Matemática 18 C Flashcards
(18 cards)
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Descricao da urna:
- 5 bolas vermelhas numeradas de 1 a 5.
- 4 bolas pretas numeradas de 6 a 9.
- Total: 9 bolas.
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Probabilidade de retirar uma bola vermelha:
- Eventos favoraveis: 5 bolas vermelhas.
- Total: 9 bolas.
- Probabilidade: 5/9.
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Probabilidade de retirar uma bola vermelha ou par:
- Metodo 1 (Formula de uniao de eventos):
- Probabilidade de ser vermelha: 5/9.
- Probabilidade de ser par (numeros 2, 4, 6, 8): 4/9.
- Probabilidade de ser vermelha e par (numeros 2, 4): 2/9.
- Calculo: 5/9 + 4/9 - 2/9 = 7/9.
- Metodo 2 (Complemento):
- Bolas que nao interessam (pretas e impares: 7, 9): 2/9.
- Probabilidade de interesse: 1 - 2/9 = 7/9.
- Metodo 3 (Contagem direta):
- Bolas vermelhas (1, 2, 3, 4, 5) ou pares (2, 4, 6, 8): 7 bolas.
- Probabilidade: 7/9.
- Metodo 1 (Formula de uniao de eventos):
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Probabilidade condicional (sabendo que a bola e preta, qual a probabilidade de ser par):
- Universo reduzido: 4 bolas pretas (6, 7, 8, 9).
- Bolas pretas pares (6, 8): 2 bolas.
- Probabilidade: 2/4 = 1/2 (ou 50%).
Conceitos-chave:
- Probabilidade: eventos favoraveis / total de possibilidades.
- Probabilidade de uniao: P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A e B).
- Probabilidade condicional: Reduz o universo com base na informacao dada.
- Toda probabilidade e menor ou igual a 1 (100%).
Resumo da questao
Descricao:
- Urna A: 1 bola preta, 1 vermelha, 1 azul (total: 3 bolas).
- Urna B: 1 bola preta, 1 vermelha, 1 azul (total: 3 bolas).
- Processo:
1. Retira uma bola da urna A e coloca na urna B.
2. Retira uma bola da urna B e devolve a urna A.
- Objetivo: Calcular a probabilidade de que, apos esse processo, a disposicao original (1 preta, 1 vermelha, 1 azul em cada urna) seja mantida.
Solucao (duas maneiras equivalentes):
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Primeira maneira (por casos):
- Considere cada cor da bola retirada da urna A:
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Caso 1: Bola preta:
- Probabilidade de retirar preta da urna A: 1/3.
- Urna B fica com 2 pretas, 1 vermelha, 1 azul (total: 4 bolas).
- Para manter a disposicao original, deve-se retirar uma preta da urna B.
- Probabilidade de retirar preta da urna B: 2/4 = 1/2.
- Probabilidade desse caso: (1/3) * (1/2) = 1/6.
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Caso 2: Bola vermelha:
- Probabilidade de retirar vermelha da urna A: 1/3.
- Urna B fica com 1 preta, 2 vermelhas, 1 azul.
- Deve-se retirar uma vermelha da urna B: 2/4 = 1/2.
- Probabilidade: (1/3) * (1/2) = 1/6.
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Caso 3: Bola azul:
- Probabilidade de retirar azul da urna A: 1/3.
- Urna B fica com 1 preta, 1 vermelha, 2 azuis.
- Deve-se retirar uma azul da urna B: 2/4 = 1/2.
- Probabilidade: (1/3) * (1/2) = 1/6.
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Caso 1: Bola preta:
- Total: Soma dos casos = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.
- Alternativa: Como cada caso tem a mesma probabilidade (1/6), multiplica-se por 3: 3 * (1/6) = 1/2.
- Considere cada cor da bola retirada da urna A:
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Segunda maneira (generalizada):
- A primeira bola retirada da urna A pode ser qualquer uma (preta, vermelha ou azul).
- Probabilidade de retirar qualquer bola: 1 (100%).
- Ao colocar essa bola na urna B, a urna B tera 2 bolas da cor escolhida (ex.: se for preta, tera 2 pretas, 1 vermelha, 1 azul).
- Total de bolas na urna B: 4.
- Probabilidade de retirar uma bola da mesma cor da que foi colocada: 2/4 = 1/2.
