Introduzione all`algebra matriciale e ai sistemi di equazioni

Question 1

Cos’è una matrice in algebra lineare?

Answer 1

Una matrice è un insieme di numeri disposti in righe e colonne, racchiuso tra parentesi quadre o tonde. Viene rappresentata con una lettera maiuscola (es. A o <u>A</u>).

Question 2

Come si definisce un vettore?

Answer 2

Un vettore è una matrice con una sola riga (vettore riga) o una sola colonna (vettore colonna). Si indica con una lettera minuscola (es. v).

Question 3

Cosa indica la “dimensione” di un vettore?

Answer 3

Il numero dei suoi elementi (es. un vettore colonna ha dimensione n × 1, un vettore riga 1 × n).

Question 4

Come si trasforma un vettore colonna in riga?

Answer 4

Con l’operazione di trasposizione, indicata da un apice: se v è un vettore colonna, v’ è la sua versione riga.

Question 5

Qual è la differenza tra vettore e vettore riga?

Answer 5

Per convenzione, “vettore” senza specifiche si riferisce a un vettore colonna; i vettori riga si indicano esplicitamente con l’apice (es. v’).

Question 6

Cos’è una matrice quadrata?

Answer 6

Una matrice con lo stesso numero di righe e colonne (n × n). Gli elementi a_ii formano la diagonale principale.

Question 7

Come si definisce la traccia di una matrice?

Answer 7

La somma degli elementi sulla diagonale principale.

Question 8

Cos’è una matrice diagonale?

Answer 8

Una matrice quadrata con tutti gli elementi fuori diagonale uguali a zero. Si indica spesso con D

Question 9

Quando una matrice è simmetrica?

Answer 9

Quando è uguale alla sua trasposta (A’ = A), cioè gli elementi sono speculari rispetto alla diagonale (es. matrici di correlazione).

Question 10

Come si ottiene la trasposta di una matrice?

Answer 10

Scambiando righe con colonne: l’elemento a_ij diventa a_ji in A’.

Question 11

Cosa significa partizionare una matrice?

Answer 11

Suddividerla in sottomatrici tracciando linee orizzontali/verticali. La trasposta di una matrice partizionata è la trasposta di ogni sottomatrice.

Question 12

A cosa servono matrici e vettori in genetica animale?

Answer 12

A organizzare dati fenotipici (es. performance animali) e calcolare parametri genetici (es. correlazioni, eredità).

Question 13

Perché le matrici simmetriche sono importanti?

Answer 13

Descrivono relazioni bilaterali (es. correlazioni tra caratteri) e semplificano i calcoli (es. A’ = A).

Question 14

Come si rappresenta un vettore di dati fenotipici?

Answer 14

Come vettore colonna, dove ogni elemento è il valore misurato su un soggetto (es. peso, produzione di latte).

Question 15

Qual è l’utilità delle matrici diagonali?

Answer 15

Sono usate per modellare varianze genetiche o errori indipendenti (es. in modelli misti).

Question 16

Cos’è una matrice scalare?

Answer 16

Una matrice quadrata, simmetrica e diagonale in cui tutti gli elementi sulla diagonale principale sono uguali tra loro.

Question 17

Qual è la differenza tra una matrice scalare e una matrice diagonale generica?

Answer 17

Nella matrice scalare, tutti gli elementi diagonali sono identici, mentre in una matrice diagonale generica possono essere diversi.

Question 18

Come è definita una matrice identità?

Answer 18

È una matrice quadrata, simmetrica e diagonale con:

1 su tutta la diagonale principale.

0 in tutte le altre posizioni.

Question 19

Qual è la traccia di una matrice identità di ordine n × n?

Answer 19

La traccia è uguale a n (la somma degli elementi diagonali).

Question 20

Cosa succede se moltiplichi una matrice A per la matrice identità I?

Answer 20

La matrice A rimane invariata: A × I = A.

