Lecture 16 Flashcards
(14 cards)
Was gilt für die Determinante der Transponierten?
det(A^T) = det(A).
Wie ändert sich det(A), wenn man die Spalten (oder Zeilen) nach einer Permutation σ vertauscht?
det(B) = sgn(σ) · det(A).
Effekt einer einzigen Vertauschung zweier Zeilen oder Spalten?
Eine Transposition ändert det(A) auf –det(A).
was passiert, wenn A zwei identische Zeilen oder Spalten hat?
Dann ist det(A) = 0.
Wert der Determinante der Einheitsmatrix I_n?
det(I_n) = 1.
Determinantenmultiplikationssatz?
det(A·B) = det(A) · det(B) für alle quadratischen Matrizen gleicher Größe.
Gilt im Allgemeinen det(A+B) = det(A) + det(B)?
Nein, diese Gleichung ist im Allgemeinen falsch.
ann ist eine Matrix regulär in Bezug auf die Determinante?
A ist regulär genau dann, wenn det(A) ≠ 0.
Determinante der Inversen?
Ist A invertierbar, dann det(A^{-1}) = 1 / det(A).
Liste äquivalenter Bedingungen für die Invertierbarkeit einer quadratischen Matrix (eine nennen reicht)?
Beispiele – A invertierbar; det(A) ≠ 0;
Zeilen von A linear unabhängig;
Spalten linear unabhängig;
das LGS A·x = 0 hat nur die Null-Lösung;
eispiel – berechne det([[1 2 3]; [4 5 6]; [7 8 9]]) mit der n=3-Formel.
det = 1·5·9 + 2·6·7 + 3·4·8 – 3·5·7 – 1·6·8 – 2·4·9 = 0.
Warum liefert eine Zeilen- oder Spaltenwiederholung immer det(A)=0?
Die beteiligten Permutationssummanden heben sich paarweise auf, sodass die gesamte Summe Null wird.
Wozu taugt die Determinante praktisch (außer Rechnen)?
Sie entscheidet sofort, ob eine lineare Abbildung (bzw. Matrix) invertierbar ist und verhält sich multiplikativ.
Was besagt der Satz „det(A^T)=det(A)“ über die Symmetrie der Determinante?
Die Determinante „ignoriert“ den Unterschied zwischen Zeilen- und Spaltenoperationen.