- Probabilidade total: 1 * (2/4) = 1/2.
Resposta:
- A probabilidade de manter a disposicao original e 1/2 (ou 50%).
Observacao:
- A segunda maneira e mais direta, mas a primeira (por casos) e mais detalhada e ajuda a entender o processo.
- Cuidado com a interpretacao: A disposicao original so e mantida se a bola devolvida a urna A for da mesma cor da bola inicialmente retirada.
Resumo da questão (com caracteres ajustados para compatibilidade com o Word):
Descrição:
- Urna A: 3 bolas pretas, 7 vermelhas (total: 10 bolas).
- Urna B: 4 bolas pretas, 5 vermelhas (total: 9 bolas).
- Processo:
1. Retira uma bola da urna A e coloca na urna B.
2. Retira uma bola da urna B.
- Objetivo: Calcular a probabilidade de que a bola retirada da urna B seja preta.
Solução:
- A dificuldade da questão está em que a probabilidade de retirar uma bola preta da urna B depende da cor da bola transferida da urna A (preta ou vermelha). Isso exige considerar dois casos separados.
- Usa-se a probabilidade total, somando as probabilidades de cada caso.
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Caso 1: Bola transferida da urna A é preta:
- Probabilidade de retirar uma bola preta da urna A: 3/10.
- Após a transferência, urna B fica com 5 pretas (4 originais + 1 transferida) e 5 vermelhas (total: 10 bolas).
- Probabilidade de retirar uma bola preta da urna B: 5/10 = 1/2.
- Probabilidade desse caso: (3/10) * (1/2) = 3/20.
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Caso 2: Bola transferida da urna A é vermelha:
- Probabilidade de retirar uma bola vermelha da urna A: 7/10.
- Após a transferência, urna B fica com 4 pretas e 6 vermelhas (5 originais + 1 transferida) (total: 10 bolas).
- Probabilidade de retirar uma bola preta da urna B: 4/10 = 2/5.
- Probabilidade desse caso: (7/10) * (2/5) = 14/50 = 7/25.
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Probabilidade total:
- Soma das probabilidades dos dois casos:- Primeiro, coloca-se em denominador comum:
- 3/20 = 15/100.
- 7/25 = 28/100.
- Total: 15/100 + 28/100 = 43/100.
- Alternativamente, calcula-se: - 3/20 + 7/25 = (35)/(205) + (74)/(254) = 15/100 + 28/100 = 43/100.
- Primeiro, coloca-se em denominador comum:
Resposta:
- A probabilidade de retirar uma bola preta da urna B é 43/100 (ou 0,43, ou 43%).
Observação:
- Não há como resolver com uma única conta, pois a composição da urna B depende da bola transferida.
- A questão exige raciocínio não linear, considerando as possibilidades (bola preta ou vermelha transferida) e usando a fórmula da probabilidade total.
- Este é um exemplo clássico de probabilidade condicional combinada com eventos dependentes.
Se precisar de mais explicações ou ajustes, é só avisar!
Problema: Sala com 25 pessoas, 80% homens. 15% homens vegetarianos, 20% mulheres vegetarianas. Pessoa vegetariana escolhida, qual probabilidade de ser mulher?
Solução com inversão:
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Homens e mulheres:
- Homens: 80% de 25 = 20.
Inversão: 25% de 80 = 20. - Mulheres: 25 - 20 = 5.
- Homens: 80% de 25 = 20.
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Homens vegetarianos:
- 15% de 20 = 3.
Inversão: 20% de 15 = 3.
- 15% de 20 = 3.
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Mulheres vegetarianas:
- 20% de 5 = 1.
Inversão: 5% de 20 = 1.
- 20% de 5 = 1.
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Total vegetarianos:
- 3 (homens) + 1 (mulher) = 4.
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Probabilidade mulher vegetariana:
- 1/4 = 25%.
Resposta: Probabilidade é 25% ou 1/4.