Question 21

Cos’è una matrice nulla?

Answer 21

Una matrice in cui tutti gli elementi sono 0.

Question 22

Cosa accade se sommi o sottrai una matrice nulla a una matrice A?

Answer 22

La matrice A non cambia: A + 0 = A e A - 0 = A.

Question 23

Cosa ottieni se sottrai una matrice A a sé stessa

Answer 23

La matrice nulla: A - A = 0.

Question 24

Cosa produce la moltiplicazione di una matrice nulla per una matrice A?

Answer 24

La matrice nulla: 0 × A = 0.

Question 25

Cos’è una matrice triangolare?

Answer 25

Una matrice quadrata in cui tutti gli elementi sopra o sotto la diagonale principale sono 0.

Question 26

Quali sono i due tipi di matrici triangolari?

Answer 26

Triangolare superiore: elementi nulli sotto la diagonale. Triangolare inferiore: elementi nulli sopra la diagonale.

Question 27

Come si esegue l’addizione di uno scalare a un vettore?

Answer 27

Si somma lo scalare a ogni elemento del vettore.

Question 28

Come funziona la sottrazione tra uno scalare e un vettore?

Answer 28

Equivale a sommare lo scalare negativo o l’opposto del vettore.

Question 29

Come si moltiplica un vettore per uno scalare?

Answer 29

Ogni elemento del vettore viene moltiplicato per lo scalare.

Question 30

Come si esegue la “divisione” di un vettore per uno scalare?

Answer 30

Non esiste una vera divisione, ma si moltiplica il vettore per il reciproco dello scalare (1/x).

Question 31

Quali proprietà valgono per le operazioni tra vettori e scalari?

Answer 31

Commutativa: ka = ak Associativa: k(xa) = (kx)a Distributiva: k(a + b) = ka + kb Elemento neutro: 1a = a Annichilazione: 0a = 0 Opposto: -1a = -a

Question 32

A cosa serve la matrice identità nei calcoli matriciali?

Answer 32

Funziona come l’“1” nell’algebra tradizionale: lascia invariata qualsiasi matrice con cui viene moltiplicata.

Question 33

Perché la matrice nulla è importante?

Answer 33

È l’elemento neutro per l’addizione e annulla qualsiasi matrice nella moltiplicazione.

Question 34

Dove si usano le matrici triangolari?

Answer 34

In algoritmi di decomposizione matriciale (es. LU, QR) per semplificare calcoli complessi.

Question 35

Perché non esiste una vera divisione tra matrici/vettori?

Answer 35

Perché l’algebra lineare lavora con inverse moltiplicative anziché divisioni dirette.

Question 36

Quali condizioni devono soddisfare due vettori per essere sommati?

Answer 36

Devono avere: La stessa dimensione (stesso numero di elementi) La stessa forma (entrambi vettori riga o entrambi vettori colonna)

Question 37

Come si esegue l'addizione tra due vettori colonna?

Answer 37

Si sommano elemento per elemento:

Question 38

Cosa si ottiene sommando un vettore al suo opposto?

Answer 38

Il vettore nullo (tutti gli elementi uguali a 0).

Question 39

Come viene definita la sottrazione tra vettori?

Answer 39

Come l'addizione del primo vettore con l'opposto del secondo:

Question 40

Perché l'ordine degli operandi è importante nella sorttrazione tra vettori?

Answer 40

Perché la sottrazione non è commutativa:

Question 41

Quando è possibile moltiplicare due vettori?

Answer 41

Solo se uno è un vettore riga e l'altro un vettore colonna della stessa dimensione.

Question 42

Che tipo di risultato si ottiene dalla moltiplicazione tra vettori?

Answer 42

Uno scalare (numero singolo)

Question 43

Come si calcola il prodotto scalare di un vettore?

Answer 43

Moltiplicando elemento per elemento e sommando i risultati:

Question 44

Perché non si possono moltiplicare due vettori riga o due colonna direttamente?

