Lecture 13

Question 1

Wie bestimmt man eine lineare Abbildung vollständig?

Answer 1

Es genügt, für jeden Basisvektor vi​ sein Bild wi​ festzulegen; dadurch ist φ(v)=∑aiwi​ für jedes v=∑aiviv​ eindeutig definiert.

Question 2

Was ist die Darstellungsmatrix DC,B(φ)?

Answer 2

Für Basen B=(v1,…,vn) in V und C=(w1,…,wm) in W schreibt man jedes φ(vj)=∑i=1m aij wi ​. Die Spalten (a1,j,…,am,j)⊤ bilden eine m×n-Matrix – die Darstellungsmatrix.

Question 3

Welche Information steckt in den Spalten der Darstellungsmatrix?

Answer 3

Jede Spalte enthält genau die Koordinaten des Bildes eines Basisvektors und zeigt so unmittelbar, wie φ auf der Basis wirkt.

Question 4

Wann sind zwei lineare Abbildungen gleich?

Answer 4

Wenn sie dieselben Bilder der Basisvektoren besitzen – äquivalent: wenn ihre Darstellungsmatrizen identisch sind.

Question 5

Gibt es zu jeder m×n-Matrix eine passende lineare Abbildung?

Answer 5

Ja. Zu einer beliebigen Matrix lassen sich Bilder der Basisvektoren so wählen, dass daraus genau diese Matrix entsteht.

Question 6

Warum stimmen Zeilen- und Spaltenrang einer Matrix überein?

Answer 6

Der Satz 8.9 zeigt dim⁡(ker⁡φA)+dim⁡(Bild φA)=n. Daraus folgt rg(A)=dim⁡(Bild φA), was genauso für Zeilen wie für Spalten gilt.

Question 7

Welche drei Eigenschaften sind für φ:V→W mit dim⁡V=dim⁡W<∞ äquivalent?

Answer 7

φ ist injektiv ⇔ ker⁡φ={0} ⇔ φ ist surjektiv ⇔ φ ist bijektiv (Isomorphismus).

Question 8

Wann ist eine quadratische Matrix A invertierbar?

Answer 8

Genau dann, wenn rg(A)=n; äquivalent: die zugehörige Abbildung φA​ ist ein Isomorphismus.

Question 9

Wie findet man A−1 praktisch?

Answer 9

Hänge an A die Einheitsmatrix an, forme (A ∣ In)) per Gauß in (In ∣ B) um. Erscheint links In​, so ist B=A−1; gelingt das nicht, ist A singulär.

Question 10

Was passiert, wenn die Gauß-Elimination links kein In​ liefert?

Answer 10

Dann ist der Rang kleiner als nn, es existiert kein BB mit AB=In​ – A ist also nicht invertierbar.

Question 11

Wie ändert sich die Darstellungsmatrix beim Basiswechsel?

Answer 11

Für neue Basen erhält man DC′,B′(φ)=S−1 DC,B(φ) T, wobei T und S die Übergangsmatrizen zwischen den alten und neuen Basen sind. (Prinzip erwähnt im Text)

Question 12

Welche drei Schritte genügen, um eine lineare Abbildung zu “programmieren”?

Answer 12

1. Basis in Quelle und Ziel fixieren. 2. Bilder der Basisvektoren angeben. 3. Spalten zu einer Darstellungsmatrix zusammenstellen – danach ist alles Rechnen nur noch Matrizen-Algebra.

Question 13

Was gilt für Unterräume für Kern und Bild?

Answer 13

Der Kern ist einUR von dem man abbildet, das Bild ist ein UR in den man abbildet