Em uma pesquisa com 100 pessoas, 40 leem o jornal A, 30 leem o jornal B e 50 nao leem nem A nem B. Queremos a probabilidade de uma pessoa, escolhida ao acaso e sabendo que nao le A, ler B. Usamos conjuntos. Total de pessoas: 100. Leem A: 40; leem B: 30; nao leem nem A nem B: 50. Pessoas que leem A ou B: 100 - 50 = 50. Pela formula da uniao, 50 = 40 + 30 - intersecao, entao intersecao = 20. Pessoas que leem apenas A: 40 - 20 = 20; apenas B: 30 - 20 = 10. Sabendo que a pessoa nao le A, o universo é 100 - 40 = 60 pessoas. Dessas, 10 leem apenas B. A probabilidade de ler B, dado que nao le A, é 10/60 = 1/6. Resposta: a probabilidade é 1/6 ou cerca de 16,67%.
O caminho tem pontos A, B, C, D. De A, há setas para B e C. De C, uma seta para D. De D, uma seta para B. Cada escolha em uma bifurcação (como de A para B ou C) tem probabilidade 1/2. Há dois caminhos de A para B: vermelho (A para B, 1 escolha) e azul (A para C, C para D, D para B, 3 escolhas). Caminho vermelho: probabilidade 1/2. Caminho azul: 1/2 (A para C) x 1/2 (C para D) x 1/2 (D para B) = 1/8. Probabilidade total: 1/2 + 1/8 = 4/8 + 1/8 = 5/8. Alternativa: imagine 100 pessoas saindo de A; 50 vão para B (vermelho); 50 vão para C; de C, 25 vão para D; de D, 12,5 vão para B. Total: 50 + 12,5 = 62,5/100 = 5/8. Resposta: probabilidade é 5/8 ou 62,5%.
- Bifurcações: Em A, há 2 escolhas (B ou C, probabilidade 1/2 cada). Em C e D, assume-se que também há 2 escolhas (por exemplo, D para B ou outro ponto), cada uma com probabilidade 1/2.
Notas:
- O problema enfatiza que os caminhos não são equiprováveis, pois o vermelho exige 1 escolha (1/2), enquanto o azul exige 3 escolhas (1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/8).
Roleta com 10 perguntas (1 a 10, horário). Ponteiro gira, probabilidade 1/10 por pergunta. Se respondida, vai à próxima não respondida. Perguntas 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10 respondidas. Probabilidade de responder 4? Não respondidas: 4, 8, 9. Cair em 1, 2, 3, 4, 10 leva a 4; 5, 6, 7 a 8; 8 a 8; 9 a 9. Casos favoráveis: 5. Total: 10. Probabilidade: 5/10 = 1/2. Resposta: 1/2 ou 50%.
Na aula de probabilidade, avançamos para eventos não únicos, focando em retirar duas bolas de uma urna com 4 bolas vermelhas (numeradas de 1 a 4) e 5 bolas pretas (numeradas de 5 a 9). O objetivo é calcular a probabilidade de retirar duas bolas da mesma cor, sem reposição (padrão quando não especificado). É essencial conhecer permutação com repetição, pré-requisito para esta aula.
Probabilidade de duas bolas da mesma cor:
1. Duas vermelhas:
- Primeira bola: 4 vermelhas em 9 bolas → P = 4/9.
- Segunda bola (sem reposição): 3 vermelhas em 8 bolas → P = 3/8.
- Probabilidade: (4/9) × (3/8) = 12/72.
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Duas pretas:
- Primeira bola: 5 pretas em 9 bolas → P = 5/9.
- Segunda bola: 4 pretas em 8 bolas → P = 4/8.
- Probabilidade: (5/9) × (4/8) = 20/72.
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Total:
- Soma das probabilidades: (12/72) + (20/72) = 32/72 = 4/9.
Probabilidade de cores diferentes:
Para duas bolas de cores diferentes (uma vermelha e uma preta), consideramos a ordem (vermelha-preta ou preta-vermelha):
1. Vermelha, depois preta:
- Primeira: 4/9 (vermelha).
- Segunda: 5/8 (preta).
- Probabilidade: (4/9) × (5/8) = 20/72.
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Preta, depois vermelha:
- Primeira: 5/9 (preta).
- Segunda: 4/8 (vermelha).
- Probabilidade: (5/9) × (4/8) = 20/72.
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Total:
- Como a ordem importa, multiplica-se por 2! (2 fatorial): (20/72) + (20/72) = 40/72 = 5/9.
Caso com três bolas (duas vermelhas, uma preta):
- Probabilidade:
- Primeira vermelha: 4/9.
- Segunda vermelha: 3/8.
- Preta: 5/7.
