matrices

Answer 32

het verschil van matrices A en B definiëren we als: V A, B E IR^mxn: A-B=A+(-B)

Question 33

definitie vermenigvuldigen van een matrix met een reëel getal in woorden

Answer 33

Het product van een reëel getal r met een matrix A is een matrix r.A met dezelfde dimensie als die van A. De elementen van r.A worden verkregen door alle elementen van A met r te vermenigvuldigen. We spreken van de scalaire vermenigvuldiging van A met r.

Question 34

definitie vermenigvuldigen van een matrix met een reëel getal in symbolen.

Answer 34

Als A E IR^mxn en r E IR, dan is C=r.A E IR^mxn met cij=r.aij voor elke i en j

Question 35

Wat volgt er uit de definitie van vermenigvuldigen van matrices met een reëel getal?

Answer 35

dat (-1)*A gelijk is aan -A

Question 36

Wat zijn de 3 eigenschappen van vermenigvuldigen van matrices met een reëel getal? in woorden en symbolen!

Answer 36

- de scalaire vermenigvuldiging is distributief tovd optelling v matrices: V A, B E IR^mxn, V r E IR: r.(A+B)=r.A+r.B - de scalaire vermenigvuldiging is distributief tovd optelling v reële gtallen: V A E IR^mxn, V r, s E IR: (r+s).A=r.A+s.A - de scalaire vermenigvuldiging is gemengd associatief: V A E IR^mxn, V r, s E IR: (r.s).A=r.(s.A)

Question 37

Waarom spreken bij het vermenigvuldigen van een matrix met ene reëel getal van gemengde associativiteit?

Answer 37

omwille vd 2 soorten vermenigvuldigingen: de vermenigvuldiging v 2 reële getallen en de vermenigvuldiging ve matrix met een reëel getal

Question 38

definitie vermenigvuldigen v matrices in woorden?

Answer 38

Als A een mxn-matrix is en B een nxp-matrix, dan is de productimatrix C=A.B een mxp-matrix waarvan elk element cij gelijk is aan de som vd producten vd elementen vd i-de rij van A met overeenkomstige elementen vd j-de kolom v B.

Question 39

definitie vermenigvuldigen v matrices in symbolen?

Answer 39

Als A E IR^mxn en B E IR^nxp, dan geldt: C=A.B E IR^mxp met cij = ai1.b1j + ai2.b2j+...+ain.bnj voor elke i en j

Question 40

Wat zijn de 3 eigenschappen van vermenigvuldiging van matrices in woorden en symbolen?

Answer 40

- de vermenigvuldiging v matrices is associatief: V A E IR^mxn, V B E IR^nxp, V C E IR^pxq: (A.B).C = A.(B.C) - de vermenigvuldiging v matrices is distributief tov de optelling v matrices: V A E IR^mxn, V B, C E IR^nxp: A.(B+C) = A.B+A.C V A, B E IR^mxn, V C E IR^nxp: (A+B).C=A.C+B.C - de vermenigvuldiging v matrices id gemengd associatief: V r E IR, V A E IR^mxn, V B E IR^nxp: r.(A.B) = (r.A).B=A.(r.B)

Question 41

definitie eenheidsmatrix in woorden

Answer 41

een diagonaalmatrix waarvan de diagonaalelementen 1 zijn.

Question 42

Hoe noteer je een eeneheidsmatrix vd n-de orde?

Answer 42

I_n

Question 43

definitie eenheidsmatrix in symbolen

Answer 43

V A E IR^mxn: I_m.A=A=A.I_n

Question 44

definitie machten van matrices

Answer 44

Als A een vierkante matrix is en n E IN_0, dan is - A^0 = I met A =/=0 - A^1= A - A^n = A*A*...*A-> n factoren Bij afspraak stellen we A^0=I_m, met m de orde van A

Question 45

2 eigenschappen van machten van matrices in symbolen?

Answer 45

- V A E IR^pxp, V m, n E IR: A^m.A^n=A^m+n - V A E IR^pxp, V m, n E IN: (A^m)^n = A^m.n

Question 46

definitie getransponeerde matrix in woorden

Answer 46

De getransponeerde matrix van een matrix A is de matrix die ontstaat uit A door de rijen en de kolommen onderling te wisselen, met behoud vd volgorde. Deze matrix noteren we als A^T.

Question 47

definitie getransponeerde matrix in symbolen

Answer 47

Als A E IR^mxn, dan is B=A^T E IR^nxm met bij=aij voor elke i en j

Question 48

3 eigenschappen van getransponeerde matrix in woorden en symbolen!

Answer 48

- de getransponeerde matrix ve som v 2 matrices is gelijk ad som vd getransponeerde matrices: V A, B E IR^mxn: (A+B)^T = A^T+B^T - de getransponeerde ve veelvoud ve matrix is hetzelfde veelvoud vd getransponeerde matrix: V r E IR, V A E IR^mxn: (r.A)^T=r.A^T - de getransponeerde ve product v 2 matrices is gelijk aan het product vd getransponeerde matrices, maar in omgekeerde volgorde: V A E IR^mxn, V B E IR^nxp: (A.B)^T=B^T.A^T

Question 49

Wat is een overgangsmatrix?

Answer 49

drukt met kansen uit hoe een verdeling wijzigt na verloop ve bepaalde periode. -> een graaf kan je helpen om de overgangsmatrix op te stellen

Question 50

Wanneer spreken we van een markovketen?

Answer 50

Als voor elke overgang bij een overgangsmatrix steeds dezelfde overgangsmatrix gebruikt wordt.

Question 51

Wat is een lesliematrix?

Answer 51

daarin worden de gegevens in verband met geboorte en overleving samengevat: - 1e rij: vruchtbaarheidscijfers v1,v2,...,vn - volgende rijen: de overlevingskansen o1,p2,...,on-1

Question 52

:)