Lecture 22 Flashcards
(9 cards)
Was bedeutet „positive, stochastische Matrix“?
A = (aij) ∈ ℝn×n heißt stochastisch, wenn aij ≥ 0 und jede Zeile 1 summiert. Sie heißt positiv, wenn zusätzlich aij > 0 für alle i,j.
Welche Dreiecksgestalt besitzt jede positive, stochastische Matrix A?
Sie ist ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix mit 1 in der linken oberen Ecke, allen übrigen Eigenwerten λi auf der Diagonale und |λi| < 1.
Lemma 12.8 – Wie eliminiert man den Superdiagonal-Vektor in einer solchen Matrix?
Für A = ⎡1 b; 0 B⎤ mit 1 kein Eigenwert von B existiert S∈GLn(K), so dass S⁻¹AS = ⎡1 0; 0 B⎤.
Ungleichung für Matrixprodukte?
Aus A ≤ C und B ≤ D (eintragsweise) folgt AB ≤ CD.
Verhalten von Bk bei |λi|<1?
Für eine obere Dreiecksmatrix B mit ‖λi‖<1 gilt lim k→∞ Bk = 0 (alle Einträge konvergieren gegen 0).
Grenzwert von Ak für positive, stochastische A?
Es existiert der Grenzwert lim k→∞ Ak = ⎡α₁ … αn; … ; α₁ … αn⎤,wobei (α₁,…,αn)ᵀ der eindeutig bestimmte Eigenvektor von AT zum Eigenwert 1 mit Σαi = 1 ist.
Was folgt für jeden Wahrscheinlichkeitsvektor v?
Für v∈ℝ1×n mit Σvi = 1 gilt lim k→∞ v·Ak = (α₁,…,αn).
Algorithmus 12.12 (Google-Algorithmus) – Schritte?
(1) Erstelle Weblink-Matrix, baue daraus Google-Matrix G.
(2) Wähle Startvektor p mit Σpi = 1.
(3) Iteriere p ← p·G bis Änderung klein.
(4) Benutze p als PageRank-Vektor.
Beispiel Zufallssurfer (3 Seiten, Matrix S) – Ergebnis nach 100 Klicks?
S¹⁰⁰