- Probabilidade: (4/9) × (3/8) × (5/7) = 60/504.
- Permutação: 3! / 2! = 3 (ordens: VVP, VPV, PVV).
- Total: 3 × (60/504) = 180/504 = 5/14.
Dicas importantes:
- Sem reposição: O universo diminui a cada retirada.
- Com reposição: O universo permanece o mesmo.
- Simultaneamente: Trata-se como sem reposição.
- Permutação: Para cores diferentes, multiplica por 2!. Para mesmas cores, divide por 2! (permutação com repetição).
- Escreva os casos (VV, PP, VP) para evitar erros.
Cuidados: Sempre verifique se a questão especifica reposição ou ordem. Permutação é crucial para eventos não únicos. Simplifique frações apenas no final para facilitar cálculos.
- Probabilidade de acertar a primeira questão:
- Enunciado: “Acertar a primeira questão” não menciona as outras.
- Cálculo: Cada questão tem 4 alternativas, com 1 correta. Probabilidade de acertar = 1/4.
- Resposta: P = 1/4 (independe do número total de questões). - Probabilidade de acertar apenas a primeira (e errar as outras):
- Enunciado: Acertar só a primeira questão e errar as demais (2ª, 3ª, 4ª, 5ª).
- Cálculo:
- Acertar a 1ª: P = 1/4.
- Errar cada uma das outras 4 questões: P = 3/4 por questão.
- Total: (1/4) × (3/4) × (3/4) × (3/4) × (3/4) = (1/4) × (3/4)^4.
- (3/4)^4 = 81/256. Então, P = (1/4) × (81/256) = 81/1024.
- Resposta: P = 81/1024. - Probabilidade de acertar exatamente uma questão (qualquer uma):
- Enunciado: Acertar exatamente uma das 5 questões (pode ser a 1ª, 2ª, 3ª, 4ª ou 5ª) e errar as demais.
- Cálculo:
- Probabilidade de acertar uma questão: 1/4.
- Probabilidade de errar uma questão: 3/4.
- Para uma questão específica (ex.: acertar a 1ª e errar as outras): (1/4) × (3/4)^4 = 81/1024.
- Como são 5 questões possíveis, multiplica-se por 5 (número de escolhas): 5 × (81/1024) = 405/1024.
- Alternativa com combinação: Número de formas de escolher 1 questão entre 5 é C(5,1) = 5. Assim, P = C(5,1) × (1/4)^1 × (3/4)^4 = 5 × (1/4) × (81/256) = 405/1024.
- Resposta: P = 405/1024. - Probabilidade de acertar exatamente duas questões:
- Enunciado: Acertar exatamente 2 questões e errar as outras 3.
- Cálculo:
- Acertar uma questão: 1/4. Acertar duas: (1/4)^2.
- Errar uma questão: 3/4. Errar três: (3/4)^3.
- Número de formas de escolher 2 questões entre 5: C(5,2) = 5!/(2!3!) = 10.
- Total: P = C(5,2) × (1/4)^2 × (3/4)^3 = 10 × (1/16) × (27/64) = 10 × 27/1024 = 270/1024 = 135/512.
- Resposta: P = 135/512.
Considere uma moeda não viciada (probabilidade de cara ou coroa = 1/2) e uma moeda viciada (probabilidade de cara é o dobro da coroa). Vamos calcular a probabilidade de, em 5 lançamentos, obter: (1) duas caras seguidas de três coroas (ordem específica); (2) duas caras e três coroas (qualquer ordem).
- Moeda não viciada: duas caras seguidas de três coroas (CCCCC)
- Enunciado: Sequência exata: cara, cara, coroa, coroa, coroa (CCCCC).
- Cálculo:
- Cada lançamento: P(cara) = 1/2, P(coroa) = 1/2.
- Para a sequência CCCCC: (1/2) × (1/2) × (1/2) × (1/2) × (1/2) = (1/2)^5 = 1/32.
- Como a ordem é fixa, não há permutação.
- Resposta: P = 1/32. - Moeda não viciada: duas caras e três coroas (qualquer ordem)
- Enunciado: Obter exatamente 2 caras e 3 coroas, sem ordem específica.
- Cálculo:
- P(cara) = 1/2, P(coroa) = 1/2.
- Probabilidade de uma combinação específica (ex.: CCCCC): (1/2)^2 × (1/2)^3 = (1/2)^5 = 1/32.