Answer 44

Perché le dimensioni non sono compatibili per la moltiplicazione matriciale standard.

Question 45

Come si calcola il prodotto scalare di un vettore con sé stesso?

Answer 45

Moltiplicando il vettore per la sua trasposta. Questo restituisce la somma dei quadrati degli elementi.

Question 46

A cosa serve il prodotto scalare con il vettore unità?

Answer 46

A calcolare la somma degli elementi del vettore originale:

Question 47

Qual è la differenza tra prodotto scalare e prodotto vettoriale?

Answer 47

Il prodotto scalare restituisce un numero, mentre il prodotto vettoriale (in spazi 3D) restituisce un altro vettore.

Question 48

Dove si applica il prodotto scalare nella pratica?

Answer 48

In statistica (calcolo della covarianza), fisica (lavoro meccanico) e machine learning (distanze tra vettori).

Question 49

Come si rappresenta l'opposto di un vettore?

Answer 49

Cambiando il segno di tutti i suoi elementi:

Question 50

Cosa accade se si tenta di sommare un vettore riga e uno colonna?

Answer 50

: L'operazione è non definita in algebra lineare standard.

Question 51

La moltiplicazione di una matrice per uno scalare è commutativa?

Answer 51

Sì, vale la proprietà commutativa: kA = Ak, dove k è uno scalare e A una matrice.

Question 52

Come si esegue l'addizione tra uno scalare x e una matrice A?

Answer 52

Si aggiunge x a ogni elemento di A:

Question 53

Perché la sottrazione tra uno scalare e una matrice non è commutativa?

Answer 53

Perché l'ordine altera il risultato:

Question 54

Quando due matrici possono essere sommate?

Answer 54

Solo se hanno stesse dimensioni (stesso numero di righe e colonne).

Question 55

Cosa succede se si tenta di sommare matrici di dimensioni diverse?

Answer 55

L'operazione è non definita (matrici non conformabili).

Question 56

Come si calcola A − B?

Answer 56

Sottraendo elemento per elemento:

Question 57

Qual è la condizione per moltiplicare due matrici A e B?

Answer 57

Il numero di colonne di A deve essere uguale al numero di righe di B.

Question 58

Come si calcola l'elemento cij della matrice prodotto C = AB?

Answer 58

Mediante il prodotto scalare della i-esima riga di A con la j-esima colonna di B:

Question 59

La moltiplicazione tra matrici è commutativa?

Answer 59

No, anche per matrici quadrate: AB ≠ BA in generale.

Question 60

Cosa si ottiene moltiplicando un vettore colonna v per un vettore riga u'?

Answer 60

Una matrice (non uno scalare):

Question 61

Cos’è una matrice ortogonale?

Answer 61

Una matrice quadrata le cui colonne (e righe) sono vettori unitari ortogonali tra loro.

Question 62

Come si calcola l’inversa di una matrice ortogonale Q?

Answer 62

Coincide con la sua trasposta: Q⁻¹ = Q'.

Question 63

Quale proprietà geometrica preserva una matrice ortogonale?

Answer 63

Lunghezze e angoli quando applicata a vettori (es. rotazioni e riflessioni).

Question 64

Come si definisce A² per una matrice quadrata A?

Answer 64

Come A × A (moltiplicazione di A per sé stessa).

Question 65

Vale la regola AᵐAⁿ = Aᵐ⁺ⁿ per matrici?

Answer 65

Sì, purché A sia quadrata e m, n interi positivi.

Question 66

Perché la divisione diretta matrice/scalare non esiste?

Answer 66

Si usa invece la moltiplicazione per l’inverso dello scalare:

Question 67

Cosa accade se si moltiplicano due matrici non conformabili?

Answer 67

L'operazione è impossibile

Question 68

Cos'è il determinante di una matrice quadrata?

