Matemática 19 A Flashcards
(20 cards)
Como se calcula a média aritmética e o que é o desvio de um número em estatística?
A média aritmética é calculada somando todos os valores e dividindo pela quantidade de valores. O desvio de um número é a diferença entre esse número e a média, sendo apenas a subtração do valor pela média, sem relação com o desvio padrão.
Como calcular e interpretar a média aritmética e o desvio de um conjunto de números em estatística?
Média Aritmética: Soma dos valores dividida pela quantidade de elementos. Ex.: {0, 22, 35, 38} → (0 + 22 + 35 + 38) / 4 = 23,75. O zero deve ser incluído, pois afeta a quantidade.
Desvio: Diferença entre um valor e a média. Ex.: Para 0, desvio = 0 - 23,75 = -23,75. A soma dos desvios é sempre zero.
Interpretação da Média: Representa um valor central, como se todos os elementos fossem iguais à média. Adicionar a média ao conjunto não altera seu valor. Entender a média é crucial para interpretar o conjunto.
Como calcular a nova média de um conjunto de 11 números com média 12 após: (a) retirar o número 8; (b) retirar o número 8 e adicionar o número 19?
Conjunto Inicial: 11 números, média 12 → soma = 11 × 12 = 132.
(a) Retirar o número 8:
Nova soma: 132 - 8 = 124.
Nova quantidade: 11 - 1 = 10.
Nova média: 124 / 10 = 12,4.
Alternativa (interpretação): Cada número é como se fosse 12. Retirar 8 deixa 12 - 8 = 4, que é redistribuído entre os 10 números restantes: 4 / 10 = 0,4. Nova média: 12 + 0,4 = 12,4.
(b) Retirar o número 8 e adicionar o número 19:
Retirar 8: Soma = 132 - 8 = 124.
Adicionar 19: Soma = 124 + 19 = 143.
Quantidade permanece 11.
Nova média: 143 / 11 = 13.
Alternativa (interpretação): Retirar 8 deixa 4. Adicionar 19 resulta em 4 + (19 - 12) = 11 a mais, distribuído entre 11 números: 11 / 11 = 1. Nova média: 12 + 1 = 13.
Interpretação da Média: A média (12) é como se todos os números fossem 12. Alterações (retirar/adicionar) ajustam a diferença redistribuída entre os números restantes, mantendo a lógica da média.
Pergunta: Qual é o valor de ( x ) no conjunto {32, 35, 31, 29, ( x )} para que a média seja 33?
Resumo:
- Conjunto: {32, 35, 31, 29, ( x )}, média desejada = 33.
- Método Tradicional:
- Média = (soma dos valores) / quantidade.
- Soma = 32 + 35 + 31 + 29 + ( x ) = 127 + ( x ).
- Quantidade = 5.
- Equação: (127 + ( x )) / 5 = 33 → 127 + ( x ) = 165 → ( x ) = 38.
- Método dos Desvios:
- Média 33 significa que cada número é como se fosse 33.
- Calcular desvios (valor - média):
- 32 - 33 = -1
- 35 - 33 = +2
- 31 - 33 = -2
- 29 - 33 = -4
- Soma dos desvios: -1 + 2 - 2 - 4 = -5.
- A soma total dos desvios deve ser zero, então o desvio de ( x ): ( x - 33 = +5 ).
- Logo, ( x = 33 + 5 = 38 ).
- Conclusão: ( x = 38 ). O método dos desvios usa a propriedade de que a soma dos desvios é zero, simplificando o cálculo.
Dados: 8 homens (média 6), 10 mulheres, média geral 8, total de 18 pessoas.
Método Tradicional:
Soma das notas dos homens: 6 × 8 = 48.
Soma total (geral): 8 × 18 = 144.
Soma das notas das mulheres: 144 - 48 = 96.
Média das mulheres: 96 / 10 = 9,6.
Método dos Desvios:
Média geral 8: como se todos (homens e mulheres) tivessem nota 8.
Média dos homens 6: cada homem tem 2 pontos a menos que a média geral (8 - 6 = 2).