- Número de formas de organizar 2 caras e 3 coroas: C(5,2) = 5!/(2!3!) = 10.
- Total: P = C(5,2) × (1/2)^5 = 10 × (1/32) = 10/32 = 5/16.
- Resposta: P = 5/16. - Moeda viciada: probabilidade de cara é o dobro da coroa
- Definir o vício:
- P(coroa) = x, P(cara) = 2x.
- Soma das probabilidades: x + 2x = 1 → 3x = 1 → x = 1/3.
- Portanto: P(coroa) = 1/3, P(cara) = 2/3.
- Duas caras seguidas de três coroas (CCCCC):
- P = (2/3) × (2/3) × (1/3) × (1/3) × (1/3) = (2/3)^2 × (1/3)^3 = 4/9 × 1/27 = 4/243.
- Ordem fixa, sem permutação.
- Resposta: P = 4/243.
- Duas caras e três coroas (qualquer ordem):
- P de uma combinação: (2/3)^2 × (1/3)^3 = 4/9 × 1/27 = 4/243.
- Formas de organizar: C(5,2) = 10.
- Total: P = 10 × (4/243) = 40/243.
- Resposta: P = 40/243.
Dicas:
- Interpretação: “Seguidas” implica ordem fixa; sem especificação, considera todas as ordens.
- Moeda viciada: Sempre defina as probabilidades (soma = 1).
- Permutação: Use C(n,k) para calcular combinações quando a ordem não importa.
- Erro comum: Confundir sequência específica com qualquer ordem. Escreva os casos para clareza.
- Probabilidade da soma ≥ 9 em dois lançamentos
- Enunciado: Lançar um dado duas vezes (ou dois dados uma vez) e calcular P(soma ≥ 9).
- Método: Construir uma tabela 6×6 (36 possibilidades, cada uma com probabilidade (1/6)×(1/6) = 1/36).
- Cálculo:
- Soma ≥ 9: 9, 10, 11 ou 12.
- Combinações:- Soma 9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) → 4 casos.
- Soma 10: (4,6), (5,5), (6,4) → 3 casos.
- Soma 11: (5,6), (6,5) → 2 casos.
- Soma 12: (6,6) → 1 caso.
- Total: 4 + 3 + 2 + 1 = 10 casos favoráveis.
- Probabilidade: 10/36 = 5/18 (simplificado).
- Resposta: P = 5/18.
- Probabilidade condicional: soma = 7, dado que soma ≠ 4
- Enunciado: Dois dados lançados, sabendo que a soma não é 4, qual a probabilidade de a soma ser 7?
- Método: Probabilidade condicional ajusta o universo. Original: 36 possibilidades (6×6).
- Cálculo:
- Soma = 4: (1,3), (2,2), (3,1) → 3 casos.
- Novo universo: 36 − 3 = 33 possibilidades.
- Soma = 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6 casos.
- Probabilidade: 6/33 = 2/11 (simplificado por 3).
- Resposta: P = 2/11.
Dicas:
- Tabela 6×6: Método mais eficaz para problemas de soma com dois dados. Liste todas as combinações para evitar erros.
- Universo condicional: Na probabilidade condicional, exclua os casos que não satisfazem a condição (ex.: soma ≠ 4 reduz o universo).
- Simplificação: Simplifique frações apenas no final para facilitar cálculos.
- Erro comum: Ignorar a tabela ou esquecer de ajustar o universo na probabilidade condicional. Sempre verifique as combinações favoráveis.
- Probabilidade complementar: acertar pelo menos uma vez
- Enunciado: P(acertar ≥ 1 vez) em 3 lançamentos.
- Método: P(acertar ≥ 1) = 1 − P(nenhum acerto).
- Cálculo:
- P(errar) = 2/3.
- P(errar todos os 3 lançamentos): (2/3) × (2/3) × (2/3) = (2/3)^3 = 8/27.
- P(acertar ≥ 1): 1 − 8/27 = 19/27.
- Resposta: P = 19/27. - Cálculo direto: acertar 1, 2 ou 3 vezes
- Enunciado: Somar as probabilidades de acertar exatamente 1, 2 ou 3 vezes.
- Cálculo:
- Acertar exatamente 1 vez:- P(acertar) = 1/3, P(errar) = 2/3.
