Lecture 20 Flashcards
(13 cards)
Was versteht man unter der Jordan-Normalform einer Matrix A?
Eine Block-Diagonalmatrix diag(J1,…,Jr), die aus Jordan-Blöcken besteht und zu der A ähnlich ist.
Wie ist ein Jordan-Block Ji(λi, ki) aufgebaut?
Quadratische ki×ki-Matrix mit λi auf der Diagonale, Einsen direkt darüber und Nullen sonst.
Was besagt der Satz über Jordan-Normalform?
Zerfällt χA vollständig in Linearfaktoren, so existiert S∈GLn(K) mit S⁻¹AS gleich der Jordan-Normalform.
ie wird die Weblink-Matrix W definiert?
wi,j = 1, falls Seite Pi einen Link auf Pj enthält, sonst 0.
Wie entsteht die Matrix H aus W?
Jede Zeile wird durch ihre Anzahl an Einsen geteilt (falls >0); Ergebnis: H ist zeilen-stochastisch.
Welche Gleichung beschreibt den PageRank-Vektor p?
p·H = p (bzw. Hᵗ·pᵗ = pᵗ); p ist Eigenvektor zum Eigenwert 1.
Wann ist der PageRank eindeutig bestimmt?
Wenn λ=1 Eigenwert von Hᵗ ist und sein Eigenraum eindimensional (geometrische Vielfachheit = 1).
Ergebnis des Beispiels 12.1 (3 Webseiten) für H?
χH(x)=x(x²−½); daher ist λ=1 kein Eigenwert – PageRank fehlt.
Wie korrigiert man fehlende Links (Nullzeilen)?
Ersetze jede Nullzeile durch (1/n,…,1/n) → Matrix S.
Was zeigt Beispiel 12.2 für S (3 Webseiten)?
λ=1 ist Eigenwert mit algebraischer und geometrischer Vielfachheit 1; passender Eigenvektor ∝ (4,3,3).
Wieso ist der PageRank im Beispiel 12.3 (4 Webseiten) nicht eindeutig?
S hat Eigenraum E₁={(a,a,b,b)ᵗ}; dim E₁ = 2 > 1, also mehrere PageRank-Vektoren möglich.
Definition der Google-Matrix G?
G = (1−α)·S + (α/n)·J, wobei 0<α<1 und J die Einsen-Matrix ist.
Welche Eigenschaften hat G?
G ist positiv, zeilen-stochastisch und besitzt Eigenwert 1 mit geometrischer Vielfachheit 1 – der PageRank ist eindeutig.
