Lecture 15

Question 1

Was ist die symmetrische Gruppe S_n?

Answer 1

S_n ist die Menge aller Bijektionen σ : {1,…,n} → {1,…,n}. Ihre Elemente heißen Permutationen; die Gruppenverknüpfung ist die Komposition.

Question 2

Wie definiert man die Fehlstellenzahl w(σ) und das Vorzeichen sgn(σ)?

Answer 2

w(σ) zählt alle Paare (i,j) mit 1≤i<j≤n und σ(i) > σ(j). Das Vorzeichen ist sgn(σ) = (-1)^{w(σ)}.

Question 3

Welches Vorzeichen haben Identität und Transposition?

Answer 3

id hat w(id)=0 ⇒ sgn(id)=+1. Eine einzelne Transposition hat w=1 ⇒ sgn=-1.

Question 4

Welche Beziehung gilt für zwei Permutationen σ,τ?

Answer 4

sgn(στ) = sgn(σ) · sgn(τ) – das Vorzeichen ist also ein Gruppen-Homomorphismus.

Question 5

Wie lautet die Definition der Permanenten einer Matrix A?

Answer 5

perm(A) = Σ_{σ∈S_n} ∏{i=1}^{n} a{i,σ(i)}, also Summe aller Spaltenauswahlen ohne Vorzeichen.

Question 6

Wie lautet die Definition der Determinante einer Matrix A?

Answer 6

det(A) = Σ_{σ∈S_n} sgn(σ) · ∏{i=1}^{n} a{i,σ(i)}.

Question 7

Wie lauten perm(A) und det(A) für n=1?

Answer 7

Für A=(a) gilt perm(A)=det(A)=a.

Question 8

Formel für det(A) bei 2×2-Matrizen?

Answer 8

Für A=[[a11 a12]; [a21 a22]] gilt det(A)=a11·a22 − a12·a21.

Question 9

Berechne perm(A) und det(A) für A=[[1 2]; [3 4]].

Answer 9

perm=1·4+2·3=10; det=1·4 − 2·3=−2.

Question 10

Explizite Formeln für perm(A) und det(A) bei n≤3?

Answer 10

n=1 → sFür A=(a) gilt perm(A)=det(A)=a.
n=2 → perm=a11a22+a12a21; det=a11a22−a12a21.
n=3 → det = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33; perm erhält in allen sechs Summanden ein Plus.