- P(1 acerto, 2 erros): (1/3)^1 × (2/3)^2 = 1/3 × 4/9 = 4/27.
- Formas de escolher 1 acerto em 3 lançamentos: C(3,1) = 3.
- Total: 3 × 4/27 = 12/27.
- Acertar exatamente 2 vezes: - P(2 acertos, 1 erro): (1/3)^2 × (2/3)^1 = 1/9 × 2/3 = 2/27.
- Formas: C(3,2) = 3.
- Total: 3 × 2/27 = 6/27.
- Acertar 3 vezes: - P(3 acertos): (1/3)^3 = 1/27.
- Formas: C(3,3) = 1.
- Total: 1 × 1/27 = 1/27.
- Soma: P(acertar ≥ 1) = 12/27 + 6/27 + 1/27 = 19/27.
- Resposta: P = 19/27.
Verificação
Ambos os métodos (complementar e direto) resultam em 19/27, confirmando a consistência. O método complementar é mais rápido, pois evita calcular múltiplos casos.
Dicas:
- Probabilidade complementar: Use P(evento) = 1 − P(não evento) para eventos do tipo “pelo menos”.
- Permutações: No cálculo direto, use combinações (C(n,k)) para contar as formas de cada caso.
- Erro comum: Esquecer de permutar ou somar todos os casos no método direto. Sempre valide com o método complementar.
- Prática: Treine os dois métodos para garantir que os resultados batem.
Resumo ajustado para colar no Word (máximo 500 palavras, com linguagem clara e concisa):
Um sistema de controle de qualidade tem três inspetores (A, B, C) que trabalham em série, cada um com probabilidade de 80% (0,8) de detectar uma peça defeituosa. Vamos calcular a probabilidade de uma peça defeituosa ser detectada por pelo menos um inspetor, usando a probabilidade complementar.
Probabilidade de detectar a peça defeituosa por pelo menos um inspetor
- Enunciado: P(detectar por pelo menos um) = P(A ou B ou C detecta).
- Método: Usa probabilidade complementar: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum detecta).
- Cálculo:
- P(detectar) = 0,8 por inspetor.
- P(não detectar) = 1 − 0,8 = 0,2 por inspetor.
- P(nenhum detecta): (0,2) × (0,2) × (0,2) = (0,2)^3 = 0,008.
- P(pelo menos um detecta): 1 − 0,008 = 0,992.
- Resposta: P = 0,992.
Verificação
- O cálculo de (0,2)^3:
- (0,2) = 2/10.
- (0,2)^3 = (2/10)^3 = 8/1000 = 0,008.
- Portanto, 1 − 0,008 = 0,992, confirmando o resultado.
- Alternativa: Calcular diretamente P(1, 2 ou 3 detecções) com combinações é mais complexo, mas resulta no mesmo valor (C(3,1) × 0,8 × 0,2^2 + C(3,2) × 0,8^2 × 0,2 + 0,8^3 = 0,992).
Dicas:
- Probabilidade complementar: Simplifica cálculos para eventos “pelo menos um”. Use P(evento) = 1 − P(não evento).
- Cuidado com decimais: (0,2)^3 = 0,008 (três casas decimais). Erros de arredondamento podem confundir.
- Erro comum: Não considerar a probabilidade complementar ou calcular incorretamente P(não detectar). Sempre verifique o complementar (0,8 + 0,2 = 1).
- Prática: Teste o cálculo direto (com combinações) para confirmar, mas prefira o complementar por ser mais rápido.
Resumo ajustado para colar no Word (máximo 500 palavras, em português, com linguagem clara e concisa):
A probabilidade de chover amanhã é 40% (0,4), e a de não chover é 60% (0,6). Se chover, a probabilidade de se atrasar é 60% (0,6); se não chover, é 30% (0,3). Vamos calcular a probabilidade total de se atrasar no dia seguinte, considerando os dois cenários (chover ou não chover).
Probabilidade de se atrasar
- Enunciado: P(atrasar) = P(atrasar | chover) + P(atrasar | não chover).
- Método: Usa a lei da probabilidade total, somando as probabilidades dos cenários mutuamente exclusivos (chover ou não chover).
- Cálculo:
- Chover e atrasar:
- P(chover) = 0,4.
- P(atrasar | chover) = 0,6.
- P(chover e atrasar) = 0,4 × 0,6 = 0,24 (24%).
