Lecture 19 Flashcards
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Definition „diagonalisierbar“
Eine Matrix A ∈ K^{n×n} heißt diagonalisierbar, wenn es eine Basis von K^n gibt, die nur aus Eigenvektoren von A besteht; äquivalent: A ist ähnlich zu einer Diagonalmatrix.
Was bedeutet „ähnlich zu einer Diagonalmatrix“?
Es existiert S ∈ GL_n(K) mit S^{-1} A S = diag(λ₁,…,λ_n); dabei stehen die Eigenwerte λ_i auf der Diagonale.
Beispiel – diagonalisierbare 2×2-Matrix
A = [[0 1]; [1 0]] hat χ_A(x)=x²−1, Eigenwerte λ=±1 und Eigenvektoren (1,1)^T bzw. (1,−1)^T; die beiden Eigenvektoren bilden eine Basis ⇒ A ist diagonalisierbar.
Beispiel – nicht diagonalisierbar wegen fehlender Eigenwerte
A = [[0 1]; [−1 0]] besitzt über ℝ keine Eigenwerte (χ_A(x)=x²+1). Ohne Eigenwerte keine Eigenvektoren ⇒ nicht diagonalisierbar über ℝ.
Beispiel – nicht diagonalisierbar wegen zu weniger Eigenvektoren
A = [[1 1]; [0 1]] hat einzigen Eigenwert λ=1 mit mg(1)=1<ma(1)=2 ⇒ nicht genug Eigenvektoren ⇒ nicht diagonalisierbar.
Beziehung zwischen algebraischer und geometrischer Vielfachheit
Für jeden Eigenwert λ gilt immer 1 ≤ mg(λ) ≤ ma(λ).
Kriterium für Diagonalisierbarkeit
A ist diagonalisierbar ⇔
(1) χ_A zerfällt vollständig in Linearfaktoren (alle Eigenwerte liegen im Körper) und
(2) Für jeden Eigenwert gilt mg(λ)=ma(λ).
Warum reicht mg(λ)=ma(λ) zusammen mit Faktorzerfall?
Dann liefern die Eigenräume insgesamt n linear unabhängige Eigenvektoren; diese bilden eine Basis → A wird zur Diagonalmatrix ähnlichkeitstransformiert.
Zwei typische Hindernisse der Diagonalisierung
(i) χ_A besitzt nicht genug Eigenwerte im Körper; (ii) Es gibt nicht genügend Eigenvektoren, d. h. mg(λ)<ma(λ) für irgendein λ.
obere Dreiecksgestalt
Ist der Körper algebraisch abgeschlossen (z. B. ℂ), so ist jede Matrix A zu einer oberen Dreiecksmatrix S^{-1}AS ähnlich; auf der Diagonalen stehen die Eigenwerte.
Unterschied Diagonalisierung vs. Dreiecksgestalt
Dreiecksgestalt benötigt nur Eigenwerte, nicht zwingend genügend Eigenvektoren; Diagonalisierung verlangt zusätzlich mg(λ)=ma(λ) für alle λ.
Konsequenz für Alg.-abgeschlossene Körper
Über ℂ hat jede Matrix mindestens einen Eigenwert und ist immer dreiecksfähig, aber nicht zwingend diagonalisierbar.
Wie prüft man praktisch die Diagonalisierbarkeit?
(1) Bestimme χ_A und faktorisier es.
(2) Für jeden Eigenwert: löse (A−λI)x=0, ermittle mg(λ). (3) Ist χ_A linear zerlegt und mg(λ)=ma(λ) für alle λ, dann A diagonalisierbar.
