Lecture 14 Flashcards
(16 cards)
Was ist die Darstellungsmatrix DC,B(φ) einer linearen Abbildung φ:V→W?
Die Matrix A=DC,B(φ)∈Km×n enthält in ihrer jj-ten Spalte die Koordinaten von φ(vj) bezüglich der Basis C={w1,…,wm}; B={v1,…,vn}.
Wie liest man aus einer Darstellungsmatrix die Bilder der Basisvektoren ab?
Jede Spalte jj ist der Koordinatenvektor von φ(vj) in C. Damit gilt: „Spalten = Bilder der Basisvektoren“.
Warum bestimmen die Bilder der Basisvektoren φφ eindeutig?
(1) Gibt man φ(vi)) für alle Basisvektoren vor, ist φ eindeutig festgelegt.
(2) Umgekehrt existiert zu beliebigen Zielvektoren w1,…,wn genau eine lineare Abbildung mit φ(vi)=wi
Wie lautet die Darstellungsmatrix einer Links-Drehung um 60∘ im R2 (Standardbasis)?
[ 1/2 -√3/2 ; √3/2 1/2 ]
Darstellungsmatrix der Ableitung φ(f)=f′ auf V={f∈ℝ[x] | deg f<3} mit Basis (1,x,x²)?
[ 0 1 0 ; 0 0 2 ; 0 0 0 ]
Was sagt Satz 9.4 für V=Kⁿ, W=Kᵐ?
Jede lineare Abbildung φ : Kⁿ → Kᵐ lässt sich eindeutig als φ(v)=A·v schreiben, wobei A die Darstellungsmatrix in den Standardbasen ist.
Wie lautet die Kompositionsformel für Darstellungsmatrizen?
D_{C,A}(ψ ∘ φ) = D_{C,B}(ψ) · D_{B,A}(φ).
Wann ist φ_A invertierbar und wie sieht die Matrix von φ_A^{-1} aus?
φ_A ist invertierbar genau dann, wenn A regulär ist; dann gilt D(φ_A^{-1}) = A^{-1}.
Definition der allgemeinen linearen Gruppe GL_n(K)?
GL_n(K) = { A ∈ K^{n×n} | A invertierbar }; sie bildet mit dem Matrixprodukt eine Gruppe.
Wie konstruiert man die Basiswechselmatrix S_{B,B′}?
Schreibe jeden neuen Basisvektor v′j als v′j = Σ_i a{i,j} v_i; die Koeffizienten a{i,j} bilden die Spalten von S_{B,B′}.
Warum ist die Rückmatrix T zur Basiswechselmatrix S gerade S^{-1}?
Weil die beiden Darstellungen zueinander invers sind (S·T = I_n ⇒ T = S^{-1}).
Basiswechselformel für Endomorphismen φ : V → V?
D_{B′}(φ) = S^{-1} · D_B(φ) · S, wobei S = S_{B,B′}.
Basiswechselformel für φ : V → W mit Basen B,B′ in V und C,C′ in W?
D_{C′,B′}(φ) = S_{C′,C} · D_{C,B}(φ) · S_{B,B′} = S^{-1}{C,C′} · D{C,B}(φ) · S_{B,B′}.
Wann heißen zwei quadratische Matrizen A,B ähnlich?
Wenn es S ∈ GL_n(K) gibt mit B = S^{-1} A S.
Wann sind zwei Matrizen A,B ∈ K^{m×n} äquivalent?
Wenn es S ∈ GL_n(K) und T ∈ GL_m(K) gibt mit B = T^{-1} A S.
Praxis-Tipp – warum lohnt ein geschickter Basiswechsel?
Eine passende Basis kann die Darstellungsmatrix stark vereinfachen (z. B. wird aus [ 0 1 ; 1 0 ] nach Basiswechsel eine Diagonalmatrix).