- Não chover e atrasar:
- P(não chover) = 0,6.
- P(atrasar | não chover) = 0,3.
- P(não chover e atrasar) = 0,6 × 0,3 = 0,18 (18%).
- Total:
- P(atrasar) = 0,24 + 0,18 = 0,42 (42%).
- Resposta: P = 0,42 (ou 42%).
Verificação
- A soma das probabilidades de chover e não chover é 0,4 + 0,6 = 1, confirmando que os cenários cobrem todas as possibilidades.
- Em frações:
- Chover e atrasar: (4/10) × (6/10) = 24/100.
- Não chover e atrasar: (6/10) × (3/10) = 18/100.
- Total: 24/100 + 18/100 = 42/100 = 0,42.
Dicas:
- Probabilidade total: Para eventos condicionados a cenários excludentes, multiplique a probabilidade do cenário pela probabilidade condicional e some os resultados.
- Probabilidades complementares: Confirme que P(chover) + P(não chover) = 1.
- Erro comum: Esquecer de considerar todos os cenários (chover e não chover) ou não multiplicar corretamente as probabilidades condicionais.
- Prática: Desenhe uma árvore de probabilidades (chover/não chover → atrasar/não atrasar) para visualizar os caminhos e evitar erros.
Resumo ajustado para colar no Word (máximo 500 palavras, em português, com linguagem clara e concisa):
A probabilidade de Carol escrever uma carta para Paulo é 80% (0,8), e a de não escrever é 20% (0,2). Se a carta é enviada, a probabilidade de ser extraviada pelo correio é 20% (0,2), e a de não ser extraviada é 80% (0,8). Sabendo que Paulo não recebeu a carta, vamos calcular a probabilidade de a carta ter sido extraviada, usando probabilidade condicional.
Probabilidade de a carta ser extraviada, dado que Paulo não a recebeu
- Enunciado: P(extraviada | não recebida).
- Método: Usa a fórmula da probabilidade condicional: P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), onde A é “carta extraviada” e B é “não recebida”.
- Cálculo:
- Universo (não recebida): Paulo não recebe a carta em dois cenários:
1. Carol escreve e a carta é extraviada:
- P(escreve) = 0,8, P(extraviada) = 0,2.
- P(escreve ∩ extraviada) = 0,8 × 0,2 = 0,16.
2. Carol não escreve:
- P(não escreve) = 0,2.
- P(não recebida | não escreve) = 1 (certo, pois não há carta).
- P(não escreve) = 0,2.
- Total P(não recebida) = 0,16 + 0,2 = 0,36.
- Evento favorável (escreve e extraviada): P(escreve ∩ extraviada) = 0,16.
- Probabilidade condicional:
- P(extraviada | não recebida) = 0,16 / 0,36 = 16/36 = 4/9 ≈ 0,444.
- Resposta: P = 4/9 (ou ≈ 0,444).
Verificação
- Em frações:
- P(escreve ∩ extraviada) = (8/10) × (2/10) = 16/100.
- P(não recebida) = (16/100) + (20/100) = 36/100.
- P(extraviada | não recebida) = (16/100) / (36/100) = 16/36 = 4/9.
- A soma dos cenários de “não recebida” (escreve ∩ extraviada + não escreve) cobre todas as possibilidades relevantes.
Dicas:
- Probabilidade condicional: Divida o evento favorável (escreve ∩ extraviada) pelo universo condicional (não recebida).
- Árvore de probabilidades: Visualize os caminhos (escreve/não escreve → extraviada/não extraviada → recebida/não recebida) para clareza.
- Erro comum: Ignorar o cenário “não escreve” no universo de “não recebida” ou não dividir pelo total condicional.
- Prática: Confirme com uma árvore ou tabela para garantir que todos os cenários foram considerados.
Resumo ajustado para colar no Word (máximo 500 palavras, em português, com linguagem clara e concisa):
Em uma fila com 4 homens e 3 mulheres (7 pessoas), vamos calcular a probabilidade de formar filas onde homens e mulheres estejam alternados (ex.: homem, mulher, homem, mulher, homem, mulher, homem), usando análise combinatória para determinar os casos favoráveis e totais.
Probabilidade de homens e mulheres alternados
- Enunciado: P(fila com homens e mulheres alternados).