Answer 68

È un valore scalare associato alla matrice, indicato con det(A) o |A|, che fornisce informazioni su proprietà come l'invertibilità e il volume trasformato dalla matrice.

Question 69

Calcolo del Determinante (2×2)

Answer 69

Per una matrice 2x2 il determinante di individua come il prodotto della diagonale principale meno il prodotto della diagonale secondaria

Question 70

Qual è la formula per il determinante di una matrice 3×3?

Answer 70

Usando la regola di Sarrus: Per una matrice 3x3 il determinate è la somma dei prodotti degli elementi in direzione della diagonale principale meno il prodotto degli elementi sulla direzione della diagonale secondaria, usando ogni volta un solo elemento in ogli riga e ogni colonna

Question 71

Cosa succede al determinante se si scambiano due righe di una matrice?

Answer 71

Cambia segno: se A' è ottenuta scambiando due righe di A, allora det(A') = -det(A).

Question 72

Se una matrice ha una riga di zeri, qual è il suo determinante?

Answer 72

È zero, perché il contributo di quella riga al calcolo è nullo.

Question 73

Qual è il determinante di una matrice identità I?

Answer 73

Sempre 1, indipendentemente dalla dimensione.

Question 74

Come si calcola il determinante di una matrice diagonale?

Answer 74

È il prodotto degli elementi sulla diagonale principale:

Question 75

Come funziona il metodo dei minori e cofattori per matrici grandi?

Answer 75

Si sceglie una riga/colonna (spesso quella con più zeri). Per ogni elemento: Si elimina la riga e colonna dell'elemento, ottenendo una sottomatrice. Si calcola il determinante di questa sottomatrice (minore). Si moltiplica per (-1)ⁱ⁺ʲ (cofattore). Si sommano tutti i contributi.

Question 76

A cosa serve il determinante in pratica?

Answer 76

Invertibilità: Se det(A) ≠ 0, la matrice è invertibile. Sistemi lineari: Risolvere Ax = b (Regola di Cramer). Geometria: Calcolare aree/volumi trasformati da A.

Question 77

Perché il determinante è definito solo per matrici quadrate?

Answer 77

Perché il concetto di volume/area trasformato richiede un numero uguale di dimensioni in input e output (righe = colonne).

Question 78

Cosa indica un determinante negativo?

Answer 78

Una trasformazione che "inverte" l'orientamento dello spazio (es. una riflessione).

Question 79

Cos'è il rango di una matrice?

Answer 79

È l'ordine massimo delle sue sottomatrici quadrate con determinante non nullo. Indica la "dimensionalità" dello spazio generato dalle colonne o righe della matrice. Simbolo: r(A)

Question 80

Se una matrice ha dimensioni m×n, quali valori può assumere il suo rango?

Answer 80

Il rango è sempre compreso tra 0 e min(m,n).

Question 81

Cos'è la matrice inversa A ^−1 ?

Answer 81

È la matrice che, moltiplicata per A, restituisce la matrice identità:

Question 82

Se det⁡(A)=0, cosa si può dire del rango?

Answer 82

Il rango è minore dell'ordine della matrice

Question 83

Come si calcola l'inversa di una matrice utilizzando il metodo dei cofattori e determinanti?

Answer 83

Per calcolare l'inversa di una matrice quadrata A con il metodo dei cofattori: Calcolare il determinante det(A): Se det(A) = 0, la matrice non è invertibile Costruire la matrice dei cofattori: Sostituire ogni elemento aᵢⱼ con il suo cofattore Cᵢⱼ = (-1)ⁱ⁺ʲdet(Mᵢⱼ), dove Mᵢⱼ è la sottomatrice ottenuta eliminando la riga i e colonna j Trasporre la matrice dei cofattori per ottenere la matrice aggiunta adj(A) Dividere ogni elemento della matrice aggiunta per il determinante: A⁻¹ = adj(A)/det(A)