Total de “pontos faltantes” (desvio dos homens): 2 × 8 = 16.
Esses 16 pontos são distribuídos entre as 10 mulheres: 16 / 10 = 1,6.
Média das mulheres: 8 + 1,6 = 9,6.
Conclusão: A média das notas das mulheres é 9,6. Ambos os métodos confirmam o resultado.
Resumo:
Dados: Primeira etapa: 1000 pessoas, média 7 (soma = 1000 × 7 = 7000). Média geral (com segunda etapa) = 8.
Método Tradicional:
Segunda etapa: <math><semantics><mrow><mi>x</mi></mrow><annotation> x </annotation></semantics></math> pessoas, todas com nota 10 (máximo, para minimizar <math><semantics><mrow><mi>x</mi></mrow><annotation> x </annotation></semantics></math>).
Média geral: (soma total) / (total de pessoas) = 8.
Equação: (7000 + 10<math><semantics><mrow><mi>x</mi></mrow><annotation> x </annotation></semantics></math>) / (1000 + <math><semantics><mrow><mi>x</mi></mrow><annotation> x </annotation></semantics></math>) = 8.
Resolvendo: 7000 + 10<math><semantics><mrow><mi>x</mi></mrow><annotation> x </annotation></semantics></math> = 8000 + 8<math><semantics><mrow><mi>x</mi></mrow><annotation> x </annotation></semantics></math> → 2<math><semantics><mrow><mi>x</mi></mrow><annotation> x </annotation></semantics></math> = 1000 → <math><semantics><mrow><mi>x</mi></mrow><annotation> x </annotation></semantics></math> = 500.
Método dos Desvios:
Primeira etapa: 1000 pessoas, média 7 (como se todas tivessem nota 7).
Meta: média geral 8 (como se todas tivessem nota 8).
Cada pessoa da primeira etapa precisa de +1 (de 7 para 8), totalizando 1000 pontos necessários.
Segunda etapa: <math><semantics><mrow><mi>x</mi></mrow><annotation> x </annotation></semantics></math> pessoas com nota 10 (média 10). Cada uma contribui +2 pontos (10 - 8) para a média geral.
Para 1000 pontos: 2<math><semantics><mrow><mi>x</mi></mrow><annotation> x </annotation></semantics></math> = 1000 → <math><semantics><mrow><mi>x</mi></mrow><annotation> x </annotation></semantics></math> = 500.
Conclusão: O número mínimo de pessoas na segunda etapa é 500, todas dando nota 10.
Resumo: A media ponderada e calculada como (1 * 5 + 4 * 4 + x * 3) / (5 + 4 + 3) = 3.
Metodo Tradicional: Resolve (5 + 16 + 3x) / 12 = 3. Multiplica por 12: 21 + 3x = 36. Entao, 3x = 15, logo x = 5.
Metodo dos Desvios: Assume todos os valores como 3. Desvios: para 1, 1 - 3 = -2, peso 5, total -10; para 4, 4 - 3 = 1, peso 4, total 4. Soma: -10 + 4 = -6. Para soma dos desvios ser 0, desvio de x: 3 * (x - 3) = 6, entao x - 3 = 2, logo x = 5.
Conclusao: x = 5. O metodo dos desvios usa a soma zero, ajustada por pesos, para simplificar.
Para encontrar a temperatura final, usa-se a média ponderada, considerando os litros como pesos. A fórmula é: (20 * 10 + 30 * 20) / (10 + 20) = (200 + 600) / 30 = 800 / 30 ≈ 26,67°C. A temperatura fica entre 20°C e 30°C, mais próxima de 30°C, pois há mais água (20 litros) a 30°C. Na média ponderada, os pesos são as quantidades (10 e 20 litros), não as temperaturas. Identifique os pesos como a variável que “arrasta” a média (litros, neste caso) ou a variável que não é o valor a calcular (temperatura). Os pesos podem ser simplificados proporcionalmente (ex.: 10 e 20 viram 1 e 2), já que a proporcionalidade importa. Cuidado: erros comuns incluem usar temperaturas como pesos ou somar valores errados no denominador.