- Método: Probabilidade = (número de filas alternadas) / (total de filas possíveis).
- Cálculo:
- Total de filas: 7 pessoas podem ser organizadas de 7! formas (7 fatorial).
- 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040.
- Filas alternadas: Como há 4 homens e 3 mulheres, a única configuração alternada possível é homem, mulher, homem, mulher, homem, mulher, homem (H-M-H-M-H-M-H), devido ao número de homens e mulheres.
- Posições:
- Homens ocupam 4 posições (1ª, 3ª, 5ª, 7ª): 4 homens podem ser arranjados em 4! formas.
- Mulheres ocupam 3 posições (2ª, 4ª, 6ª): 3 mulheres podem ser arranjadas em 3! formas.
- Casos favoráveis: 4! × 3!.
- 4! = 24, 3! = 6.
- 4! × 3! = 24 × 6 = 144.
- Probabilidade:
- P = (4! × 3!) / 7! = 144 / 5040.
- Simplificando: 7! = 7 × 6 × 5 × 4! → (4! × 3!) / (7 × 6 × 5 × 4!) = (3!) / (7 × 6 × 5).
- 3! = 6 → 6 / (7 × 6 × 5) = 6 / 210 = 1 / 35.
- Resposta: P = 1/35 (ou ≈ 0,0286).
Verificação
- Outra configuração (M-H-M-H-M-H-M) não é possível, pois exige 4 mulheres, mas há apenas 3.
- Simplificação direta: (4! × 3!) / 7! = (24 × 6) / 5040 = 144 / 5040 = 1 / 35.
Dicas:
- Análise combinatória: Use fatorial para arranjos (ordem importa). Aqui, 7! é o total, e 4! × 3! conta as alternâncias.
- Configuração alternada: Verifique o padrão possível (H-M-H-M-H-M-H) com base no número de homens e mulheres.
- Erro comum: Considerar configurações impossíveis (ex.: M-H-M-H-M-H-M) ou esquecer de dividir pelo total (7!).
- Prática: Teste simplificando o fatorial passo a passo ou use uma calculadora para confirmar 144 / 5040 = 1 / 35.
Em um grupo de 10 pessoas, incluindo A e B, formam-se comissões de 4 pessoas, sem considerar a ordem (combinação). Vamos calcular a probabilidade de uma comissão conter A e não conter B, usando análise combinatória.
Probabilidade de A estar na comissão e B não estar
- Enunciado: P(A na comissão e B não na comissão).
- Método: Probabilidade = (número de comissões com A e sem B) / (total de comissões).
- Cálculo:
- Total de comissões: Escolher 4 pessoas entre 10, sem ordem:
- C(10,4) = 10! / (4! × 6!) = (10 × 9 × 8 × 7) / (4 × 3 × 2 × 1) = 210.
- Comissões favoráveis: A deve estar na comissão (fixa 1 vaga), e B não deve estar. Restam 9 pessoas (excluindo A e B), e precisamos escolher 3 (pois 4 − 1 = 3):
- C(8,3) = 8! / (3! × 5!) = (8 × 7 × 6) / (3 × 2 × 1) = 56.
- Probabilidade:
- P = C(8,3) / C(10,4) = 56 / 210.
- Simplificando: 56 ÷ 14 / 210 ÷ 14 = 4 / 15.
- Resposta: P = 4/15 (ou ≈ 0,2667).
Verificação
- Cálculo explícito:
- C(8,3) = (8 × 7 × 6) / 6 = 56.
- C(10,4) = (10 × 9 × 8 × 7) / 24 = 720 / 24 = 210.
- P = 56 / 210 = (56 ÷ 14) / (210 ÷ 14) = 4 / 15.
- Alternativa: A resposta pode ser mantida como C(8,3) / C(10,4) em algumas provas, mas 4/15 é a forma simplificada.
Dicas:
- Combinação: Use C(n,k) = n! / (k! × (n−k)!) quando a ordem não importa. Aqui, C(10,4) é o total, e C(8,3) é o favorável.
- Fixar condições: Fixe A na comissão e exclua B para contar as demais escolhas.
- Erro comum: Esquecer de excluir B ao calcular casos favoráveis ou não simplificar a fração corretamente.
- Prática: Confirme os cálculos de C(8,3) e C(10,4) manualmente ou com calculadora para reforçar a análise combinatória.
