Lecture 17 Flashcards
(16 cards)
Frage: Was ist die spezielle lineare Gruppe SL_n(K)?
SL_n(K) = { A ∈ K^{n×n} | det(A) = 1 }; sie ist eine Untergruppe von GL_n(K).
Warum ist SL_n(K) eine Gruppe?
Für A,B ∈ SL_n(K) gilt det(AB) = det(A)·det(B) = 1·1 = 1, also liegt auch AB wieder in SL_n(K); Inverse und Identität liegen ebenfalls darin.
rage: Laplace-Entwicklung nach der i-ten Zeile?
det(A) = Σ_{j=1}^{n} (−1)^{i+j} · a_{i,j} · det(A_{i,j}), wobei A_{i,j} entsteht durch Streichen von Zeile i und Spalte j.
aplace-Entwicklung nach der j-ten Spalte?
det(A) = Σ_{i=1}^{n} (−1)^{i+j} · a_{i,j} · det(A_{i,j}).
Was ist die adjungierte (adjunkte) Matrix C von A?
C = (c_{i,j}) mit c_{i,j} = (−1)^{i+j} · det(A_{j,i}); es gilt A·C = C·A = det(A)·I_n.
Wie lautet mit der Adjunkten die Inversenformel für A ∈ GL_n(K)?
A^{−1} = (1 / det(A)) · C.
Determinante einer Diagonalmatrix diag(a₁,…,a_n)?
det = a₁ · … · a_n.
eterminante einer oberen (oder unteren) Dreiecksmatrix?
Produkt der Diagonaleinträge, also a₁ · … · a_n.
eterminante einer Block-Dreiecksmatrix
A = [ B 0 ; C D ]?
det(A) = det(B) · det(D).
Wie wirken elementare Zeilenoperationen auf det(A)?
Typ I (Zeilen vertauschen) → Vorzeichenwechsel.
Typ II (Zeile mit s ≠ 0 multiplizieren) → det·s.
Typ III (s-fache einer Zeile zu anderer addieren) → det bleibt unverändert.
Prinzip des Gauß-Algorithmus zur Determinantenberechnung?
Mit Operationen I–III auf Dreiecksform bringen, dort det als Diagonalprodukt lesen und die bei Typ I/II angefallenen Vorfaktoren berücksichtigen.
Beispiel 10.14 – Endergebnis der Rechnung für
[[1 3 4 2]; [1 4 2 0]; [0 2 1 3]; [1 −5 0 −1]]?
det = 45 (nach drei Eliminationsschritten und Diagonalprodukt 5·9).
Äquivalente Aussagen für eine quadratische Matrix A?
A regulär ⇔ A invertierbar ⇔ Zeilen (bzw. Spalten) linear unabhängig ⇔ LGS Ax = 0 nur Nulllösung ⇔ det(A) ≠ 0 (u. a.m.).
Wie verhält sich die Determinante bei ähnlichen Matrizen?
Sind A,B ähnlich (∃ S mit B = S^{−1} A S), so gilt det(A) = det(B).
Wie definiert man det(φ) für eine lineare Abbildung φ : V → V?
Wähle eine beliebige Basis B und setze det(φ) := det( D_B(φ) ); dank Ähnlichkeitsinvarianz ist das wohldefiniert.
eometrische Bedeutung von |det([v₁ v₂])| in ℝ²?
Betrag der Determinante ist der Flächeninhalt des Parallelogramms mit Spannvektoren v₁ und v₂.