A velocidade média total não é a média aritmética (75 km/h), mas uma média ponderada, onde os pesos são os tempos gastos. Suponha a distância de ida e volta como 100 km. Tempo de ida: 100 / 50 = 2 horas; tempo de volta: 100 / 100 = 1 hora. Pesos: 2 (ida) e 1 (volta). Fórmula: (50 * 2 + 100 * 1) / (2 + 1) = (100 + 100) / 3 = 200 / 3 ≈ 66,67 km/h. Alternativamente, pela definição física, velocidade média = distância total (200 km) / tempo total (2 + 1 = 3 horas) = 200 / 3 ≈ 66,67 km/h. A média é mais próxima de 50 km/h, pois mais tempo foi gasto na ida. Cuidado: a distância é a mesma, mas o tempo (não a distância) é o peso na média ponderada.
A base média ponderada de um trapézio com bases 2 (peso 1) e 8 (peso 3) é 6,5, mais próxima de 8 devido ao maior peso (3) associado a 8, indicando maior influência. Diferente da média aritmética (5, equidistante), a ponderada reflete a relevância ajustada pelos pesos, aplicável em geometria para pontos médios ou propriedades onde uma base predomina.
O que é a mediana de um conjunto de dados, e qual é o cuidado principal ao calculá-la?
A mediana é o valor central de um conjunto de dados ordenado (em ordem crescente ou decrescente). Para encontrá-la, ordene os números e identifique o do meio. Se a quantidade de números for par, a mediana é a média dos dois valores centrais. O principal cuidado é não esquecer de ordenar o conjunto antes, pois calcular a mediana sem ordenar leva a erros frequentes em provas.
Como calcular mediana e moda de um conjunto de dados, e como determinar a posição da mediana?
Mediana é o valor central de um conjunto ordenado. Posição: (n + 1) / 2, onde n é o número de elementos. Se n ímpar (ex.: 7), mediana na posição 4; se par (ex.: 10), média das posições 5 e 6. Para n grande (ex.: 19), posição 10, sem ordenar tudo. Moda é o valor mais repetido. Cuidado: ordene para mediana, ou o resultado será errado.
Conjunto: {0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6} (11 números, ordenado).
Mediana: Posição (11 + 1) / 2 = 6, valor = 2.
Moda: Valor mais repetido = 1. Se 2 repetisse igualmente, bimodal (1 e 2).
Média: Soma 28 / 11 ≈ 2,55.
Adicionando 29/11: Média não muda (valor igual à média). Moda vira 29/11. Mediana, após reordenação (29/11 ≈ 2,55, entre 2 e 3), fica próxima ou igual a 29/11.
Cuidado: Sempre ordene para mediana, ou haverá erro.
A mediana 2,5 indica que o conjunto ordenado tem 10 pessoas com notas até 2,5 e 10 acima. Com 20 pessoas, 6 tiraram nota 2 e 9 tiraram nota 3, restam 5 pessoas. Para a mediana ser 2,5 (entre posições 10 e 11), 4 pessoas tiraram nota 1 (completando 10 até a posição 10 com notas 1 e 2) e 7 tiraram nota 4 (após as 9 com nota 3). A nota modal, que mais aparece, é 4 (7 pessoas). Conclusão: A nota modal é 4.
A media de a, b, c, d e 12, entao a + b + c + d = 48. A mediana e 7, sendo a media de b e c (valores centrais), logo b + c = 14. Assim, a + d = 48 - 14 = 34. A media entre a e b e (a + b) / 2. Como a + b = 34, a media e 34 / 2 = 17. Alternativamente: cada valor e como se fosse 12, mas b e c tem media 7, “faltando” 5 cada (total 10). Esses 10 pontos sao redistribuidos, adicionando 5 a a e 5 a d, tornando a = d = 17. Logo, a media de a e b e 17. Conclusao: A media entre a e b e 17.
